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高中物理人教版选修3-4章节课件:11.4单摆


知识与技能

1.理解单摆振动的特点和单摆做简谐运动的条件。
2.了解影响单摆周期的因素,会用周期公式计算周 期和摆长。 3.通过探究单摆振动周期的规律,培养学生的科学 探究能力。

4.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法。

过程与方法

理解并记忆单摆的周期公式,能用单摆的周期公式


定重力加速度。 情感、态度与价值观 1.培养学生利用理想化模型解题,并注意与实际模 型的联系。

2.培养学生在物理学习中的探索精神。

1.用细线悬挂一个小球,如果细线的质量与小球相比 可以忽略,球的________与线的________相比可以忽略, 这样的装置就叫做________。 2.在偏角很小的情况下,摆球所受的回复力与它

________的位移成正比,方向总是指向________,因此单
摆做简谐运动。

3.单摆的周期公式是T=________,由此式可知,单

摆的周期与________、摆球________无关。
4.用单摆测定重力加速度:由单摆周期公式可得g= ________,如果测出单摆的摆长l、周期T,就可以求出当 地的重力加速度。

答案:

1.直径

长度

单摆
平衡位置
质量

2.偏离平衡位置
3.2π 4π2l 4. 2 T l g 振幅

知识点1

单摆

(1)单摆是一个理想化模型:用一根不可伸长且没有质 量的细线悬挂一质点所组成的装置,叫做单摆,它是实际 摆的理想化模型。

(2)实际摆在满足下列条件时可看成是单摆。
①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略,悬线的质量 与摆球质量相比可忽略,这时可把摆线看成是不可伸长, 且没有质量的。

②摆球的大小与摆线长度相比可忽略,这时可把摆球

看成是没有大小只有质量的质点。
(3)单摆做简谐运动的条件: 小球摆到最高点时,细线与竖直方向的夹角叫偏角。 偏角很小(θ<10°)时,单摆做简谐运动。

【例1】单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型,

其理想化条件是
A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩 C.摆球的直径比摆线长度短得多

(

)

D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动

【答案】A、B、C

【解析】一根不可伸长的且没有质量的细线悬挂一质

点组成的装置,我们称作单摆,它是一个理想化模型,所
谓理想化是指细线不伸长且无质量, 小球的大小不计可视 为质点,故A、B、C正确;单摆做简谐运动的条件是细线 与竖直方向夹角很小,一般θ<10°,故D项错误。 【思维点悟】此题考查了单摆理想化模型及单摆做简

谐运动的条件,对这两点应理解掌握。

知识点2

单摆的回复力

如图11-4-1所示,摆球受重力mg和绳子拉力F′两
个力作用,将重力按切线方向和径向正交分解,则绳子的 拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动 所需的向心力,而重力的切向分力F提供了摆球振动所需 的回复力F=mgsinθ。

图11-4-1

x 在最大摆角很小时,sinθ≈ l 。F 的方向可认为与 x 平行,但方向与位移方向相反,所以回复力可表示为 F= mg - l x。 mg 令 k= l ,则 F=-kx,由此可见,单摆在偏角较小 的情况下的振动是简谐运动。

说明:摆球所受的回复力是合力沿圆弧切线方向的分

量(等于重力沿圆弧切线方向的分量),而不是合力,因此
摆球经平衡位置时,只是回复力为零,而不是合力为零 (合力不为零),此时合力提供小球做圆周运动的向心力。 实质上运动过程中沿绳方向上的合力一直提供小球做圆周 运动的向心力。

【例2】下列关于单摆的说法,正确的是

(

)

A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的
位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时 的位移为-A B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力 C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的

分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 【答案】C

【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,

摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应
为零。摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等 于重力沿圆弧切线方向的分力)提供,合外力在摆线方向 的分力提供向心力,摆球经最低点(振动的平衡位置)时回 复力为零,但向心力不为零,所以合外力不为零(摆球到

最高点时,向心力为零,回复力最大,合外力也不为零)。

【思维点悟】单摆经过平衡位置时所受合外力不为零,

此时回复力为零,但向心力不为零,合外力刚好提供向心
力,所以此时摆球加速度不为零。这与弹簧振子有所不同, 弹簧振子经过平衡位置时,所受合外力为零,因此加速度 为零。

对应练习

1.下列有关单摆运动过程中的受力说法,正确的是
( A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个 分力 )

C.单摆过平衡位置的合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

解析:单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动

过程中不仅有回复力,而且有向心力,即单摆运动的合外
力不仅要提供回复力,而且要提供向心力,故选项A错误; 单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力,而不是 摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;单摆过平衡位 置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所

以选项C错误。
答案:B

知识点3

单摆的周期

荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下,单摆
的周期跟摆长的平方根成正比,跟重力加速度的平方根成 反比,而跟摆球的质量和振幅无关,即

T=2π

l g

式中l为悬点到摆球球心间的距离,g为当地的重力加
速度。

注意:(1)单摆的等时性:在振幅较小时,单摆的周期

与单摆的振幅无关,单摆的这种性质叫单摆的等时性,是
伽利略首先发现的。并规定周期为2 s的为秒摆。 (2)单摆的周期公式在最大偏角很小时成立。 (3)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度。 (4)单摆的摆长l:因为实际的单摆摆球不可能是质点,

所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度。对于不规则的摆
动物体或复合物体,摆长均为从悬点到摆动物体重心的长 度。而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长。

【例3】一个单摆的摆长为l,在其悬点O的正下方

0.19l处有一钉子P(如图11-4-2所示),现将摆球向左拉
开到A,使摆线偏角α<10°,放手使其摆动,求出单摆的 振动周期。

图11-4-2

【答案】1.9π

l g

【解析】释放后摆球到达右边最高点B处,由机械能

守恒知B和A等高,此时摆线偏角β<α<10°,则摆球始
终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化,它的周 期为两个不同单摆的半周期的和,即

1 1 T= T1+ T2=π 2 2

0.81l g +π

l g=1.9π

l g。

【思维点悟】本题考查利用单摆的周期公式计算单摆

周期。注意不同的摆长有不同的周期,还要注意怎样的运
动过程才是一个周期。

对应练习

2.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完
成6次全振动,两摆长之差为1.6 m,则两单摆摆长la与lb分 别为 A.la=2.5 m,lb=0.9 m B.la=0.9 m,lb=2.5 m ( )

C.la=2.4 m,lb=4.0 m
D.la=4.0 m,lb=2.4 m

解析:设单摆a、b振动的时间为t。根据单摆振动的

周期公式,有
t Ta= =2π 10 t Tb= =2π 6 la g ,① lb g 。②

t t 由①②式看出 > ,lb>la,则有 lb-la=1.6 m。③ 6 10 由①②式联立,解得 100la=36lb。④ 由③④式联立,解得 la=0.9 m,lb=2.5 m,故 B 项正 确。
答案:B

1.等效摆长问题 等效摆长 l:摆长 l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心 的距离,而不是一定为摆线的长。如图 11-4-3 所示, 摆球可视为质点,各段绳长均为 l,甲、乙图中摆球做垂 直纸面的小角度摆动,丙图中球在纸面内做小角度摆动, l O′为垂直纸面的钉子,而且 OO′= ,求各摆的周期。 3

图11-4-3

甲摆等效摆长为 l· sinα T 甲=2π l· sinα g

乙:等效摆长 l′=lsinα+l T 乙=2π l(sinα+1) 。 g

丙:摆线摆到竖直位置时,圆心就由 O 变为 O′,摆 l 球振动时,半个周期摆长为 l,另半个周期摆长为(l- ),即 3 2 为 l,则单摆丙的周期为 T 丙=π l/g+π 3 2l/3 g 。

2 2 【答案】 π

【解析】甲球做自由落体运动, 1 2 R= gt1,所以 t1= 2 2R g。 ?R,所以 θ<5° ),此

乙球沿圆弧做简谐运动(由于

振动与一个摆长为 R 的单摆振动模型相同,故此等效摆长 为 R,因此第 1 次到达 C 处的时间为 1 2π R/g π t2= T= = R/g, 4 4 4 所以 t1 2 2 ?t2= 。 π

2.摆钟快慢问题的分析方法

摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用,其快慢不同
是由摆钟的周期变化引起的,分析时应注意: (1)由摆钟的机械构造所决定,钟摆每完成一次全振动, 摆钟所显示的时间为一定值,也就是走时准确的摆钟的周 期T。

(2)在摆球机械构造不变的前提下,走时快的摆钟,在

给定时间内全振动的次数多,周期小,钟面上显示的时间
快。走时慢的摆钟,给定时间内全振动的次数少,周期大, 钟面上显示的时间就慢。因钟面显示的时间总等于摆动次

数乘以准确摆钟的周期TS,即t显=N·TS,所以在同一时间
t内,钟面指示时间之比等于摆次数之比。 (3)无论摆钟走时是否准确,钟面上显示的时间t 显 = N·TS,其中TS为走时准确摆钟的周期,N为全振动的次数。 对于走时不准确的摆钟,要计算全振动的次数,不能用钟 面上显示的时间除以其周期,而应以准确时间除以其周期, 即N非=t/T非。

【例5】将在地面上校准的摆钟拿到月球上去,若此

钟在月球上记录的时间是1 h,那么实际的时间是多少?
若要在月球上使该钟与地面上时一样准,应如何调节? (已知g月=g地/6)。
1 【答案】将摆长调到原来的 6

【解析】设在地球上该钟的周期为 T0,在月球上该钟 的周期为 T,指示的时间为 t。则在月球上该钟的时间 t 内 t 振动的次数为 N=T。在地面上振动次数 N 时所指示的时 t0 间为 t0,则有 N= , T0 t t0 T0 即T= ,所以 t0= T · t= T0 6 地面上的实际时间为 h。 6 要使其与在地面上时一样准,则 T=T0, g月 6 · t= h。 6 g地

即 2π

l月 =2π g月

l地 1 ,l 月= l 地。 6 g地

1 即应将摆长调到原来的 。 6

钟表小史 古时候没有钟表,人们根据太阳影子的长短来判断时 间。中国古代很早就用日晷计时。河南省登封县告成镇现

存元代的一个观星台遗址,它的台高约9.5 m,台下有长
约31.2 m的南北向的“量天尺”,这是当时先进的计时建 筑。

用日影测时受气象限制,很不方便。于是人们发明了

漏沙计时的“沙钟”,燃香计时的“火钟”,滴水计时的
“水钟”。我国北宋苏颂等人发明了“水运仪象台”,它 是最早采用齿轮的机械计时仪,被已故著名科学史专家李 约瑟誉为“现代天文钟的鼻祖”。

17世纪中叶,意大利科学家伽利略发现了单摆的等时

性。1656年,荷兰物理学家惠更斯利用这一性质制出了第
一个实用的机械摆钟,从此人类掌握了比较精确的测量时 间的方法。1658年英国物理学家胡克发明了有摆轮的怀表, 1760年具有时、分、秒三个针的怀表问世,机械表更加具 有实用价值。最精确的机械钟要数1920年问世的邵特钟,

它一昼夜误差只有千分之一秒,被当时的天文台用来作天
文钟。

但是机械钟怕震,一次小地震就可能使它停摆或产生

较大的误差,而且它的精度不能再提高了。20世纪30年代
石英钟问世了,它一昼夜误差只有万分之一秒,充当了天 文钟的角色。 后来人们发现某些物质的分子或原子有更为稳定的计 时功能,于是出现了原子钟。世界上第一台原子钟1949年

在美国造出。原子钟运行3 000多年才产生1 s的误差,所
以目前天文台使用的都是原子钟。


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