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2014高考数学一轮汇总训练《等比数列及其前n项和 》理 新人教A版


第三节

等比数列及其前n项和

[备考方向要明了]

考 什 么 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和 公式. 3.能 在具体的问题情境中,识别数列的 等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

怎 么 考

1

.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本 量的计算, 2012 年新课标全国 T5, 如 浙江 T13 等. 2.以解答题的形式考查等比数列的 定义、通项公 式、前 n 项和公式及性质的综合应用,如 2012 年 湖北 T18 等.

[归纳·知识整合] 1.等比数列的相关概念 相关名词 定义 通项公式 前 n 项和公 式 等比中项 等比数列{an}的有关概念及公式

an+1 an * * =q(q 是常数且 q≠0,n∈N )或 =q(q 是常数且 q≠0,n∈N 且 n≥2) an an-1 an=a1qn-1=am·qn-m
? q=1? ?na1 ? n Sn=?a1? 1-q ? a1-anq ? 1-q = 1-q ? q≠1? ? 设 a,b 为任意两个同号的实数,则 a,b 的等比中项 G=± ab

[探究] 1.b =ac 是 a,b,c 成等比数列的什么条件? 提示:b =ac 是 a,b,c 成等比数列的必要不充分条件,因为当 b=0 时,a,c 至少有 一个为零时,b =ac 成立,但 a,b,c 不成等比数列;若 a,b,c 成等 比数列,则必有 b =ac.
1
2 2 2

2

2.如何理解等比数列{an}与指数函数的关系? 提示:等比数列{an}的通项公式 an=a1q
x n-1

可改写为 an= ·q .当 q>0,且 q≠1 时,y

a1 q

n

=q 是一个指数函数, y= ·q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积, 而 因此等比数列{an} 的图象是函数 y= ·q 的图象上的一群孤立的点. 2.等比数列的性质 (1)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q 则 am·an=ap·aq. 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=ap. (2)若等比数列前 n 项和为 Sn 则 Sm,S2m-Sm,S 3m-S2m 仍成等比数列,即(S2m-Sm) =Sm(S3m -S2m)(m∈N ,公比 q≠-1). (3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an
+3k * 2 2

a1 q

x

a1 q

x

,?为等比数列,公比为 q . [自测·牛刀小试] 1.在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 )

k

解析:选 D 当 a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列,当 q<0,数列{an}为摆动数列. 2.(教材习题改编)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2 +?+log3a10=( A.12 C.8 ) B.10 D.2+log35

解析:选 B ∵数列{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+?+log3a10=log3(a1·a2·?·a10) =log3(a5a6) =5log3a5a6=5log39=10. 3.(教材习题改编)在等比数列{an}中,若 a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3=________.
?a5-a1=15, ? 解析:∵? ? ?a4-a2=6, ?a1? ? ∴? ? ?a1?
5

q4-1? =15, q3-q? =6.

∴q -1≠0,

2

q4-1 5 = . q3-q 2

1 2 ∴2q -5q+2=0,解得 q= 或 q=2. 2 当 q=2 时,a1=1,∴a3=a1q =4.
2

2

1 2 当 q= 时,a1=-16,∴a3=a1q =-4. 2 答案:4 或-4 4.在等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 的值为________. 解析:由等比数列性质,已知转化为 a3+2a3a5+a5=25, 即(a3+a5) =25,又 an>0,故 a3+a5= 5. 答案:5 5.在 1 与 4 之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是________. 解析:设等比数列的公比为 q,则 4=q .即 q=± 2. 当 q= 2时,插入的三个数是 2,2,2 2. 当 q=- 2时,插入的三个数是- 2,2,-2 2. 答案: 2,2,2 2或- 2,2,-2 2
4 2 2 2

等比数列的基本运算

[例 1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1 +a10=( A.7 C.-5 ) B.5 D.- 7
2

(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数列{an}的通项公式 an=________. (3)(2012·浙江高考)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2,

S4=3a4+2,则 q=________.
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为 q, 由?
? ?a4+a7=2, ? ?a5·a6=a4·a7=-8,

得?

? ?a4=4, ? ?a7=-2,

或?

? ?a4=-2, ? ?a7=4,

?a1=-8, ? 所以? 3 1 ?q =-2, ?
所以?
?a1=-8, ? ? ?a10=1,

或?

?a1=1, ? ? ?q =-2,
3

或?

?a1=1, ? ? ?a10=-8,

所以 a1+a10=-7.

3

(2)∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2an·q =5an·q, 即 2q -5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q= (舍去). 2 又∵a5=a10=a5·q , ∴a5=q =2 =32. ∴32=a1·q ,解得 a1=2. ∴an=2×2
n-1
4 5 5 2 5 2

2

=2 ,故 an=2 .
2

n

n

(3)由 S2=3a2+2,S4=3a4+2 作差可得 a3+a4=3a4-3a2,即 2a4-a3-3a2=0,所以 2q -q-3=0, 3 解得 q= 或 q=-1(舍去). 2 [答案] (1)D (2)2 —————
n

(3)

3 2

—————————————— 等比数列运算的通法

与等差数列一样, 求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法. 从方程的观点看等

?na1,q=1, ? 比数列的通项公式 an=a1·q (a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn=?a1? 1-qn? ? 1-q ,q≠1 ?
n-1

中共有

五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方程组求另外两个变量,在求公比 q 时,要注意应用 q≠0 验证求得的结果.

1.(1)(2013 ·海淀模拟)在等数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则 a7=( A. C. 1 16 1 4 B. D. 1 8 1 2

)

(2)设{an}是由正数组成的等比数列,n 为其前 n 项和. S 已知 a2a4=1,3=7, S5=( S 则 A. C. 15 2 33 4 B. D. 31 4 17 2

)

1 2 解析:(1)选 B 在等比数列{an}中,a4=a3a5,又 a4=a3a5,所以 a4=1,故 q= ,所以 2

4

a7= .

1 8

?a1q·a1q =1, ? (2)选 B 显然公比 q≠1,由题意得?a1? 1-q3? ? 1-q =7, ? ?a1=4, ? 解得? 1 ?q=2, ? ?a1=9, ? 或? 1 ?q=-3, ? ? 1? 4?1- 5? 2 ? 31 = . 1 4 1- 2

3

(舍去)

a1? 1-q5? ? 故 S5= = 1-q

等比数列的判定与证明

[例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)在(1)的条件下证明? n?是等差数列,并求 an. ?2 ? [自主解答] (1)证明:∵由 a1=1,及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2,① 知当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2,② ①-②得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1. ∴{bn}是首项 b1=3,公比 q=2 的等比数列. (2)由(1)可得 bn=an+1-2an=3×2 ∴
n-1

?an?



an+1 an 3
2
n+1

- n= . 2 4

?an? 1 3 ∴数列? n?是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 4 ?2 ?

an 1 3 3 1 ∴ n= +(n-1) = n- . 2 2 4 4 4 an=(3n-1)×2n-2.

5

—————

—————————————— 等比数列的判定方法

(1)定义法:若

an+1 an * * =q(q 为非零常数,n∈N )或 =q(q 为非零常数且 n≥2,n∈N ), an an-1

则{an}是等比数列. (2)等比中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 an+1=an·an+2(n∈N ),则数列{an}是等比 数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N ), 则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·q -k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1), 则{an}是等比数列. 注意:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
n n
* 2 *

2.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比 数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ?

解:(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依 题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).故{bn}的第 3 项为 5, 公比为 2.由 b3=b1·2 , 5 2 即 5=b1×2 ,解得 b1= . 4 5 5 n-1 n-3 所以{bn}是以 为首项,以 2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= ×2 =5×2 . 4 4 5 ? 4 (2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn=
2 2

1-2 ? 1-2 =5×2

n n-2

5 5 n- - ,即 Sn+ =5×2 4 4

. 5 4 5×2n-1 5 5 所以 S1+ = , = n-2=2. 4 2 5 5×2 Sn+ 4

Sn+1+

6

? 5? 5 因此?Sn+ ?是以 为首项,以 2 为公比的等比数列. 4? 2 ?

等比数列的性质及应用

[ 例 3]

(1) 在 等 比 数 列 {an} 中 , 若 a1·a2·a3·a4 = 1 , a13·a14·a15·a16 = 8 , 则

a41·a42·a43·a44=________.
(2)已知数列{an}为等比数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N ,若 a1+a2+a3=3,a4+a5+a6 =6,则 S12=________. [自主解答] (1)法一:a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q ·a1q =a1·q =1,①
2 3 4 6 *

a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a4·q54=8,② 1
由②÷①,得

a4·q54 48 1 16 =q =8? q =2, a4·q6 1
40 41 42 43 4 166 4 6 160 4 6 16 10

又 a41·a42·a43·a44=a1q ·a1q ·a1q ·a1q =a1·q =a1·q ·q =(a1·q )·(q ) =1·2 =1 024. 法二:由性质可知,依次 4 项的积为等比数列,
10

设公比为 q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,∴T4=T1·q =1·q =8,
3 3

即 q=2. ∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·q =2 =1 024.
10 10

a4+a5+a6 a1·q3+a2·q3+a3·q3 3 6 (2)法一:设等比数列{an}的公比为 q,则 = =q = , a1+a2+a3 a1+a2+a3 3
即 q =2. 故 S12 =(a1 + a2 + a3)+(a4 + a5 + a6)+(a7 + a8 + a9)+(a10 + a11 + a12)=(a1 + a2 + a3)+ (a1·q +a2·q +a3·q )+(a1·q +a2·q +a3·q )+(a1·q +a2·q +a3·q )=(a1+a2+a3) +(a1+a2+a3)q +(a1+a2+a3)q +(a1+a2+a3)q =(a1+a2+a3)(1+q +q +q )=3×(1+2 +2 +2 )=45. 法二:设等比数列{an}的公比为 q, 则
2 3 3 6 9 3 6 9 3 3 3 6 6 6 9 9 9 3

a4+a5+a6 3 6 3 =q = ,即 q =2. a1+a2+a3 3

因为 S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=9,

S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12,
所以

S12-S6 a7+a8+a9+a10+a11+a12 = = S6 a1+a2+a3+a4+a5+a6

a1·q6+a2·q6+a3·q6+a4·q6+a5·q6+a6·q6 a1+a2+a3+a4+a5+a6
=q =4.
7
6

所以 S12=5S6=45. [答案] (1)1 024 (2)45 ————— —————————————— 等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前 n 项和公 式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

3.已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和. 解:∵Sn=2,其后 2n 项为 S3n-Sn=S3n-2=12, ∴S3n=14. 由等比数列的性质知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 即(S2n-2) =2·(14-S2n)解得 S2n=-4,或 S2n=6. 当 S2n=-4 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?是首项为 2,公比为-3 的等比数列, 则 S6n=Sn+(S2n-Sn)+?+(S6n-S5n)=-364, ∴再后 3n 项的和为 S6n-S3n=-364-14=-378. 当 S2n=6 时,同理可得再后 3n 项的和为 S6n-S3n=126-14=112. 故所求的和为-378 或 112.
2

? 3 个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意 q=1 时,Sn=na,这一特殊情况. (2)由 an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (3)在应用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 和 q≠1 分类讨论,防止因忽 略 q=1 这一特殊情况而导致错误. ? 4 个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,

an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在
解题中根据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键. (2)整体思想:当公比 q≠1 时,Sn=

a1? 1-qn? a1 a1 n = ·(1-q ),令 =t,则 Sn= 1-q 1-q 1-q

t(1-qn).把

与 q 当成一个整体求解,也可简化运算. 1-q

a1

n

(3)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn =na1;当 q≠1 时,Sn=

a1? 1-qn? ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1-q
8

(4)函数思想:在等比数列{an}中,an= ·q ,它的各项是函数 y= ·q 图象上的一群 孤立的点, 可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性), 注意函数思想在等 比数列问题中的应用.

a1 q

n

a1 q

x

创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题

1.在新情境下先定义一个新数列,然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或 者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题, 同时, 数列也常与函 数、不等式等形成交汇命题. 2.对于此类新定义问题,我们要弄清其本质,然后根据所学的数列的性质即可快速解 决. [典例] (2012·湖北高考)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任 意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”,现有定 义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x ;②f(x)=2 ;③f(x)= |x|;④f(x)=ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( A.①② C.①③ [解析] 法一:设{an}的公比为 q. ①f(an)=an, ∵
2 2

x

)

B.③④ D.②④

a2+1 ?an+1?2 2 n =? ? =q , a2 ? an ? n

∴{f(an)}是等比数列.排除 B、D. ③f(an)= |an|, ∵ |an+1| = |an|

?an+1?= |q|, ? an ? ? ?

∴{f(an)}是等比数列. 法二:不妨令 an=2 . ①因为 f(x)=x ,所以 f(an)=4 .显然{f(2 )}是首项为 4,公比为 4 的等比数列. ②因为 f(x)=2 , 所以 f(a1)=f(2)=2 ,f(a2)=f(4)=2 ,
9
2 4 2

n

n

n

x

f(a3)=f(8)=28,
所以
4 8 f? a2? 2 f? a3? 2 = 2=4≠ = 4=16, f? a1? 2 f? a2? 2

所以{f(an)}不是等比数列. ③因为 f(x)= |x|,所以 f(an)= 2 =( 2) . 显然{f(an)}是首项为 2,公比为 2的等比数列. ④因为 f(x)=ln|x|,所以 f(an)=ln 2 =nln 2. 显然{f(an)}是首项为 ln 2,公差为 ln 2 的等差数列. [答案] C [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题背景新颖:本题是以“保等比数列函数”为新定义背景,考查等比数列的有关 性质. (2)考查内容创新:本题没有直接指明判断等比数列的有关性质,而是通过新定义将指 数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合,对学生灵活处理问题的能力有较高 要求. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)迅速脱掉“新定义”的外衣,认清本题的实质是:已知数列{an}为正项等比数列, 判断数列{an},{2an},{ |an|}及{ln|an|}是否为等比数列问题. (2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键. [变式训练] 1 m 2 2 1.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列,则 = 2 n ( ) A. C. 3 2 2 3
2 2

n

n

n

3 2 B. 或 2 3 D.以上都不对
2

解析: B 设 a, , , 是方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根, 选 b c d 不妨设 a<c<d<b, 1 则 a·b=c·d=2,a= ,故 b=4,根据等比数列的性质,得到 c=1,d=2,则 m=a+b 2 9 9 m 3 m 2 = ,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b= ,则 = 或 = . 2 2 n 2 n 3 2.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x,y∈R,都有 f(x)·f(y) 1 * =f(x+y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2 )

10

?1 ? A.? ,2? ?2 ? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?
1 解析:选 D 由已知可得 a1=f(1)= , 2

?1 ? B.? ,2? ?2 ? ?1 ? D.? ,1? ?2 ?

a2=f(2)=[f(1)]2=? ?2, 2 a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=? ?3,?, 2 an=f(n)=[f(1)]n=? ?n, 2
1 ?1?2 ?1?3 ?1?n ∴Sn= +? ? +? ? +?+? ? 2 ?2? ?2? ?2? 1? ?1?n? ?1-? ? ? 2? ?2? ? ?1?n = =1-? ? . 1 ?2? 1- 2 1 * ∵n∈N ,∴ ≤Sn<1. 2

?1? ? ?

?1? ? ?

?1? ? ?

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( )

?3?n A.4×? ? ?2? ?3?n-1 C.4×? ? ?2?
2

?2?n B.4×? ? ?3? ?2?n-1 D.4×? ? ?3? ?3? ? ?

解析:选 C (a+1) =(a-1)(a+4)? a=5,

a1=4,q= ,故 an=4·? ?n-1. 2
2. (2012·安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, a3a11=16, log2a10 且 则 =( ) A.4 C.6
2 7

3 2

B.5 D.7

解析: B 由题意可知 a3a11=a =16, 选 因为{an}为正项等比数列, 所以 a7=4.所以 log2a10

11

=log2(a7×2 )=log22 =5. 3. 各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 前三项和为 21, a3+a4+a5=( 则 A.33 C.84 解析:选 C ∵a1+a2+a3=21, ∴a1+a1·q+a1·q =21,3+3×q+3×q =21, 1+q+q =7,解得 q=2 或 q=-3. ∵an>0,∴q=2,a3+a4+a5=21×q =21×4=84. 4.(2013·西安模拟)已知 a,b,m,n,x,y 均为正数,且 a≠b,若 a,m,b,x 成等 差数列,a,n,b,y 成等比数列,则有( A.m>n,x>y C.m<n,x<y 解析:选 B ∵m= ) B.m>n,x<y D.m<n,x>y
2 2 2 2

3

5

)

B.72 D.189

a+b
2

,n= ab(a≠b),∴m>n.

又 2b=m+x,由 b =ny,得 b= ny, 即 2 ny=m+x≥2 mx,∴ ny≥ mx, 即 ny≥mx, ≥ >1.∴y>x. 5.已知等比数列{an}中,a1=2,a5=18,则 a2a3a4 等于( A.36 C.±36
2

2

y m x n

)

B.216 D.±216

解析:选 B 由等比数列的性质得 a3=a1·a5=2×18=36, 又 a3=a1q =2q >0,故 a3=6. 所以 a2a3a4=a3=216. 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( A.2
n-1
3 2 2

)

?3?n-1 B.? ? ?2?
D. 1 2
n-1

?2?n-1 C.? ? ?3?
解析:选 B 利用等比数列知识求解. ∵Sn=2an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1=2an. ∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an.∴3an=2an+1. ∴

an+1 3 = . an 2

12

1 a2 1 又∵S1=2a2,∴a2= .∴ = . 2 a1 2 3 ∴{an}从第二项起是以 为公比的等比数列. 2 1? ?3?n-1? ?1-? ? ? 2? ?2? ? ?3?n- ∴Sn=a1+a2+a3+?+an=1+ =? ? 3 ?2? 1- 2
1

?也可以先求出n≥2时,an=3n-1, ? 2 ?

n-2

再利用 Sn=2an+1,

?3?n-1? 求得Sn=? ? ?. ?2? ?

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________. 解析:∵S3+3S2=0,即 a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q )=0. ∵a1≠0,∴q=-2. 答案:-2 8.若数列{an}(an∈R)对任意的正整数 m,n 满足 am+n=aman,且 a3=2 2,那么 a12= ________. 解析:令 m=1,则 an+1=ana1? a1=q,a3=a1q =2 2? q =2 2,a12=q =64. 答案:64 9.(2013·聊城模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b
2 3 12 2

f? 2n? f? 2n? * * ∈R,满足 f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an= (n∈N ),bn= (n∈N ), n n 2
考察下列结论. ①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;③数列{an}为等比数列;④{bn}为等差数列.其中正 确的是________. 解析:令 a=0,b=0,则 f(0)=0,令 a=b=1, 则 f(1)=2f(1 ),故 f(0)=f(1)=0; 设 a=-1,b=x, 因为 f(1)=f[ (-1)×(-1)]=-2f(-1), 则 f(-1)=0, 所以 f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),

f(x)为奇函数; f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n? f? 2n?
2
n



f? 2n-1?
2
n-1

+1,则{bn}为等差数列;

13

∵b1= ∴

f? 2?
2

=1,∴bn=1+(n-1)×1=n.

f? 2n?
2
n

=n,an=

f? 2n? n =2 ,则数列{an}为等比数列. n

答案:①③④ 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.数列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,k≠1). (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)求通项 an; (3)当 k=-1 时,求和 a1+a2+?+an. 解:(1)∵Sn=1+kan,①
2 2 2

Sn-1=1+kan-1,②
①-②得 Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2), ∴(k-1)an=kan-1, ∴{an}是公比为

an k = 为常数,n≥2. an-1 k-1

k

k-1

的等比数列. 1 . 1-k
n-1 n

(2)∵S1=a1=1+ka1,∴a1= ∴an=

1 ? k ?n-1=- k ·? ? 1-k ?k-1? ? k-1?

.

1 k (3)∵{an}中 a1= ,q= , 1-k k-1 ∴{an}是首项为?
2

? 1 ?2,公比为? k ?2 的等比数列. ? ?k-1? ?k-1? ? ?

1 1 2 当 k=-1 时,等比数列{an}的首项为 ,公比为 , 4 4 1? ?1? ? ?1-?4?n? 4? ? ? ? 1? ?1?n? 2 2 2 ∴a1+a2+?+an= = ?1-? ? ?. 1 3? ?4? ? 1- 4 2 11.设数列{an}是一等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Sn= (bn-1),若 a2=b1,a5=b2. 3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 解:(1)∵S1= (b1-1)=b1,∴b1=-2. 3

14

2 又 S2= (b2-1)=b1+b2=-2+b2, 3 ∴b2=4.∴a2=-2,a5=4. ∵{an}为等差数列, ∴公差 d=

a5-a2 6
3

= =2, 3

即 an=-2+(n-2)·2=2n-6. 2 (2)∵Sn+1= (b n+1-1),① 3

Sn= (bn-1),②
2 ①-②得 Sn+1-Sn= (bn+1-bn)=bn+1, 3 ∴bn+1=-2bn. ∴数列{bn}是等比数列,公比 q=-2,首项 b1=-2, ∴bn=(-2) . 2 n ∴Sn= [(-2) -1]. 3 12.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等 比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 013. 解:(1)∵由已知得 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴(1+4d) =(1+d)(1+13d), 解得 d=2 或 d=0(舍去). ∴an=1+(n-1)·2=2n-1(n∈N ). 又 b2=a2=3,b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为 3. ∴bn=3·3
n-2
* 2 *

2 3

n

c1 c2 b1 b2

cn bn

=3

n-1

(n∈N ).

*

(2)由 + +?+ =an+1 得 当 n≥2 时, + +?+

c1 c2 b1 b2

cn bn

c1 c2 b1 b2

cn-1 =an. bn-1

两式相减得,n≥2 时, =an+1-an=2. ∴cn=2bn=2·3
n-1

cn bn

(n≥2).
15

又当 n=1 时, =a2, ∴c1=3.
?3? n=1? , ? ∴cn=? n-1 ? ?2·3 ? n≥2? .

c1 b1

6-2×3 ∴c1+c2+c3+?+c2 013=3+ 1-3 =3+(-3+3
2 013

2 013

)=3

2 013

.

1.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 C.6 B.7 D.4 2
3

)

解析:选 A 法一:由等比中项的性质知 a1a2a3=(a1a3)·a2=a2=5,a7a8a9=(a7a9)·a8 1 1 3 3 3 3 =a8=10,所以 a2a8=50 ,所以 a4a5a6=(a4a6)·a5=a5=( a2a8) =(50 ) =5 2. 3 6 法二:由等比数列的性质知 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 构成等比数列 ,所以(a1a2a3)(a7a8a9) =(a4a5a6) , 即 a4a5a6=± 5×10=±5 2, 又数列各项均为正数,所以 a4a5a6=5 2. 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( A.1∶2 C.3∶4 B.2∶3 D.1∶3
2 2

)

解析: C 由等比数列的性质: 3、 6-S3、 9-S6 仍成等比数列, 选 S S S 于是(S6-S3) =S3·(S9 -S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4 3.设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=4,a4a5a6=2 . (1)求首项 a1 和公比 q 的值; (2)若 Sn=2 -1,求 n 的值. 解:(1)∵a4a5a6=a5=2 ? a5=16, ∴ =q =4? q=2,a1q =a3,解得 a1=1. (2)由 Sn=2 -1,得 Sn=
n
10 10 3 12 10 12

a5 a3

2

2

a1? qn-1? n =2 -1, q-1

∴2 -1=2 -1? 2 =2 ,即 n=10.
16

n

10

4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)b1=a2-a1=1, 当 n≥2 时,bn=an+1-an=

an+an+1
2

,n∈N .

*

an-1+an
2

1 1 -an=- (an-an-1)=- bn-1, 2 2

1 所以{bn}是以 1 为首项,以- 为公比的等比数列. 2

? 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=?- ? , ? 2?
当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)

? 1? ? 1?n-2 =1+1+?- ?+?+?- ? ? 2? ? 2? ? 1?n-1 1-?- ? 2? ? 1?n-1? ? 2? =1+ =1+ ?1-?- ? ? 1? 3? ? 2? ? ? 1-?- ? ? 2?
5 2? 1?n-1 = - ?- ? , 3 3? 2? 又 a1=1 也符合上式,所以{an}的通项公式为

an= - ?- ?n-1(n∈N*). 3 3? 2?

5

2? 1?

17


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