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等差数列性质教案


等差数列性质(一)
主备人:沈青 教学目标 知识与技能 掌握等差数列概念、通项公式、性质 过程与方法 梳理知识点,以填空的形式复习,习题巩固 情感、态度与价值观 培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力. 教学重点 掌握等差数列的通项公式灵活运用性质解决相关问题. 教学难点 选择合适的方法,解决问题. 教学方法 “三学一教”四步教学法 教学课时 一课时 教学手段 多媒体

辅助教学 教学过程 一、明标自学 知识梳理 1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

, 首项: a1 ,公差:d,末项: an

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 4.等差数列的判定方法 (1)定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? (3)数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。
?

2A ? a ? b

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 5.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ?
?

?an ?是等差数列.

?an ?是等差数列.

6.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn , 其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即 知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d )

7.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列. (3) 当 m ? n ? p ? q 时 , 则 有 am ? an ? a p ? aq , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有

am ? an ? 2ap .
注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, 1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ?? (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 即若{an}是等差数列, a1+a2+?+am,am+1+am+2+?+a2m,a2m+1+a2m+2+?+a3m,? 则 是 数列. 若 a1,a2,? (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差
*

数列. 二、合作释疑 例 1. (1)已知数列 8, a, 2, b, c, ?7 是等差数列,求未知项 a, b, c 的值. 解:由等差中项公式得 2a ? 2 ? 8 ? 10, a ? 5, d ? ?3, b ? ?1, c ? ?4 (2)已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a-1,a+1,2a+3,求此数列的通项 an 解:由等差中项公式得 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 2a ? 3 ,得 a ? 0 ,所以等差数列{an}的前 3 项 依次为-1,1,3,所以 d=2,通项公式为 an ? ?1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 3 (3)等差数列 ?an ? 中, a2与a6 的等差中项为 5 , a3与a7 的等差中项为 7 ,求此数列 的通项 an 解:由题知 a2 ? a6 ? 10, a3 ? a7 ? 14, 则 a4 ? 5, a5 ? 7, d ? 2 ,所以

an ? a4 ? (n ? 4) ? 2 ? 5 ? 2n ? 8 ? 2n ? 3
例 2.(1)等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8=_18________ (2)在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 ? __24_ 解:由性质得 5a8 ? 120 a8 ? 24, 则 2a10 ? a12 ? a10 ? a10 ? a12 ? a8 ? a12 ? a12 ? 24 , 三、点拨拓展 例 3. 1) ( 首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是 d ? 解: a1 ? ?24, a10 ? a1 ? 9d ? ?24 ? 9d ? 0 , d ?

24 9

24 9

(2)如果等差数列{an}的第 5 项为 5,第 10 项为-5,那么此数列的第一个负数项是 第__8_项. 解: a5 ? 5, a10 ? ?5, d ?

a10 ? a5 ? 5 ? 5 ? ? ?2, 10 ? 5 5

(3) 若 x≠y,两个数列:x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列, 求

a2 ? a1 b4 ? b2

解:设两个数列的公差分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ?

a ? a1 d y?x y?x 5 , d2 ? , 所以 2 ? 1 ? 4 5 b4 ? b2 2d 2 8

例 4.数列 ?an ? 是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列公差; (2)求前 n 项和 sn 的最大值; (3)当 s n ? 0 时,求 n 的最大值. 解 : 1 ) a1 ? 23, a6 ? 0, a7 ? 0 , 则 ? (

? a 6 ? a 1 ?5d ? 0 ?a 7 ? a1 ? 6d ? 0

,即 ?

?23 ? 5d ? 0 ,所以 ?23 ? 6d ? 0

23 23 ?d ?? ,又 d ? z ,所以 d ? ?4 5 6 6?5 ? (?4) ? 78 (2)由题知 ( s n ) max ? s 6 ? 6 ? 23 ? 2 n(n ? 1) 25 ? (?4) ? ?2n 2 ? 21n ? 0, 则 0 ? n ? (3) s n ? 23n ? ,所以 n ? 12 2 2 ?
四、当堂检测

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,求 n 的值 3 (2) 在数列 {an } 中 a1 ? 1, a 2 ? 2 , an?2 ? an ? 1 ? (?1) n , (n ? N ? ) ,则 s100 ? ______ 且
(1)等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 (3)设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 2+ 2 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为________ (4) 若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 和 x 2 ? x ? b ? 0, (a, b ? R且a ? b) 的四个根组成
2

1 首项为 的等差数列,则 a ? b ? ____________ 4 (5)已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和满足: s n ? (1)求证: {an } 是等差数列; (2)若 bn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

1 a n ? 30 求数列 {bn } 的前 n 项和的最小值. 2

五、交送作业 完成基础强化天天练本章测试(一) 六、课时小结 本节课主要复习巩固了等差数列的通项公式及性质,在例题讲解的过程中还是要留 给学生时间思考,以学生为主,在练习中巩固知识点,不足之处及时讲解. 七、教学反思 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________


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