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万有引力定律公式讲解、例题及其应用[1]1


万有引力定律及其应用
知识网络: 天体运动 万有引力定律 地球卫星

教学目标: 1.掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2.掌握宇宙速度的概念 3.掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能 教学重点:万有引力定律的应用 教学难点:宇宙速度、人造卫星的运动 教学方法:讲练结合,计算机辅助教

学 教学过程: 一、万有引力定律: (1687 年)

F ?G

m1 m2 r2

适用于两个质点或均匀球体;r 为两质点或球心间的距离;G 为万有引力恒量(1798 年 由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出) G ? 6.67 ?10 二、万有引力定律的应用 1.解题的相关知识: (1)在高考试题中,应用万有引力定律解题的知识常集中于两点:一是天体运动的向
?11

N ? m2 / kg 2

4? 2 Mm v2 2 心力来源于天体之间的万有引力,即 G 2 ? m 2 = m 2 r ? m? r ;二是地球对物 T r r
体的万有引力近似等于物体的重力,即 G

mM 2 =mg 从而得出 GM=R g。 2 R 2? (2)圆周运动的有关公式: ? = ,v= ? r。 T

讨论:

①由 G

Mm v2 GM ? m 2 可得: v ? 2 r r r
Mm ? m? 2 r 可得: ? ? GM 3 r r2
2

r 越大,v 越小。

②由 G

r 越大,ω 越小。

Mm ? 2? ? 3 ③由 G 2 ? m? ? r 可得: T ? 2? r r ?T ?
④由 G

GM

r 越大,T 越大。

Mm GM ? ma向 可得: a向 ? 2 r 越大,a 向越小。 2 r r

点评:需要说明的是,万有引力定律中两个物体的距离,对于相距很远因而可以看作质 点的物体就是指两质点的距离;对于未特别说明的天体,都可认为是均匀球体,则指的是两 个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2.常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面: (1)测天体的质量及密度: (万有引力全部提供向心力)

Mm ? 2? ? 由 G 2 ? m? ? r r ?T ?
2

得M ?

4? 2 r 3 GT 2

4 3 又 M ? ?R ? ? 3

3?r 3 得? ? GT 2 R 3

【例 1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大。现有一中子星,观测 到它的自转周期为 T=

1 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定,不致因 30
?11

自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数 G=6.67 ? 10

m /kg.s )

3

2

解析: 设想中子星赤道处一小块物质, 只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所 需的向心力时,中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为 ? ,质量为 M ,半径为 R,自转角速度为 ? ,位于赤道处的小物块 质量为 m,则有

GMm ? m? 2 R 2 R

??

2? T

4 M ? ?R 3 ? 3

由以上各式得 ? ?

3? GT
2

,代入数据解得: ? ? 1.27 ?1014 kg / m3 。

点评: 在应用万有引力定律解题时, 经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分

析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。 (2)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题: (重力近似等于万有引力) 表面重力加速度:? G

Mm GM ? mg 0 ? g 0 ? 2 2 R R

轨道重力加速度:?

?R ? h ?

GMm
2

? m gh ? g h ?

?R ? h?2

GM

【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为 g0,行星的质 量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81,行星的半径 R0 与卫星的半径 R 之比 R0/R=3.6,行星 与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r/R0=60。设卫星表面的重力加速度为 g,则在卫 星表面有

GMm r2

? m g ……

经过计算得出:卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 1/3600。上述结果是 否正确?若正确,列式证明;若有错误,求出正确结果。 解析: 题中所列关于 g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度, 而是卫星绕行星做匀速 圆周运动的向心加速度。正确的解法是 卫星表面

Gm R2

=g

行星表面

GM R0
2

=g0

即(

R0 2 m g ) = R M g0

即 g =0.16g0。 (3)人造卫星、宇宙速度: 人造卫星分类(略) :其中重点了解同步卫星 宇宙速度: (弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别) 【例 3】我国自行研制的“风云一号”“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。 、 “一 号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直,周期是 12h; “二号”是地球同步 卫星。两颗卫星相比 将是 。
r3 GM

号离地面较高;

号观察范围较大;

号运行速度较大。

若某天上午 8 点“风云一号”正好通过某城市的上空,那么下一次它通过该城市上空的时刻

解析:根据周期公式 T= 2?

知,高度越大,周期越大,则“风云二号” 气象卫星

离地面较高;根据运行轨道的特点知, “风云一号” 观察范围较大;根据运行速度公式 V=
GM r

知,高度越小,速度越大,则“风云一号” 运行速度较大,由于“风云一号”卫

星的周期是 12h,每天能对同一地区进行两次观测,在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度 的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午 8 点。 【例 4】可发射一颗人造卫星,使其圆轨道满足下列条件( A、与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆 B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的 D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的 解析:卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心,因此卫星 的轨道不可能与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆,故 A 是错误的。由于 地球在不停的自转,即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆,故 B 是错误的。 赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外, 其它卫星相对地球表面都是运动 的,故 C、D 是正确的。 【例 5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高度为 h, 要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来, 卫星在通过 赤道上空时,卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为 R, 地面处的重力加速度为 g,地球自转的周期为 T。 解析:如果周期是 12 小时,每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是 6 小时,每 天能对同一纬度的地方进行四次观测。 如果周期是 24 小时, 每天能对同一纬度的地方进行 n n 次观测。 )

设上星运行周期为 T1,则有 G

Mm 4? 2 (h ? R) ?m ( h ? R) 2 T12
解得: T1 ?

物体处在地面上时有

GMm0 ? m0 g R2

2? R

(h ? R) 3 g

在一天内卫星绕地球转过的圈数为

T T ,即在日照条件下有 次经过赤道上空,所以每 T1 T1

次摄像机拍摄的赤道弧长为 S ?

2?R 2?R 4? 2 ? T1 ,将 T1 结果代入得 S ? T T T T1

(h ? R) 3 g

【例 6】在地球(看作质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星,下面说法中正确的 是( )

A.它们的质量可能不同 C.它们的向心加速度可能不同

B.它们的速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同

解析: 同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引 力提供。设地球的质量为 M,同步卫星的质量为 m,地球半径为 R,同步卫星距离地面的高 度为 h,由 F 引=F 向, G 心的距离是一定的。 由G

mM ( R ? h) 2

=m

GMT 2 4? 2 (R+h)得:h= 3 -R,可见同步卫星离地 T2 4? 2

mM ( R ? h) 2 mM ( R ? h) 2

=m

GM v2 得:v= ,所以同步卫星的速度相同。 R?h R?h

由G

=ma 得:a= G

M ( R ? h) 2

即同步卫星的向心加速度相同。

由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外,其它物理量值都应是固定的。 所以正确选项为 A。 点评:需要特别提出的是:地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视,因为在高考试 题中多次出现。 所谓地球同步卫星, 是相对地面静止的且和地球有相同周期、 角速度的卫星。 其运行轨道与赤道平面重合。 【例 7】地球同步卫星到地心的距离 r 可由 r ?
3

a 2b 2 c 求出,已知式中 a 的单位是 m, 4? 2

b 的单位是 s,c 的单位是 m/s2,则: A.a 是地球半径,b 是地球自转的周期,C 是地球表面处的重力加速度; B.a 是地球半径。b 是同步卫星绕地心运动的周期,C 是同步卫星的加速度; C.a 是赤道周长,b 是地球自转周期,C 是同步卫星的加速度 D.a 是地球半径,b 是同步卫星绕地心运动的周期,C 是地球表面处的重力加速度。 解析: 由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式, 再将其与题给表达式中各 项对比,以明确式中各项的物理意义。AD 正确。 【例 8】我国自制新型“长征”运载火箭,将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入 预定轨道,飞船绕地球遨游太空 t=7 天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定 的空间科学实验,获得圆满成功。 ①设飞船轨道离地高度为 h,地球半径为 R,地面重力加速度为 g.则“神舟三号”飞船 绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示)。?

②若 h=600 km,R=6400 km,则圈数为多少??

Gm M v2 解析: (1)在轨道上 ① ?m R?h ( R ? h) 2
v=

2? ( R ? h) ② T GmM =mg ③ R2

在地球表面:

联立①②③式得:T=

2? ( R ? h) R ? h ? R g

故 n=

t tR g ? T 2? ( R ? h) R ? h

②代人数据得:n=105 圈 (4)双星问题: 【例 9】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期 相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为 R,其运动周期为 T,求两星的总质量。 解析:设两星质量分别为 M1 和 M2,都绕连线上 O 点作周期为 T 的圆周运动,星球 1 和星球 2 到 O 的距离分别为 l1 和 l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 M1: G

M 1M 2 R2

=M1(

4? 2 R 2l1 2? 2 ) l1 ∴M2= T GT 2
2? 2 =M2( ) l2 T
∴M1=

对 M2:G

M 1M 2 R2

4? 2 R 2l 2 GT 2


两式相加得 M1+M2=

4? 2 R 2 GT 2

(l1+l2)=

4? 2 R 3 GT 2

(5)有关航天问题的分析: 【例 10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为 H=3. 4 ? 105m 的圆轨道上运行了 47 小时。 求在这段时间内它绕行地球多少圈? (地球半径 R=6.37 ? 106m, 重力加速度 g=9.8m/s2) 解析:用 r 表示飞船圆轨道半径 r=H+ R==6. 71 ? 106m 。 M 表示地球质量,m 表示飞船质量, ? 表示飞船绕地球运行的角速度,G 表示万有引

力常数。由万有引力定律和牛顿定律得

GMm r
2

? m? 2 r
2? ,T 表示周期。解得 T

利用 G

M R2

=g 得

gR 2 r3

= ? 2 由于 ? =

T=

2?r R

t r ,又 n= 代入数值解得绕行圈数为 n=31。 T g

【例 11】2003 年 10 月 16 日北京时间 6 时 34 分,中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟” 五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆, 中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。 中国由此 成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道,中国首位航天员 杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船,于北京时间十月十五日九时,在酒泉卫星发射中心用 “长征二号 F”型运载火箭发射升空。此后,飞船按照预定轨道环绕地球十四圈,在太空飞 行约二十一小时,若其运动可近似认为是匀速圆周运动,飞船距地面高度约为 340 千米,已 知万有引力常量为 G=6.67×10
-11

牛·米 2/千克 2,地球半径约为 6400 千米,且地球可视为

均匀球体,则试根据以上条件估算地球的密度。 (结果保留 1 位有效数学) 解析:设地球半么为 R,地球质量为 M,地球密度为ρ ;飞船距地面高度为 h,运行周 期为 T,飞船质量为 m。 据题意题 T ?

t 21? 3600 ? s=5400s n 14

飞船沿轨道运行时有 F引 ? F向即G

mM 4? 2 m( R ? h) ? ( R ? h) 2 T2

而 M ? ?V ? ? ? ?R

4 3

3

3? ( R ? h) 3 由①②③式得: ? ? GT 2 R 3
代入数据解得 ? ?

3 ? 3.14 ? (6400? 103 ? 340? 103 ) 3 ? 6 ? 103 kg/m3 6.67 ? 10?11 ? 54002 ? (6400? 103 ) 3

(6)天体问题为背景的信息给予题 近两年, 以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现, 不仅考查学 生对知识的掌握,而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力。这类题目一般 由两部分组成:信息给予部分和问题部分。信息给予部分是向学生提供解题信息,包括文字 叙述、数据等,内容是物理学研究的概念、定律、规律等,问题部分是围绕信息给予部分来

展开,考查学生能否从信息给予部分获得有用信息,以及能否迁移到回答的问题中来。从题 目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在。 【例 12】 地球质量为 M,半径为 R,自转角速度为 ? 。万有引力恒量为 G,如果规定 物体在离地球无穷远处势能为 0,则质量为 m 的物体离地心距离为 r 时,具有的万有引力势 能可表示为 E p ? ?G

Mm 。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程,它是在地球大气层 r

上空绕地球飞行的一个巨大人造天体, 可供宇航员在其上居住和科学实验。 设空间站离地面 高度为 h,如果杂该空间站上直接发射一颗质量为 m 的小卫星,使其能到达地球同步卫星 轨道并能在轨道上正常运行,由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能?

解析:由 G

Mm m v2 1 2 Mm ? 得,卫星在空间站上动能为 E k ? m v ? G 2 r 2 2( R ? h) r Mm ( R ? h)

卫星在空间站上的引力势能为 E P ? ?G

机械能为 E1 ? E k ? E p ? ?G

Mm 2( R ? h)
Mm ? m? 2 r 2 r

同步卫星在轨道上正常运行时有 G

故其轨道半径 r ?

3

MG

?2

由上式可得同步卫星的机械能 E 2 ? ?G

Mm 1 ? ? m 3 G 2 M 2? 2 2r 2

卫星运动过程中机械能守恒,故离开航天飞机的卫星的机械能应为 E2 设离开航天飞机 时卫星的动能为 E kx 则 E kx = E 2 ? E p ? ?

Mm 1 3 m G 2 M 2? 2 ? G R?h 2

【例 13】 1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际学术大会上,德国 Max Planck 学会的 一个研究组宣布了他们的研究成果: 银河系的中心可能存在大黑洞, 他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。 他们发现, 距离银河系中约 60 亿千米的星体正以 2000km/s 的速度围绕银河系中心旋转。 根 据上面数据,试在经典力学的范围内(见提示 2)通过计算确认,如果银河系中心确实存在 黑洞的话,其最大半径是多少?(引力常数是 G=6.67×10
-20

km3·kg 1s 2)





解析:表面上的所有物质,即使速度等于光速 c 也逃脱不了其引力的作用。本题的题源 背景是银河系中心的黑洞,而题目的“提示”内容则给出了本题的基本原理: (1)它是一个 “密度极大的天体” 表面引力强到 , “包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力的作用” , (2) 计算采用“拉普拉斯黑洞模型” 。这些描绘当代前沿科学的词汇令人耳目一新,让人感到高 深莫测。但是反复揣摩提示就会看到,这些词句恰恰是本题的 “眼” 我们据此可建立起 , “天

体环绕运动模型” ,且可用光速 c 作为“第一宇宙速度”来进行计算。 设位于银河系中心的黑洞质量为 M,绕其旋转的星体质量为 m,星体做匀速圆周运动, 则有:G

Mm v2 =m r2 r



根据拉普拉斯黑洞模型有:

Mm c2 G 2 =m R R



联立上述两式并代入相关数据可得: R=2.67×105km 三、针对训练 1.利用下列哪组数据,可以计算出地球质量: ) ( A.已知地球半径和地面重力加速度 B.已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期 C.已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量 D.已知同步卫星离地面高度和地球自转周期 2. “探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中,发现 A、B 两颗天体各有一颗靠近表 面飞行的卫星,并测得两颗卫星的周期相等,以下判断错误的是 A.天体 A、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B.两颗卫星的线速度一定相等 C.天体 A、B 的质量可能相等 D.天体 A、B 的密度一定相等 3.已知某天体的第一宇宙速度为 8 km/s,则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度 为 A.2 2 km/s B.4 km/s

C.4 2 km/s

D.8 km/s

4.探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群, 可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系来确定 A.若 v∝R,则该环是土星的一部分

B.若 v2∝R,则该环是土星的卫星群 C.若 v∝1/R,则该环是土星的一部分 D.若 v2∝1/R,则该环是土星的卫星群 5.2002 年 12 月 30 日凌晨,我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空, 按预定计划在太空飞行了 6 天零 18 个小时,环绕地球 108 圈后,在内蒙古中部地区准确着 陆,圆满完成了空间科学和技术试验任务,为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的 质量、半径和引力常量 G 均已知,根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的 A.离地高度 C.发射速度 B.环绕速度 D.所受的向心力

6.航天技术的不断发展,为人类探索宇宙创造了条件.1998 年 1 月发射的“月球勘探者 号”空间探测器,运用最新科技手段对月球进行近距离勘探,在月球重力分布、磁场分布及 元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区,当飞越这些重 力异常区域时 A.探测器受到的月球对它的万有引力将变大 B.探测器运行的轨道半径将变大 C.探测器飞行的速率将变大 D.探测器飞行的速率将变小 7. (1998 年全国卷)宇航员站在某一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球。 经过时间 t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度 增大到 2 倍,则抛出点与落地点之间的距离为 3 L。已知两落地点在同一水平面上,该星 球的半径为 R,万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。 8.我国自制新型“长征”运载火箭,将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定 轨道,飞船绕地球遨游太空 t=7 天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间 科学实验,获得圆满成功。 (1)设飞船轨道离地高度为 h,地球半径为 R,地面重力加速度为 g.则“神舟三号” 飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示).? (2)若 h=600 km,R=6400 km,则圈数为多少? 9. (2004 年全国理综第 23 题,16 分)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段,着陆器 降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到 达最高点时高度为 h,速度方向是水平的,速度大小为 v0,求它第二次落到火星表面时速度 的大小,计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r,周期为 T。

火星可视为半径为 r0 的均匀球体。

参考答案: 1.A B 2.B 3.C 4.AD 5.AB 6.AC

7.解析:设抛出点的高度为 h,第一次平抛的水平射程为 x,则有 x +y =L
2 2 2

(1)

由平抛运动的规律得知,当初速度增大到 2 倍,其水平射程也增大到 2x,可得 (2x) +h =( 3 L)
2 2 2

(2)

由以上两式解得 h=

L 3
1 2 gt 2

(3)

设该星球上的重力加速度为 g,由平抛运动的规律得 h=

(4)

由万有引力定律与牛顿第二定律得

GMm ? mg (式中 m 为小球的质量) (5) R2

联立以上各式得: M ?

2 3LR 2 。 3Gt 2

点评:显然,在本题的求解过程中,必须将自己置身于该星球上,其实最简单的办法是 把地球当作该星球是很容易身临其境的了。

8.解: (1)在轨道上

Gm M v2 ① ?m R?h ( R ? h) 2

v=

2? ( R ? h) ② T GmM =mg ③ R2

在地球表面:

联立①②③式得:T=

2? ( R ? h) R ? h ? R g

故 n=

t tR g ? T 2? ( R ? h) R ? h

(2)代人数据得:n=105 圈 9.以 g'表示火星表面附近的重力加速度,M 表示火星的质量,m 表示火星的卫星的 质量,m'表示火星表面出某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿第二定律,有

G

Mm? ? m?g ? r02



G

Mm 2? ? m( ) 2 r 2 T r



设 v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度,它的竖直分量为 v1,水平分量仍为 v0, 有

v12 ? 2 g ?h
2 v ? v12 ? v0

③ ④

由以上各式解得

v?

8? 2 hr 3 2 ? v0 T 2 r02



教学后记
万有引力的内容,应该说比较简单,就是一个万有引力公式结合向心力公式,关键是 要会推导公式记忆公式, 近年来有关天体运动卫星发射等问题高考中几乎每年出现, 特别是 围绕“神州飞舟”更是出现各类实际应用的题目,复习中应注意培养学生应用物理知识解决 实际问题的能力。


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