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指数、对数函数的运算


指数式、对数式的运算
(一)基本知识: 1、根式的运算: (1) ( n a ) =
n m
n

(2) a

n

n

? ?? ?
? ? n m

, n为 奇数,n ? 1 , n为偶数,n ? 1

(3)a



?

, (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) (4) a

?

, (a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1)

2、幂的运算性质: (a, b ? 0, m, n ? Q)

am ? an =
b

,a ?a =
m n

, (ab) =

n

, (a ) =

m n

, 的对数,记

3 、 如 果 a ? N , (a ? 0, a ? 1) 那 么 幂 指 数 b 叫 做 作 ,其中 a 叫做 ,N 叫做 。

4、对数的运算法则: ( M , N ? 0, a ? 0, a ? 1) (1) log a ( MN ) ? (4) log a
m

, (2) log a

M ? N
n

, (3) log a N , (6) a
log a N

m

?




N ?

, (5) log a m b ? 。 )
2

?

(7)换底公式: (二)基本训练: 1、下列等式中,正确的是(

A . 3a ?2 ?

1 3a 2

B .a3 ?a
1 2

?

1 3

?3 a

? 7? C .?2 ? ? 9?
2、(1)

0.5

10 1 ? (2 ) 3 ? 125 3 ? 29 27 3

D . 33 log3 5 ? 51?log5 2 ? 127 .5

log 8 9 的值是 log 2 3
b

.(2)已知 x ? log 3 2,3 ?
y

1 , 则x ? y ? 2



3、已知 log 3 2 ? a,3 ? 5, 则 log 3

30 用 a,b 表示为 1 1 1 A、 (a ? b ? 1) B、 (a ? b) ? 1 C、 (a ? b ? 1) 2 2 3 4、计算 2 log 5 25 ? 3 log 2 64 ? 8 log 7 1等于
A. 14 B. 220
3 ? 2 4

D、

1 a ? b ?1 2

C. 8 有意义的 x 的取值集合是

D. 22

5、使式子 (3 ? 2 x ? x ) A. R

B. {x | x ? 1, 且x ? 2}

C. {x | ?3 ? x ? 1}

D. {x | ?3 ? x ? 1}

第 1 页 共 4 页

例题讲解: 例1、 求下列各式的值: (1) ? 2 ? ? 2

? 3? ? 5?

0 ?2

1 ? ? (2 ) 2 ? (0.01) 0.5 ; 4

1

1

(2) (a 2 ? 3 b 2 ) ?3 ? b ?4 ? a ?2 ;

(3)) ?log 3 2 ? log 9 2? ? ?log 4 3 ? log 8 3? ;

(4) lg 12 .5 ? lg 0.5 ? lg

5 . 8

1

1

(5) 4 x 4 (?3x 4 y

?

1 3

) ? (?6 x 2 y 3 )

?

1

?

2

(6) lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ;
2

例 2、 )设 ln a ? ln b ? 2ln(a ? 2b) ,求 log 4 (!

a 的值. b

(2)已知 2 lg

x x? y 的值 ? lg x ? lg y ,求 y 2

例 3、 (1)若 (2.5) ? 1000 , (0.25) ? 1000 , 求证: ?
x y

1 x

1 1 ? 。 y 3 x 的值。 y

(2)若 lg( x ? y ) ? lg( x ? 2 y ) ? lg 2 ? lg x ? lg y, 求 (3)已知 log 8 9 ? a, log 2 5 ? b, 用a, b表示 lg 3.

第 2 页 共 4 页

专题训练: 1、在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 A.(-x) = - x (x≠0)
0.5


1 3



B. 6 y 2 ? y ( y ? 0) D. x
? 1 3

x ? y 3 C. ( ) 4 ? 4 ( ) ( xy ? 0) y x

3

? ?3 x
( D、9a ( D、 ) )

?1 1 5 ? 2、化简 (a b ) ? (?3a b ) ? ? a 6 b 6 ? 得到 ?3 ?
2 3 1 2 1 2 1 3

A、6a B、-a C、-9a 3、若 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 log5 12 的值是 A、

2a ? b 1? a
5

B、

a ? 2b 1? a

C、

2a ? b 1? a

a ? 2b 1? a

4、已知 f x A、

? ? ? lg x, ,则 f ?2?等于
B、 lg 2
?1

lg 2

1 5

C、 lg 32
?1

D、 lg
?2

1 32

5、若 a ? (2 ? 3 ) , b ? (2 ? 3 ) , 则(a ? 1)

? (b ? 1) ?2 的值是

A、 1

B、

1 4

C、

2 2

D、

2 3


6、 、若 (2 x ? 6)

x 2 ?5 x ? 6

? 1 ,则 x 的值是
C.89 D.111 . 的值是

7、 、若 log 2 [log 3 (log 4 x)] ? log 3 [log 4 (log 2 y)] ? log 4 [log 2 (log 3 z )] ? 0, 则x ? y ? z ? A.50 B.58

8、 5 log25 9 -2log31+3log84 的值为 9、已知 60 a ? 3,60 b ? 5, 则12 10、
1? a ?b 2 (1?b )

. 。

1 lg 25 ? lg 2 ? lg 10 ? lg(0.01) ?1 = 2
a b c

11、已知 a,b,c 均为正整数, 3 ? 4 ? 6 ,求证:

2 1 2 ? ? a b c

3 1、将 ? 2 2 化为分数指数幂的形式是


1 ? 2



A. 2

1 2

B.- 2

1 2

C. 2

D.- 2

1 ? 2

第 3 页 共 4 页

2、 3 a ?6 ?a等于(其中a ? 0) A. ? ?a
2

( C. ? a D. a ( D.{x|-3<x<1 } ( C.2
2m ? n



B. ? a
? 3 4

3、使式子(3-2x-x ) 有意义的 x 的取值集合是 A.R B.{x|x≠1 且 x≠2} C.{x|-3≤x≤1} 4、 log (
n ?1 ? n )

) ) )

( n ?1 ? n) =
B.-1 D.-2 等于 C. 5
1 3 1

A.1

5、若 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,则 a

( D. 7

A. 6 B. 12 6、考查如下 4 个结论,其中正确的结论有:
2 3 2 3

(1) 当 a<0 时, (a ) ? a ; (2) (3 ? a) ? ?a ? 5?3 ; (3)函数 y ? ( x ? 2) ? (3x ? 7) 0 的定义域是 {x | x ? 2} ; (4)已知 100 ? 50,10 ? 2, 则2a ? b ? 1 ;
a b

1 2

A、0 个

B、1 个

C、2 个
1

D、3 个

7、已知 log 7 [log 3 (log 2 x)] ? 0, 那么x 2 等于 A、

1 3

B、

3 6

C、

2 4

D、

3 3

8、化简 5 A、 lg

5 log25 (lg2 2?lg ) 2

的结果是 C、 lg 5
2

1 5
x? y x?

B、 lg 5

D、 ? lg 5

9、

y

?

2 xy x y?y x

=



1 ? log3 6 ? log 6 x ? 2, 则x ? ______ ; 3 11、若 log 3 2 ? a, 则 log12 3 ? _______ ;
10、 若 log5

) ? x ? 2, 则f (125 ) ? _________; 12、 f (5 13、化简与计算:
1) a b ? ab ( a ? 0, b ? 0) ;
3 2 ?4 2

2 x ?1

2)若 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) ,求 log

2

x 的值; y

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