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1.3.1 函数的单调性与导数


1.3.1函数的单调性与导数

复习引入:
问题1:怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1.一般地,对于给定区间上的函数f(x),如 果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1,x2,当x1<x2时, (1)若f(x1)<f (x2),那么f(x)在这个区间 上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同

号,即 . f (x ) ? f (x ) ?y
1 2

x1 ? x2

? 0也即

?x

?0

(2)

若f(x1)>f (x2),那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x

2.由定义证明函数的单调性的一般步骤:

(1)设x1、x2是给定区间的任意两个

值,且x1< x2.
(2)作差f(x1)-f(x2),并变形. (3)判断差的符号(与0比较),从而

得函数的单调性.

2 y ? x y

y
x o (2)

y

y?x
x o

y?x
x

3

y o

1 y? x
x

o (1)

(3) (4) 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
' 如果 f ? x ? ? 0 ,那么函数 y ? f ?x ? 在这个区间内单调递增;

在某个区间(a,b)内,

如果 f ' ? x ? ? 0 ,那么函数 y

? f ?x ? 在这个区间内单调递减。

3 基础测试:利用导数判断
(1).函数y=x-3在[-3,5]上为 增 函数(填“增”或“减”)。 ______

(2).函数 y = x2-3x

在[2,+∞) 函数

上为______ 减 增 函数,在(-∞,1]上为___
既不是增函数 函数,在[1,2]上为又不是减函数

(填“增”或“减”或“既不是增函
数,也不是减函数”)。

(3)函数

1 y ? x? x

的单调区间

例1.求出下列函数的单调区间

(1) y ? x ? 2 x ? x;
3 2

(2) y ? x ln x;
(3) y ? e ? x ? 1.
x

总结:根据导数确定函数的单调性

1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.

巩固训练:
求函数y=sinx-x 的单调区间。

2.应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0; 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y ? f ( x) B o 2 3 x

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

问题:已知函数y ? xf ( x)的
'

y 2
-1 1 -1 -2 1 2

图象如图(其中f ( x)是f ( x) 的导函数)下列四个图象中 y ? f ( x)的图象大致是( C )

'

-2

x

-1 -2 2

2 -1 1 -2 -1 1

-1 2









课堂练习
1 在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内 为增函数的 ( )条件 A 充分不必要 C 充要 B 必要不充分 D 既不充分也不必要

2、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) (B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ,(1, +∞)

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对 应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t
(C)

O

t (D)

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得

快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x ) 在 或 ( a , b ) 内的图象“陡峭”,

在 ( ? ? , a ) 或 ( b , ? ? ) 内的
图象“平缓”.

求参数的取值范围

例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a的取值范围

1 a? 3

例2:

1 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1], x 若( f x)在x ?(0,1]上是增函数, 求a的取值范围.

例 3

1 3 1 2 若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4) 3 2

内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求 a 的范围.

练习1 已知函数f (x)= 2ax - x ,x ?(0, 1],a ? 0,
3

若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取 值范围。

3 [ , ?? ) 2

例4:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

2.当x>0时, 证明不等式:1+2x<e2x.

? 已知:x>0, 求证:x>sinx.

综合训练 1.函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数(B ) ? 3? 3? 5? ( A)( , ) ( B )(? , 2? ) (C )( , ) ( D)(2? , 3? ) 2 2 2 2

3 3 3 (? , ) 2.函数y=a(x -x)的减区间为 3 3

则 a 的取值范围为(

A

3 3 (? , ) 3 3 )

(A)a>0 (B)–1<a<1 (C)a>1 (D) 0<a<1

2 3 3. 已 知 函数 f ( x ) ? 4 x ? ax ? x ( x ? R ) 在 区 间 ? ?1,1? 3 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

4.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范 围,并求其单调区间。

练习 4: 已知 x ? 1 ,求证: x ? ln( x ? 1)
提示:运用导数判断单调性, 根据函数的单调性比较函数值大小

在某个区间(a, b)内, f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递减


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