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平面与平面平行的判定


平面与平面平行的判定 教学目标 1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用; 2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用. 教学重点和难点 重点:两个平面平行的判定定理; 难点:两个平面平行的判定定理的证明. 教学设计过程 一、复习提问 师:上节课我们研究了两个平面的位置关系,请同学们回忆一下,两个平面平行的意义是什 么? 生:两个平面没有公共点. 师:对,如果两个平面平行,

那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关 系呢? 生:平行. 师:为什么? 生:用反证法,假设不平行,则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内 ,而此两种情况都说明这两个平面有公共点,与两个面平行矛盾. 师:证得很好.反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面 平行.由以上结论,就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平 行的问题.但要注意:两个平面平行,虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面,但 这两个平面内的所有直线并不一定互相平行, 它们可能是平行直线也可能是异面直线, 但不

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可能是相交直线. 〔对旧知识复习,又有深入,同时又点出了“转化”的思想方法,为引入新课作铺垫〕 二、新课 师:接下来,我们共同对两个平面平行作定性研究,先来研究两个平面平行的判定——具有 什么条件的两个平面是平行的呢? 生:根据两个平面平行的定义,只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行, 就可得出两个平面平行.

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师:很好,实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上,判定两个平面平行,并不需要 一个平面内的所有直线都平行于另一个平面. 下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法,请大家思考以下几个命题. (1)平面α 内有一条直线与平面β 平行,则α ∥β ,对吗? (2)平面α 内有两条直线与平面β 平行,则α ∥β ,对吗? 〔学生讨论回答,并举出反例,得(1),(2)不对,教师接着问〕 (3)平面α 内有无数条直线与平面β 平行,则α ∥β ,对吗? 〔教师对学生的回答,作出适当评 述〕 师:以上三个命题均为假命题,那么,怎样修改一下命题的条件,就可得出正确结论? 〔学生讨论后,教师请一名同学回答〕 生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面. 师:说说你的想法. 生:我想,两条相交直线确定一个平面,若它们分别与另一个平面平行,则所确定的平面也 一定与这个平面平行. [此是学生的猜想,教师给予肯定,并引导学生进行严格论证]

师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来. 生:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. [教师板书,画图,并请一位学生写出已知,求证] 已知:在平面β 内 ,有两条相交直线 a,b 和平面α 平行. 求证:α ∥β . 师:欲证α ∥β ,而我们只知两个平面平行的定义,显然,若直接用定义证明,不很方便, 大家看怎 么办? 生:用反证法. 〔学生并未证明,只提出方法.教师先复习反证法的步骤:(1)否定结论,(2)推出矛盾, (3)得出结论.然后提出问题,让学生讨论,以引 导学生用反证法得出结论〕 师:问,(1)如果平面α 与平面β 不平行,那么它们的位置关系怎样.

(2)如果平面α 与平面β 相交,那么交线与平行于平面α 的直线 a 和 b 有什么关系? (3)相交直线 a 和 b 都与交线平行合理吗?错误结论是如何产生的? [教师根据学生回答,依次提出问题,同时板书该命题的证明过程] 证明:假设α ∩β =c. 因为 a∥α ,a ? β , 所以 a∥c,同理 b∥c,所以 a∥b. 这与题设 a 与 b 是相交直线矛盾. 故α ∥β .

师:以上我们用反证法证明了命题的正确性.我们就把这一命题作为两个平面平行的判定定 理之一.该定理是用来判定两个平面平行的,应用时关键是在一个平面内寻找两条相交直线 ,并证明与另外一个平面平行.也就是说:欲证面面平行,要先转化为线面平行.而转化的 思想方法是数学思维的重要方法之一,也是立体几何中,解决问题常用的方法. [教师在该命题前写上:两个平面平行的判定定理,以强调本节课的重点] 师:在现实生活中,该定理应用比较广泛,比如:木工师傅为了检查一个平面是否水平时, 往往用水准器在这个平面上交叉放两次, 水准器的气泡如果两次都是居中的, 就可以判定这 个平面是水平的,否则就不是水平的.其理论根据就是这一判定定理. [通过实例,证明定理在现实生活中的具体应用,贴近学生生活,更激发了学生探求知识的 积极性,活跃思] 师:大家还能发现哪些判定两个平面平行的定理呢?(教师巡视,找一名学生回答) 生:我想,如果两个平面都垂直同一条直线,那么这两个平面一定是平行的. 师:想法很好,能否谈一谈如何得出的? 生:在学习平面几何时,曾有一 个定理:垂直于同一条直线的两条直线平行.我就想,若把 其中的两条直线改为两个平面,那么这两个平面 会不会是平行的. 师:这位同学用到了一个重要的研究数学问题的方法——类比.就是从已经学过的定理出发, 对其中的某些条件作修改,得出一个新的命题.当然,这只是一种猜想,正确与否,还要大 家 进一步证明. 这位同学的猜想简单的说就是:垂直于同一条直线的两个平面平行.下面我们就 来证明这一 命题. 已知:AA′⊥平面α 于 A,AA′⊥平面β 于 A′. 求α ∥β .

师:本题要证的是两个平面平行,有哪些工具呢? 生:两个面平行的判定定理. 师:应用该定理的条件是什么? 生:是其中一面中心须有两条相交直线与另一面平行. 师:显然,题目中并不具备这一条件,我们是否改用其它方法?

[学生激烈讨论] 生甲:直接在平面β 内作直线 a∩b=O,如图 2(教师画图,使 O 与 A′不重合,突出矛盾) 生乙:这样做不好,没有充分利用题目的已知条件,不妨直接在平面α 内作直线 a∩b=A.而 直线 a 与 AA′确定一平面γ ,设γ ∩β =a′.能证:a′∥a,则 a∥β ,得出线面平行.同 理 也可证 b∥β .所以α ∥β . 师:不错.能够充分的利用题目中的条件,为解决问题带来大的方便.下面我们把作辅助线 的方法,稍作改进,写出证明. 证明:设经过直线 AA′的两个平面γ ,δ 分别与平面α ,β 交于直线 a,a′和 b,b′.

因为 AA′⊥α ,AA′⊥β , 所以 AA′⊥a,AA′⊥a′, 故 a∥a′.则 a′∥α . 同理 b′∥α , 又因为 a′∩b′=A, 所以α ∥β . 师:通过类比的方法,证明得到了两平面平行的又一个判定定理,它是在上一个判定定理的 基础上得到的.要注意的是,为了得到两条相交直线,并未直接在一个面内作,而是过 AA′ 作两 个相交平面δ ,γ ,它们分别与α ,β 相交,得到相交直线.由线线平行,得线面平行,最 后证明面面平行.这一证明方法是转化的思想方法的又一体现. 生:在上题的证明过程中,我发现:“如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线,那么这两个平面平行.”这样就可直接由线线平行证面面平行,不知对 不对? 师与生:对. [在授课过程中, 学生往往能根据所研究 问题, 思考得到自己的想法, 这是学生深入课堂, 积极思维的一种体现,也是课堂上的一种反馈,教师应抓住机会,热情鼓励,同时给出肯定 或否定的答复] 师:想法很好,大家能证明吗?(学生议论)对,用第一个判定定理很快就能证明.但此命题

不易作为判定定理直接应用.不过这一命题为我们今后判定两个平面平行提供了一条思路. 三、例题分析 [通过例题分析,复习巩固本节课的主要内容] 师:前面我们得到了两个平面平行的判定定理,为方便,把前者叫判定定理,后者叫判定定 理二.下面通过例题来分析如何使用判定定理. 例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. 求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD.

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师:欲证面面平行,由两个判定定理,必须有线面平行或是线面垂直.而题目所给的是正方 体及体内的截面,隐含较多的线面平行的位置关系.我们先来考虑应用判定定理一.

生:因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 所以 D1C1∥=A1B1,AB∥=A1B1, 所以 D1C1∥=AB, 所以 D1C1BA 为平行四边形, 所以 D1A∥C1B, 因为 C1B ? 平面 C1BD, 故 D1A∥平面 C1BD. 同理 D1B1∥平面 C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1,

所以 平面 AB1D1∥平面 C1BD. 师:大家再思考,能否用判定定理二来证明呢? [学生有的思考,有的议论] 师:若要用判定定理二,遇到的问题是什么? 生: 条件中没有直接与面 AB1D1 和面 BC1D 垂直的直线. 师:能解决吗? 生:作辅助线.连结 A1C,证明它与两个面都平行. 师:要证线面垂直,要先转化为线线垂直.证明线线垂直的一个重要方法是什么? 生:三垂线定理及其逆定理.连结 AC.可证 A1C⊥BD.

[至此,在教师的启发引导下,已基本解决问题,把证明过程规 范化] 证明:连结 A1C,AC, 因为 ABCD-A1B1 C1D1 为正方体,

所以 A1A⊥平面 ABCD. 所以 AC 为 A1C 在面 ABCD 上的射影. 又因为 BD⊥AC,且 BD ? 面 ABCD, 所以 A1C⊥BD. 同理: A1C⊥BC1. 又因为 BD∩BC1=B,

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所以 A1C⊥面 C1BD. 同理:A1C⊥平面 AB1D1, 所以 平面 AB1D1∥平面 C1BD. [通过一题多解,训练学生思维的灵活性] 小结 1.由学生用文字语言和符号语言两种形式表述面面平行的两个判定定理.教师指出, 两个判 定定理是判定面面平行的两个基本的理论工具. 2.空间两条直线平行,直线与平面平行,以及两个平面平行,三类平行关系的联系十分密 切 ,它们相互依赖,相互转化.在实际运用中,我们可以通过线线平行,或线面平行来推论平 面与平面平行. 3.转化的思想方法, 是数学思维的重要方法.解决数学问题的过程实质就是一个转化的过程 ,同学们要认真掌握. 布置作业 课本 p.38 习题五 1,3. 课堂教学设计说明 1.指导思想 这 节课本着“教师为主导,学生为主体,课本为主线”的原则进行设计.教师的主导作用, 在于激发学生的求知欲,通过教师在课堂上的精心设计,以启发式教学为主,引导学生步入 问题情境,同时发挥学生的主观能动性,师生共同推进课堂教学活动,使学生有一个积极的 态度接受新知识. 学生是课堂教学的主体.教师就是要引导学生讨论、学生发言,使得学生参加到数学教学活 动中,使得学生兴趣盎然,思维活跃,这样有利于培养学生独立思考问题的习惯,发展学生

的创造性思维能力,教师要注重学生的活动,同时给于肯定及鼓励. 2.教学实施 (1)复习提问,不仅是旧知识的复习,而是有所深入、提高,同时在思维方法明确转化的思 想方法. (2 )在讲解两个平面平行的判定定理一时,教师不要急于得出结论,而是设计三个问题, 逐 步深入,引导学生自己发现结论,提高了学生解决问题的兴趣.又考虑到:反证法是高一立 体几何中的一个重要而又难掌握的方法, 虽然前几节课有所接触, 然而对于同学而言仍属难 点,为了分解难点,在学生提出用反证法之后,仍根据反证法的步骤,依次提出三个问题, 引导学生证明,使证明方法容易接受. 对于定理二,突出类比方法在解决问题中的应用及证明过程中的转化思想. (3)在选择例题时,讲求不要多,而要精,精心选择例题,使它确实能够起到复习、巩固本 节课所学 知识的作用.本节课所选的例题,比较简单.特别是两种证明方法中,第一种容易 想到.但在引导学生得出第一种证明方法后,不能满足,而应启发学生,运用其它知识想更 多的方法进行证明.当然,第二种方法比较难,特别是辅助线不易想到,教师在讲解时要慢 慢启发.一题多解,是训练学生思维的一个较好的方式.


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