当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 统计案例 章末课时作业 新人教A版选修1-2


第一章 统计案例 章末课时作业 新人教 A 版选修 1-2

题型一 回归分析思想的应用

回归分析是对抽取的样本进行分析,确定两个变量的相关关系,并用一个变量的变化去推测 另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关,我们可以通过对变量进行变换,转化为线性 相关问题. 例 1 一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10 次试验, 测得的数据如下表: 零件数 x/个 加工时间 y/min 10 62 20 72 30 75 40 81 50 85 60 95 70 103 80 108 90 112 100 127

(1)画出散点图,并初步判断是否线性相关; (2)若线性相关,求线性回归方程; (3)求出相关指数; (4)作出残差图; (5)进行残差分析; (6)试制订加工 200 个零件的用时规定. 解 (1)散点图,如图所示.
-1-

由图可知,x,y 线性相关.
^ ^ ^

(2)x 与 y 的关系可以用线性回归模型来拟合,不妨设回归模型为y =a +b 将数据代入相应公式可得数据表: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ ∵ x =55, y =92,
10

零件个数 xi/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550

加工时间 yi/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 920

xiyi
620 1 440 2 250 3 240 4 250 5 700 7 210 8 640 10 080 12 700 56 130

x2 i
100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000 38 500

∑xiyi-10 x y 56 130-10×55×92 i=1 ∴ = 10 = 2 38 500-10×55 2 2 ∑ x i-10 x i=1 = 553 ≈0.670, 825

553 827 = y - x =92- ×55= ≈55.133, 825 15 故线性回归方程为 =0.670x+55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据:
^

y

i
^

61.833
i

68.533 3.467

75.233 -0.233

81.933 -0.933

88.633 -3.633

yi-y

0.167

-2-

yi- y

-30

-20

-17

-11

-7

^

y

i
^

95.333
i

102.033 0.967 11

108.733 -0.733 16

115.433 -3.433 20

122.133 4.867 35

yi-y yi- y

-0.333 3

10

^ 2

∑ ?yi-y i? i=1 2 ∴R =1- 10 ≈0.983. 2 ∑ ? y i- y ? i=1
^ ^

(4)∵e i=yi-y i,利用上表中数据作出残差图,如图所示.

(5)由散点图可以看出 x 与 y 有很强的线性相关性,由 R 的值可以看出回归效果很好. 由残差图也可观察到,第 2,5,9,10 个样本点的残差比较大,需要确认在采集这些样本点的过 程中是否有人为的错误.
^

2

(6)将 x=200 代入回归方程,得y ≈189, 所以可以制订 189 min 加工 200 个零件的规定. 反思与感悟 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤

是先画出散点图,并对样本点进行相关性检验,在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本 数据,从而建立较好的回归方程,并用该方程对变量值进行分析;有时回归模型可能会有多 种选择(如非线性回归模型),此时可通过残差分析或利用相关指数 R 来检验模型的拟合效果, 从而得到最佳模型. 跟踪训练 1 在一段时间内,某种商品的价格 x 元和需求量 y 件之间的一组数据为:
2

x(元) y(件)

14 12

16 10

18 7

20 5

22 3

且知 x 与 y 具有线性相关关系,求出 y 对 x 的线性回归方程,并说明拟合效果的好坏. 解

x = ×(14+16+18+20+22)=18,

1 5

-3-

y = ×(12+10+7+5+3)=7.4,
5

1 5

∑xi=14 +16 +18 +20 +22 =1 660, i=1
5

2

2

2

2

2

2

∑xiyi=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620, i=1
5 ^

∴b =

∑ xiyi-5 x i=1
5

y
2

i=1

∑ xi-5 x

2

620-5×18×7.4 -46 = 2 = 1 660-5×18 40

=-1.15.
^

∴a =7.4+1.15×18=28.1,
^

∴线性回归方程为y =-1.15x+28.1. 列出残差表为:
^

yi-y yi- y
5 ^ 2 5

i

0 4.6
2

0.3 2.6

-0.4 -0.4

-0.1 -2.4

0.2 -4.4

∴∑ (yi-y i) =0.3,∑ (yi- y ) =53.2, i=1 i=1
5 ^ 2

∑ ?yi-y i? i=1 R2=1- 5 ≈0.994. 2 ∑ ? y - y ? i i=1 故 R ≈0.994 说明拟合效果较好.
2

题型二 独立性检验思想的应用 独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想,类似于数学中的反证法,要确认两个分类 变量有关系这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设“两个分类变量没有 关系”成立,在该假设下我们构造的随机变量 K 应该很小,如果由观测数据计算得到的 K 的 观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理. 例 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这
2 2

200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下表 1 和 表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm ) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 30 [65,70) 40 [70,75) 20 [75,80) 10
2

表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表

-4-

疱疹面积 频数

[60,65) 10

[65,70) 25

[70,75) 20

[75,80) 30

[80,85) 15

完成下面 2×2 列联表,能否在犯错误概率不超过 0.001 的前提下,认为“注射药物 A 后的疱 疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3: 疱疹面积小于 70 mm 70 mm
2

疱疹面积不小于 合计

2

注射药物 A 注射药物 B 合计 解 列出 2×2 列联表

a= c=

b= d= n=

疱疹面积小于 70 mm 70 mm
2

疱疹面积不小于 合计

2

注射药物 A 注射药物 B 合计

a=70 c=35
105

b=30 d=65
95

100 100

n=200

K2=

200×?70×65-35×30? ≈24.56, 100×100×105×95
2 2

由于 K >10.828,所以在犯错误概率不超过 0.001 的前提下,认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 反思与感悟 解决一般的独立性检验问题的步骤: (1)通过列联表确定 a,b,c,d,n 的值;根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0;

n?ad-bc? 2 2 (2)利用 K = 求出 K 的观测值 k; ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

(3)如果 k≥k0,就推断“两个分类变量有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 α ,否则就 认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“两个分类变量有关系”. 跟踪训练 2 某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调

查,数据如下表所示: 赞同 男 女 总计 198 476 674 反对 217 109 326 总计 415 585 1 000
-5-

根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为对这一问题的看法与性别有 关系?[P(K ≥10.828)≈0.001] 解 假设“对这一问题的看法与性别无关”,由列联表中的数据,可以得到:
2

K2 的观测值 k=


n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

1 000×?198×109-217×476? 415×585×674×326

≈125.161>10.828, 又 P(K ≥10.828)≈0.001, 故在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有 关. [呈重点、现规律] 1.建立回归模型的基本步骤:(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预 报变量.(2)画出散点图,观察它们之间的关系.(3)由经验确定回归方程的类型.(4)按照一 定的规则估计回归方程中的参数.(5)得出结果后分析残差图是否有异常. 2.独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法.常用的直观方法 为等高条形图,等高条形图由于是等高的,因此它能直观地反映两个分类变量之间的差异的 大小,而利用假设的思想方法,计算出某一个随机变量 K 的值来判断更精确些.
2 2

-6-



相关文章:
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 统计案例 1...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 统计案例 1.1回归分析的基本思想...(一)课时 作业 新人教 A 版选修 1-2 明目标、知重点 1.了解随机误差、...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 统计案例 1...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 统计案例 1.2独立性检验的基本...新人教 A 版选修 1-2 明目标、知重点 1.了解分类变量的意义.2.了解 2×2...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章末检测1 苏教版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。统计案例章末检测一、填空题(本大题共 14 小题,每小...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数章...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数章末复习课时作业 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 2015-2016 学年高中数学 第一章 ...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章末总结 苏教版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。统计案例 章末总结 知识点一 独立性检验 独立性检验是对...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 统计案例章末复习提升1 苏教版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。统计案例 章末复习提升 1 1.独立性检验 n(ad-bc...
【创新设计】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1同步...
【创新设计】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1同步课时作业与单元检测:圆锥曲线与方程 章末检测(B)_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015-2016学年高中...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末课时作业 新人教A版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。第三章 数系的扩充与复数的引入...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 空间几何体...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第一章 空间几何体习题课课时作业 新人教A版必修2 - 习题课 空间几何体 【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构,以三视图...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第四章 框图 4.2结...
【创新设计】2015-2016学年高中数学 第四章 框图 4.2结构图课时作业 新人教A版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。第四章 框图 4.2 结构图课时作业 新人教 A ...
更多相关标签: