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2017届高三数学一轮复习 专题突破训练 数列 文


2017 届高三数学一轮复习 专题突破训练 数列
一、选择、填空题 1、(2015 年全国 I 卷)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4 S 4 ,则

a10 ? ( )
(A)

17 2

(B)

19 2<

br />
(C) 10

(D) 12

2、(2015 年全国 I 卷)数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若 S n ? 126 ,则

n?

. )

2 3、(2013 年全国 I 卷)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3 A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 4、 (佛山市 2015 届高三二模) 已知等差数列 {an } 满足 a3 ? a4 ? 12 ,3a2 ? a5 , 则 a6 =



5、(广州市 2015 届高三一模)已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a7 ?a1 ? 2 a3 ? ?a3a9 的值为 A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

6、(华南师大附中 2015 届高三三模)设{ an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且

a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 等于(***)
A.120 B. 105 C. 90 D.75 7 、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则

a4 ? a5 ? a6 ? (
A.45

) B.43 C. 40 D.42

8、(茂名市 2015 届高三二模)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 3 , S 3 ? 6 ,则 a10 的值 为( A.1 ) B.3 C.10 D.55
2

9、(梅州市 2015 届高三一模)已知等比数列{ an }的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2 ? 1 ,则 a1 = ___ 10、(深圳市 2015 届高三二模)等差数列 {an } 中, a4 ? 4 ,则 2a1 ? a5 ? a9 ? .

11、 (湛江市 2015 届高三二模)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a1 ? a4 ? ( A. 7 ) B. 9 C. 13 D. 39

12、 (珠海市 2015 届高三二模)已知 ?an ?为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a10 的等比中项, 则 s10 ? _______ 13、 (汕尾市2015届高三上期末)已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? a8 ? 8 ,则 S10 的值为( A.40 B.45 C.50 中 , D.55 ,如 果 数 列 是 )

14、 (东莞市 2015 届高三上期末)在数列

等差数列, 那么

=___________

15、(韶关市 2015 届高三上期末)已知各项都是正数的等比数列 ?an ? 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在
2 不同的两项 am 和 an ,使得 am ? an ? 16a1 ,则

1 4 ? 的最小值是________ m n

二、解答题 1、(2014 年全国 I 卷)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

2、(2013 年全国 I 卷)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; ? ? 1 ?的前 n 项和. (2)求数列? ?a2n-1a2n+1? 3、 (佛山市 2015 届高三二模) 设 Sn 为数列 ? an ?的前 n 项和, 数列 ? an ?满足 a1 ? 1 , Sn ? (2n ?1)an , 其中 a ? 0 . (1)求数列 ? an ?的通项公式; (2)设 bn ? an ? log 2

an , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,若当且仅当 n ? 4 时, Tn 取得最小值,求 a a1

的取值范围. 4 、 ( 广 州 市 2015 届 高 三 一 模 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? 1 ,

nSn?1 ? ? n ? 1? Sn ?
(1)求 a2 的值;

n ? n ? 1? * , n ?N . 2

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列? 若存在,求 k 的值; 若不存 在,请说明理由. 5、(华南师大附中 2015 届高三三模)已知 Sn 是数列 ?an ?的前 n 项和,且满足 Sn ? Sn?1 ? tan (其
2

中 t 为常数, t ? 0 , n ? 2 ),已和 a1 ? 0 ,且当 n ? 2 时, an ? 0 . (1)求数列 ?an ?的通项公式;
*

(2) 若对于 n ? 2 ,n ? N , 不等式

1 1 1 1 求 t 的取值范围. ? ? ?? ? ? 2 恒成立, a2 a3 a3a4 a4 a5 an an ?1

6、 (惠州市 2015 届高三 4 月模拟) 若正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 首项 a1 ? 1 , 点P ( n ? N )在曲线 y ? ( x ? 1) 上.源:
*

?

Sn , Sn?1

?

2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

1 1 , Tn 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? an ?1

7、(茂名市 2015 届高三二模)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且有

sn ? 1 ? an (n ? N * ) ,点 (an , bn ) 在直线 y ? nx 上.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)试比较 Tn 和 2 ?

n2 的大小,并加以证明. 2n

8、(梅州市 2015 届高三一模)数列{ an }中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N * 。 (1)求数列{ an }的通项公式;

(2)设 (3)设 bn ?

,求



1 (n ? N *), Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn (n ? N *), 是否存在最大的整数 m,使得对 n(12 ? an ) m 任意 n ? N * ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。 32

9、 (深圳市 2015 届高三二模) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? ?2 ,an?1 ? 3Sn ? 2 ? 0 ( n ? N ).
*

(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在整数对 (m, n) ,使得等式 an 2 ? m ? an ? 4m ? 8 成立?若存在,请求出所有满足条 件的 (m, n) ;若不存在,请说明理由. 10、 (湛江市 2015 届高三二模) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , 对任意正整数 n , 均有 4 S n ? ? an ? 1? ,
2

且 an ? 0 .

?1? 求 a1 , a2 的值; ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? n ( n ? ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n . ? 3? 若 bn ? 3n

a

11、(珠海市 2015 届高三二模)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
2 (1)若 4Sn ? an ? 2an ?1 ? 0 ,求 ?an ? 的通项公式;

(2)若 ?an ? 是等比数列,公比为 q ( q ? 1 , q 为正常数),数列 ?lg an ? 的前 n 项和为 Tn , 定值,求 a1 .

T( k ?1) n Tkn



12、 (清远市 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 表示数列 {an } 的前 n 项的和,

2 且 2Sn ? an ? an .

(1)求 a1 ;

(2)数列 ?a n ?的通项公式; (3)设 bn ?

1 ? ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N , Tn ? k ? n ? 4? 恒成立,求实数 k an ? an ?1

的取值范围.

13、(汕头市 2015 届高三上期末)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , a3 ? a4 ? 12 .

?1? 求 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 设 bn ? 2a ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .
n

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 公 差 d ? 1 , S8 ? 4 S 4 , ∴ 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , 解 得 a1 = , ∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?
2、【答案】6 【解析】

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

试题分析:∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

2 n 1-( ) n - 1 3 2 ?2? 3、D [解析] an=? ? ,Sn= =3(1- an)=3-2an. 2 3 ?3? 1- 3 4、11 5、C 6、B

7、D 【解析】试题分析:? a2 ? a3 ? 13,?a1 ? d ? a1 ? 2d ? 13,? a1 ? 2? d ? 3 ,

a4 ? a5 ? a6 ? 3a1 ? 12d ? 3? 2 ? 12 ? 3 ? 42
8、C 9、

2 2

10、16 11、B 12、270 13、A

1 2 3 15、 2
14、 二、解答题 1、【解析】:(I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的公
2

差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 a1 ? ,从而 2, 2
…………6 分

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 S n ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n?2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
所以 S n ? 2 ?

n?4 2n ?1

………12 分

n(n-1) 2、解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2 ? ?3a1+3d=0, 由已知可得? 解得 a1=1,d=-1. ?5a1+10d=-5, ? 故{an}的通项公式为 an=2-n.

1 ? 1 1 1? 1 - = = ? ?, a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 2?2n-3 2n-1? ? ? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 n ?的前 n 项和为 ? - + - +…+ - 数列? = . ? 2n-3 2n-1? 1-2n 2?-1 1 1 3 ?a2n-1a2n+1? (2)由(1)知 3、

4、(1)解:∵ a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? ∴ S 2 ? 2 S1 ?

n ? n ? 1? , 2
…………………………1 分 …………………………2 分 …………………………3 分

1? 2 ?1. 2

∴ S2 ? 1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 3 . ∴ a2 ? S2 ? a1 ? 2 . (2)解法 1: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? S S 1 , 得 n ?1 ? n ? . ……………………4 分 n ?1 n 2 2

∴ 数列 ? ∴

S1 1 ? Sn ? ? 是首项为 ? 1 , 公差为 的等差数列. 1 2 ?n?
…………………………5 分

Sn 1 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? . n 2 2

∴ Sn ?

n ? n ? 1? . 2

…………………………6 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

…………………………7 分

?

n ? n ? 1? ? n ? 1? n ? 2 2
…………………………8 分

? n.
而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n . 解法 2: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

…………………………9 分

n ? n ? 1? n ? n ? 1? , 得 n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? , 2 2
…………………………4 分

∴ nan ?1 ? Sn ?

n ? n ? 1? . ① 2 n ? n ? 1? ,② 2

当 n ? 2 时, ? n ? 1? an ? Sn ?1 ?

① ? ②得 nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? Sn ? Sn ?1 ? ? ∴ nan?1 ? nan ? n . ∴ an?1 ? an ? 1 .

n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? , 2 2
…………………………5 分 …………………………6分

∴ 数列 ?an ? 从第2项开始是以 a2 ? 2 为首项, 公差为 1 的等差数列. ………7分 ∴ an ? 2 ? ? n ? 2? ? n . 而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n . (3)解:由(2)知 an ? n , Sn ? …………………………9 分 …………………………8分

n ? n ? 1? . 2

假设存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列, 则 S2k ? ak ? a4k .
2

…………………………10 分

? 2k ? 2k ? 1? ? 即? ? ? k ? 4k . 2 ? ?
2

…………………………11 分

∵ k 为正整数, ∴ ? 2 k ? 1? ? 4 .
2

得 2k ? 1 ? 2 或 2k ? 1 ? ?2 ,

…………………………12 分 …………………………13 分

1 3 解得 k ? 或 k ? ? , 与 k 为正整数矛盾. 2 2

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列. …………………………14 分 5、

6、解:(1)因为点 P

?

2 2 Sn , Sn?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn?1 ? ( Sn ? 1) . …………1 分

?

由 Sn?1 ? ( Sn ? 1)2 得 Sn?1 ? Sn ? 1 . 且 S1 ? 所以数列

……………3 分

a1 ? 1

? S ? 是以1 为首项,1 为公差的等差数列
n

……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ……………7 分 ……………8 分

所以 Sn ?

S1 +(n ? 1) ?1 ? n ,

即 Sn ? n 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, an ? 2 ?1 ?1 ? 1 也成立 所以 n ? N , an ? 2n ? 1
*

(2) 因为 bn ?

1 1 ? ,所以 bn ? 0 , an ? an?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

……………9 分

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
……………12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + ? + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 = (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2
7、解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? 1 ? a1 , 解得: a1 ?

……………14 分

1 , ………………………………1 分 2

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (1 ? an ) ? (1 ? an?1 ) , 则有 2an ? an?1 ,即: ∴数列 ?an ? 是以 a1 ?

an 1 ? , an ?1 2

1 1 为首项, 为公比的等比数列. ………………………3 分 2 2
……………………………………………………………4 分

∴ an ? ? ? (n ? N * )

?1? ?2?

n

(2)∵点 (an , bn ) 在直线 y ? nx 上

n . …………………………………………………………………5 分 2n 1 2 3 n 1 1 2 3 n 因为 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ①,所以 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 ②. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ? n ? 2 . ………………8 分 所以 Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2n 1? 2
∴ bn ? nan ? (3)令 Bn ? 2 ?

n ? 2 n 2 n 2 ? n ? 2 (n ? 2)( n ? 1) n2 T ? B ? ? ? n= , 则 = ……10 分 n n 2n 2 2n 2n 2n

? n ? 1 时, T1 ? B 1 ? 0 ,所以 T1 ? B1 ; n ? 2 时, T2 ? B 2 ? 0 ,所以 T2 ? B2 ; n ? 3 时, Tn ? B n ? 0 ,所以 Tn ? Bn . …………………………………………13 分
综上:① n ? 1 时, Tn ? 2 ?

n2 n2 n2 n ? 2 n ? 3 T ? 2 ? T ? 2 ? ,② 时 , ,③ 时 , …14 分 n n 2n 2n 2n
…………1 分 …………3 分 . …………4 分

8、解:(1)由题意, an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列, 设公差为 d ,由题意,得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 , ? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n .

(2)若 10 ? 2n ? 0, 则n ? 5 , 当

…………5 分

n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |
? a1 ? a2 ? ? ? an ?
…………6 分

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S ? a ? a ? ? ? a ? a 当 n 1 2 5 6 ? a7 ? ? an

? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40.
故 sn ? ?
2 ? ?9n ? n , n ? 5, 2 ? ?n ? 9n ? 40, n ? 6.

………8 分

…………9 分

(3)

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 .

…………10 分



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )] T n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1

?
若 Tn ?

n . 2(n ? 1)
m n m * * ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16

…………12 分

?
?

1 n (n ? N * ) 单 调 递 增 , 当 n ? 1 时 , 取 得 最 小 值 2 . n ?1

…………13 分

m 1 ? , ? m的最大整数值是 7. 16 2
m . 32
…………14 分

* 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ?

9、解: (1)当 n ? 1 得 a2 ? 3S1 ? 2 ? 0 ,解得 a2 ? 4 ,………………………………………1 分 当 n ? 2 得 a3 ? 3S2 ? 2 ? 0 , S2 ? a1 ? a2 ? 2 , 解得 a3 ? ?8 ,…………………………………………………………………………………3 分 (2)当 n ? 2 时, (an?1 ? an ) ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 0 , 即 (an?1 ? an ) ? 3an ? 0 , an?1 ? ?2an ( n ? 2 ) ,…………………………………………4 分 另由 a2 ? ?2a1 得 an?1 ? ?2an , 所以数列 ?an ? 是首项为 ?2 ,公比为 ?2 的等比数列,……………………………………5 分

? an ? (?2)n .…………………………………………………………………………………6 分
(2)把 an ? (?2) n 代入 an 2 ? m ? an ? 4m ? 8 中得 (?2)2n ? m ? (?2)n ? 4m ? 8 , 即m ?

(?2)2 n ? 8 ,……………………………………………………………………………7 分 (?2)n ? 4

(?2)2 n ? 16 ? 8 8 ,…………………………………………8 分 ?m ? ? (?2)n ? 4 ? n (?2) ? 4 (?2)n ? 4
要使 m 是整数,则须有

8 是整数, (?2)n ? 4

?(?2)n ? 4 能被 8 整除,……………………………………………………………………9 分
当 n ? 1 时, (?2)n ? 4 ? 2 ,

8 ? 4 ,此时 m ? ?2 ,……………………………10 分 (?2)n ? 4 8 ? 1 ,此时 m ? 1 ,………………………………11 分 (?2)n ? 4 8 ? ?2 ,此时 m ? ?14 ,………………………12 分 (?2)n ? 4

当 n ? 2 时, (?2)n ? 4 ? 8 ,

当 n ? 3 时, (?2)n ? 4 ? ?4 ,

n 当 n ? 4 , (?2) ? 4 ? 20 ,

8 不可能是整数,…………………………………13 分 (?2)n ? 4

综上所求,所求满足条件的整数对有 (?2,1) , (1, 2) , (?14,3) .………………………14 分 【说明】本题主要考查等比数列的定义,会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式,考 查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力. 10、

11



(



)









4Sn ?

2

an ? 2

… an ?1 … ? 0





4a1 ? a12 ? 2a1 ?1 ? ?a12 ? 2a1 ?1 ? ?(a1 ?1)2 ? 0

? a1 ? 1
2 由①得,当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ?1 ? 0

……………………1分 ………②

①-②得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

? an ? 0

? an ? an?1 ? 2 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 2 ? ?an ? 是首项为1,公差为2的等差数列 ? an ? 2n ? 1
(2)解:由题设 an ? a1q

…………………………2分 ………………………………3分

…………………………………………4分
n ?1

,……………………………5分

令 bn ? lg an ? n lg q ? lg a1 ? lg q 故 ?lg an ? 是 lg a1 为首项, lg q 为公差的等差数列………………………6分 若

T( k ?1) n Tkn

为定值,令

T( k ?1) n Tkn

? p (定值)



(k ? 1)n lg a1 ?

(k ? 1)n[(k ? 1)n ? 1] lg q 2 ? p …………………………………7分 kn(kn ? 1) kn lg a1 ? lg q 2

即 {[(k ? 1)2 ? pk 2 ]lg q}n ? [(k ? 1) ? pk ](lg

a12 ) lg q ? 0 对 n ? N ? 恒成立…………………8分 q

? q ? 1,q ? 0
?(k ? 1) 2 ? pk ? 0 ??? ① …………………………………………9分 ?等价于 ? 2 ?? ② ? (k ? 1) ? pk ? 0或a1 ? q
由①得:

k +1 ? k

p 代入 (k ? 1) ? pk ? 0 得 p ? 0 或 p ? 1 …………………………10分

? k ? N ? ,? p ? 0 且 p ? 1 …………………11分

? a12 ? q …………………………………………12分
? an ? 0 ,? q ? 0 ,? a1 ? q ………………14分
2 12、解析:(1)∵ 2Sn ? an ? an ,∴ 2S1 ? a12 ? a1

且 an ? 0 ,? a1 ? 1 ,…………2 分

2 2 (2)∵ 2Sn ? an ? an ,∴当 n ? 2 时, S n?1 ? an ?1 ? an?1 …………3 分



2 2 S n - S n?1 ? an ? an ( - an ?1 ? an?1) …………4 分

∴ (an ? an?1( ) an ? an?1 ? 1) ? 0 …………5 分 又? an ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 1,…………6 分(没有? an ? 0 扣 1 分)

?{an } 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, …………7 分
故 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n (3)由 bn= …………8 分

1 1 1 1 = = - ,…………9 分 an an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

Tn=1- ∵

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - =1- = .…………10 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

n ≤k(n+4), n ?1 n n = 2 ∴k≥ = (n+1)(n+4) n +5n+4

1 . …………11 分 4 n+ +5 n

∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立,…………13 分 n n n
故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? ……14 分



1 1 1 ≤ ,因此 k≥ , 4 9 n+ +5 9 n

?1 ?9

? ?

13、【答案】解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .由题意知

?a1 ? d ? 3 ? ?a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? 12

……2 分(每式 1 分)

解得, a1 ? 1, d ? 2 …… 4 分(每式 1 分) ∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N ? ) (2)由题意知, bn ? 2
an ?1

……6 分

? 2 2n ( n ? N ? ), ……

7分

Tn ? 22 ? 24 ? 26 ? ? ? 22n
?
?

4(1 ? 4 n ) …… 1? 4
4 n (4 ? 1) …… 3

10 分

12 分


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