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高一数学必修2第二章测试题及答案解析


第二章综合检测题
一、选择题 1.若直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 2.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱 的条数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知平面 α 和直线 l,则 α 内至少有一条直线与 l( ) A.平行 B.相交

C.垂直 D.异面 4. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 异面直线 AB, A1D1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得( ) Aa?α,b?α Ba?α,b∥α Ca⊥α,b⊥α Da?α,b⊥α 6.下面四个命题: ①若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面; ②若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交; ③若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等; ④若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c. 其中真命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 上的 不与端点重合的动点,如果 A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF 与 AC 异面;④EF∥平面 ABCD. 其中一定正确的有( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 8.设 a,b 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,下列命 题中为真命题的是( ) A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b 9.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 10 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点, 那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )
1

4 A.-5

3 B. .5

3 3 C.4 D.-5

11.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3, BC=2, 则以 BC 为棱, 以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为 ( ) 3 1 1 A. 3 B.3 C.0 D.-2 12.如图所示,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PA⊥平面 ABCD, PA=AB,则 PB 与 AC 所成的角是( )

A.90° B.60° C.45° D.30° 二、填空题 13.下列图形可用符号表示为________.

14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 C1-AB-C 的平面角等于 ________. 15.设平面 α∥平面 β,A,C∈α,B,D∈β,直线 AB 与 CD 交于点 S, 且点 S 位于平面 α, β 之间, AS=8, BS=6, CS=12, 则 SD=________. 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下 四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60° 的角; ④AB 与 CD 所成的角是 60° . 其中正确结论的序号是________. 三、解答题
2

17.如下图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为正三 角形且 AA1⊥面 ABC,F、F1 分别是 AC,A1C1 的中点.

求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF;(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

18 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC =3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点.
3

(1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.

19 如图所示,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2,M 为 BC 的中点.

(1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 P-AM-D 的大小. 20 如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B.

4

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D?DC1 的值.

2 21 如图,△ABC 中,AC=BC= 2 AB,ABED 是边长为 1 的正方形, 平面 ABED⊥底面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点.

(1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)求几何体 ADEBC 的体积 V. 22 如下图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=
5

5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

详解答案
6

1[答案] D 2[答案] C [解析] AB 与 CC1 为异面直线, 故棱中不存在同时与两者平行的直线, 因此只有两类:

第一类与 AB 平行与 CC1 相交的有:CD、C1D1 与 CC1 平行且与 AB 相交的有:BB1、AA1, 第二类与两者都相交的只有 BC,故共有 5 条. 3[答案] C [解析] 1° 直线 l 与平面 α 斜交时, 在平面 α 内不存在与 l 平行的直线, ∴A 错; 2° l?α 时,在 α 内不存在直线与 l 异面,∴D 错; 3° l∥α 时,在 α 内不存在直线与 l 相交. 无论哪种情形在平面 α 内都有无数条直线与 l 垂直. 4[答案] D [解析] 由于 AD∥A1D1,则∠BAD 是异面直线 AB,A1D1 所成的角, 很明显∠BAD=90° . 5[答案] B [解析] 对于选项 A,当 a 与 b 是异面直线时,A 错误;对于选项 B, 若 a,b 不相交,则 a 与 b 平行或异面,都存在 α,使 a?α,b∥α,B 正确;对于选项 C,a⊥α,b⊥α,一定有 a∥b,C 错误;对于选项 D, a?α,b⊥α,一定有 a⊥b,D 错误. 6[答案] D [解析] 异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定 理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a 与 c 可 以平行,可以相交,也可以异面,故④错误. 7[答案] D [解析] 如图所示.由于 AA1⊥平面 A1B1C1D1,EF?平面 A1B1C1D1, 则 EF⊥AA1,所以①正确;当 E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 的中点时, EF∥A1C1,又 AC∥A1C1,则 EF∥AC,所以③不正确;当 E,F 分别
7

不是线段 A1B1,B1C1 的中点时,EF 与 AC 异面,所以②不正确;由于 平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,EF?平面 A1B1C1D1,所以 EF∥平面 ABCD,所以④正确.

8[答案] D [解析] 选项 A 中,a,b 还可能相交或异面,所以 A 是假命题;选项 B 中,a,b 还可能相交或异面,所以 B 是假命题;选项 C 中,α,β 还可能相交,所以 C 是假命题;选项 D 中,由于 a⊥α,α⊥β,则 a ∥β 或 a?β,则 β 内存在直线 l∥a,又 b⊥β,则 b⊥l,所以 a⊥b. 9[答案] C [解析] 如图所示:

AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?AC⊥m;AB∥l?AB∥β. 3 10[答案] 5 命题意图 ] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角 的求解的运用. [解析] 首先根据已知条件,连接 DF,然后则角 DFD1 即为 异面直线所成的角,设边长为 2,则可以求解得到 5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论. 11[答案] C [解析] 取 BC 中点 E,连 AE、DE,可证 BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠ AED 为二面角 A-BC-D 的平面角又 AE=ED= 2, AD=2, ∴∠AED =90° ,故选 C.
8

12[答案] B [解析] 将其还原成正方体 ABCD-PQRS,显见 PB∥SC,△ACS 为 正三角形,∴∠ACS=60° .

13[答案] α∩β=AB 14[答案] 45° [解析] 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,由于 BC⊥AB,BC1 ⊥AB,则∠C1BC 是二面角 C1-AB-C 的平面角.又△BCC1 是等腰 直角三角形,则∠C1BC=45° .

15[答案] 9 [解析] 如下图所示,连接 AC,BD,

则直线 AB,CD 确定一个平面 ACBD. ∵α∥β,∴AC∥BD, AS CS 8 12 则SB=SD,∴6=SD,解得 SD=9.
9

16[答案] ①②④ [解析] 如图所示,①取 BD 中点,E 连接 AE,CE,则 BD⊥AE,BD ⊥CE,而 AE∩CE=E,∴BD⊥平面 AEC,AC?平面 AEC,故 AC⊥ BD,故①正确.

2 ②设正方形的边长为 a,则 AE=CE= 2 a. 由①知∠AEC=90° 是直二面角 A-BD-C 的平面角,且∠AEC=90° , ∴AC=a, ∴△ACD 是等边三角形,故②正确. ③由题意及①知,AE⊥平面 BCD,故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成 的角,而∠ABE=45° ,所以③不正确. ④分别取 BC,AC 的中点为 M,N, 连接 ME,NE,MN. 1 1 则 MN∥AB,且 MN=2AB=2a, 1 1 ME∥CD,且 ME=2CD=2a, ∴∠EMN 是异面直线 AB,CD 所成的角. 2 在 Rt△AEC 中,AE=CE= 2 a,AC=a, 1 1 ∴NE=2AC=2a.∴△MEN 是正三角形,∴∠EMN=60° ,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 18[解析]
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(1)如图所示,连接 AC,由 AB=4,BC=3,∠ABC=90° ,得 AC=5. 又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF, PA BF 因为 sin∠PBA=PB,sin∠BPF=PB,所以 PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90° 知, AD∥BC, 又 BG∥CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形,故 GD=BC=3.于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以 AB2 16 8 5 8 5 2 2 BG= AB +AG =2 5,BF= BG = = 5 .于是 PA=BF= 5 . 2 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S=2×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V=3×S×PA=3×16× 5 = 15 . 19[解析] (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E,连接 PE,EM,EA,

11

∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60° = 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∴PE⊥平面 ABCD,而 AM?平面 ABCD,∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE=3, ∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM. 又 PE∩EM=E,∴AM⊥平面 PEM,∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 P-AM-D 的平面角. PE 3 ∴tan∠PME=EM= =1,∴∠PME=45° . 3 ∴二面角 P-AM-D 的大小为 45° . 20[解析]

(1)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1, 又已知 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1,又 B1C?平面 AB1C 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 . (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面
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B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD, A1B?平面 A1BC1, 平面 A1BC1∩平面 B1CD =DE,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D?DC1=1. 21[解] (1)证明:连接 AE,如下图所示.

∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点, ∴GF∥AC,又 AC?平面 ABC,GF?平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB,EB ?平面 ABED, ∴BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AC. 2 又∵AC=BC= 2 AB, ∴CA2+CB2=AB2, ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. 2 2 (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= 2 AB= 2 , 1 ∴CH⊥AB,且 CH=2,又平面 ABED⊥平面 ABC 1 1 1 ∴GH⊥平面 ABCD,∴V=3×1×2=6. 22[解析] (1)证明: 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面三边长 AC =3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC. 又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面 BCC1B1.
13

∵BC1?平面 BCC1B,∴AC⊥BC1. (2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,又四边形 BCC1B1 为正方形. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)解:∵DE∥AC1, ∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角. 1 5 在△CED 中,ED=2AC1=2, 1 5 1 CD=2AB=2,CE=2CB1=2 2, 2 2 2 ∴cos∠CED= 5 = 5 . 2 2 2 ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 5 .

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