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4.1实数指数幂及其运算


4.1实数指数幂


指数

习(初中知识)

一、整数指数幂的概念
1.概念


底数
0

a ?a ? a ?? a(n ? N ) ? ?? ? ?
n * n个 a

a ? 1(a ? 0)

r />例如:

a

?n

1 ? ? n (a ? 0, n ? N ), a

二、平方根与二次根式的概念
1.平方根的定义:若 x 2 ? a ,则 x 叫做 a 的平方根。 即 a 的平方根是 ? a ( a ? 0 ) 如:4的平方根是 其中算术平方根是 a ( a ? 0 ) 2 。 ,算数平方根是

2.二次根式的定义:形如
(1)对

a ( a ? 0 ) 的式子叫做二次根式
a?0

a ( a ? 0 ) 的认识 ①表示a的算术平方根
② a?0 ( 双重非负性)

求函数定义域的依据. y ? f ( x) ? f ( x ) ? 0

求函数值域的依据. 如 : y ? 2 x ? 1的 值 域 ? y ? 0
2 ( 9) =9 , ?

(2)运算性质 ① ( a ) ? a ( a ? 0 )
2

2 如 ( 4) =4



? a  a ? 0 a ? a ?? ? ? a  a ? 0
2

如 22 ? 2
(?2)2 ? 2 ? ?(?2)

3 2 =3 , ?
( ? 3 ) 2 ? 3 ? ? ( ? 3 ), ?

一、n次方根的概念
一般地,如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么x叫做a的n次方根.

练习1
1)25的平方根是 ±5 4)0的7次方根是

0

2)27的三次方根是 3
3)-32的五次方根是 -2

5)16的四次方根是 ±2 6)64的三次方根是 4

通过练习,你能否得到一些一般性的结论?

(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. (2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数.

(3)负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.记作

n

0 = 0.

x ? 当n为奇数时,

n

a (a ? R )

当n为偶数时, x ? ?n a

(a ? 0)

其中 x ? n a

( a ? 0 ) 叫 a 的n次算术根

二、根式的概念 1. 定义
n

a
4 4

n

a
想一想
n n (2) a ? a?

2. 根式的运算性质

(1) ( a) ? a
n n

例如:( 16) ? 16
(3 ? 8 )3 ? ?8
n

例如:

当n为奇数时:
3

(2)当n为奇数时
n

an ? a

(?2)3 ? ?2
3

23 ? 2

?a (a ? 0) 当n为偶数时 a ? a ? ? ? ? a (a ? 0)
n

当n为偶数时:
4
4

24 ? 2
( ?2)4 ? ? 2 ? 2

例 例1计算
( 2 ) 2 ( ? 7 ) 2 =7 ( 3)3 ( a ? 1) 3 =a-1

题 (2)当n为奇数时
n n

n

an ? a

(1)5 ( ?10 )5 =-10 ∵根指数5为奇数 当n为偶数时
∵根指数2为偶数
∵根指数3为奇数

?a (a ? 0) a ? a ?? ? ? a (a ? 0)

( 4)4 ( m ? n)4 ? m ? n ∵根指数4为偶数

练习.求下列各式的值
(1)3 ( ?8) 3 =-8 ( 2) ( ?5) 2 =|-5|=5 ( 3 )4 ( 3 ? ? ) 4 ? 3 ? ?

?? ?3

( 4 )6 ( a ? b ) 6

? a?b

思考?
a?0
5

a

10

? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a ? 3 (a4 )3 ? a4 ? a

10 5 12 3

a 可看成a10的5次方根

10 5

3

a

12

3

a ? (a ) ? a
2

3

2 3 3

2 3 1 2

a 看成a 的3次方根

2 3

2

a ? (a ) ? a

1 2 2

三、分数指数幂
1.分指数幂的定义:

(1)a ? n a ( a ? 0 ) ( 2 )a ? n a m ( a ? 0 , m , n ? N *, 且 n ? 1)
m n

1 n

规定:
( 3 )a
? m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m , n ? N *, 且 n ? 1)

2.注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示; (2)根式与分式指数幂可以互化. (3)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意义.





例2把下列分数指数幂写成根式的形式
(1)a
2 3

? a
3
3 2

2

(2)a

3 5

? 5 a3
1 2

( 3)a

?

?

1 a
3 2

?

1 a
3

( 3)a

?

?

1 a
1 2

1 ? a

例3把下列根式写成分数指数幂的形式
(1) a ? a
3

1 2

(2)3 a 6
( 4) 1
3

? a ? a2
? (a ? b)
? 2 3

6 3

(3) a ? a

3 2

(a ? b)

2

课堂练习1 1.
(1)a

用根式表示下列各式(a>0)
1 5

(2)a

3 4

( 3)a
4 3

?

3 5

? a
5

? a

?

1
5

(4)a
3

?

2 3

a

?

1
3

a2

2. 用分数指数幂表示下列各式
(1)5 x 2
( 2 )4 ( a ? b ) 3 ( a ? b ? 0 )
2 5

( 3)3 ( m ? n ) 2 ( a ? b ? 0)

?x

? (a ? b)

3 4

? (m ? n)

2 3

( 4) ( m ? n )4 ( m ? n )

? (m ? n)

4 2

? (m ? n)2

课堂练习2

1.

(1)3 ( ?2) 3

=-2

( 2) ( ?5) 2

=|-5|=5

( 3 )4 ( 3 ? ? ) 4 ? 3 ? ? ? ? ? 3

( 4) ( a ? b ) 2 ( a ? b ) ? a ? b ? b ? a

2.
(1)3 x 2 (2)3 a 4
( 3) 1
5

?x ?a ?a
?

2 3 4 3

3 5

a

3

课堂小结:
一、根式 1.定义:形如
n

a (n ? N * 且n ? 1) 叫做根式,

n叫做根指数,a 叫做被开方数 2. 根式的运算性质 (1) (n a )n ? a
n
n

(2)当n为奇数时
二、分数指数幂

?a (a ? 0) 当n为偶数时 a ? a ? ? ? ? a (a ? 0)
n

an ? a

(1)a ? n a ( a ? 0 ) ( 2 )a ? n a m ( a ? 0 , m , n ? N *, 且 n ? 1)
( 3 )a
? m n

1 n

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m , n ? N *, 且 n ? 1)

实数指数幂运算法则

复习
根式的运算性质

(1) (n a )n ? a
?a (a ? 0) 当n为偶数时 a ? a ? ? ? ? a (a ? 0) 分数指数幂与根式互化
n n

(2)当n为奇数时

n

an ? a

(1)a ? n a ( a ? 0 ) ( 2 )a ? n a m ( a ? 0 , m , n ? N *, 且 n ? 1)
( 3 )a
? m n

1 n

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m , n ? N *, 且 n ? 1)

练习
1.
(1)3 ( ?2) 3

=-2

( 2) ( ?5) 2

=|-5|=5

( 3 )4 ( 3 ? ? ) 4 ? 3 ? ? ? ? ? 3

( 4) ( a ? b ) 2 ( a ? b ) ? a ? b ? b ? a

2.
(1)3 x 2 (2)3 a 4
( 3) 1
5

?x ?a ?a
?

2 3 4 3

3 5

a

3

复习:整数指数幂运算法则
运算法则:( 1)

a a ? a
n
m n

m?

m?n

( 2) ( a ) ? a am m?n ( m ? n, a ? 0) (3) n ? a a
( 4) ( a b ) ?
m

nm

a b

m

m

探究
第 表达式 一 组 1 1
3 ?3
2 2

3

1 1 ? 2 2

第 表达式 第 二 三 组 组
(3 ) 3
1 3 6

表达式

2

(4 ? 9)

1 2

4 ?9

1 2

1 2

结 果

结 果

结 果

一般地整数指数幂的运算性质同样也适用于 实数指数幂

实数指数幂运算
运算法则:( 1)

a a ?
n
m n

m?

a

m?n

( 2) ( a ) ? a 其中 m a m?n a ? 0, b ? 0, m, n ? R (3) n ? a a m m m ( 4) ( a b ) ? a b

nm

a n an (5)( ) ? n b b

练习:

8 ?
0
0

(? 8) ?
0

(a ? b) ?

10

?3

1 ? 10 3 ? 0 . 001

1 ?6 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 3 (? ) ? ? ? 64 (2 x) ? ? 3 1 2 x 6 1 2 (? ) 8x
2
?6 x ?2 x ( 2 ) ? ?4 r r 2 a 2 ?2 ?1 ? a b c 2 bc
3

64 1 4 6 r ? x ? 6 1 x r4

0.0001 ? 10 ? 4

例 1 求下列各式的值
( 1) 100 ;( 2) 8 ;( 3) 8 ?8
1 2 2 3 1 3 2 3

例 2 化简下列各式
() 1 a a;( 2) 3 3 ? 3 ? 3;( 3) (a b )
3 3 6 1 3 1 4 3

练习:95页1、2

课堂小结


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