当前位置:首页 >> 数学 >>

数列通项公式与求和习题(经典)


数列通项
一.求数列通项公式
1 观察法
已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________ 4 8 16 32

2

公式法: (①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ) 2 等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n

,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a5 .求数列 ?an ? 的通项
公式.

?a , (n ? 1) 3 用作差法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? ? 1 ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2) 1 2 1 设正整数数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? (an ? 1) ,求 an 4

2.已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an

3.数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an 3

4

数列 {an } 满足

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2

f (1),(n ? 1) ? ? 4 作商法: 已知 a1a2 ?an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如 数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ;

1

5 累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。
1 已知数列,且 a1=2,an+1=an+n,求 an.

2 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =______

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1

6 累乘法:已知

.2 已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

7 用构造法(构造等差.等比数列) 。 (1)形如 an?1 ? pan ? f ?n? 只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异.其中 f ?n ? 有多种不同形式
① f ?n ? 为常数,即递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。 解法:转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p 例. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

② f ?n ? 为一次多项式,即递推公式为 an?1 ? pan ? rn ? s

例.设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 2, (n ? 2) ,求 an .

2

通项专题答案 1 2 3
an ? 2n ? 1 ? 1 2n ?1

3 an ? n 5 (1) an ? 2n ? 1
(2)

an ?

(3) an ? (4) an ? 4
61 16

? ? ?

3, n ? 1 2n , n ? 2

4, n ? 1 3?4n ?1 , n ? 2

14, n ? 1 2n ?1 , n ? 2

5 (1) an ?

n2 ? n ? 4 2

(2) an ? n ? 1 ? 2 ? 1 6 (1) an ?

4 2 (2) an ? 3n n(n ? 1)

7 (1) an ? 2n?1 ? 3 (2) an ? 6 ? 3n?1 ? n ?1

3

2.已知 a1 ? 3 且 an?1 ? 3an ? 2n ,求 an 答案: an ? 5 ? 3n?1 ? 2n 答案: an ? 5 ? 3n?1 ? 2n

8.已知 a1 ? ?

1 1 且 3Sn?1 ? Sn ? an?1 ,求 an 答案: an ? 3 n(3n ? 3)

11.已知数列{an}的首项 a1=

3n 3 3an ,an+1= ,n=1,2,…,求{an}的通项公式;答案: an ? n 5 3 ?2 2an +1

二.数列求和
1. 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论. ;③常用公式:

1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]. 2 1 ?1 2 3 n 例.已知 log3 x ? ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.答案: Sn ? 1 ? n 2 log2 3



2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和.
4

例 2. 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

a ? a n ?1 3n 2 ? n 1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,…答案: Sn ? ? a a ?1 2 a a

3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的 推导方法) . 例 3.求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 答案: Sn ? 44.5

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法) . 2 3 n?1 例 4. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x ………………………①
2 4 6 2n n?2 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和.答案: S n ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2

例 5.求数列

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那 么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: 1 1 ① ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 n 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)!
5

⑥ 2( n ? 1 ? n ) ?

? 1 ? n ? n ?1 n

2

2 n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) .

例 6.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.答案: Sn ? n ? 1 ?1

例 7.在数列{an}中, an ?
答案: S n ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

8n n ?1

6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 10n ?1 ? 10 ? 9n S ? 例 8 .求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 之和. 答案: ? ? ? 1 n ? ? ? 81 n个1

三.能力综合
1.数列{an}的通项公式为 an=

1 ,已知前 m 项和 Sm=9,则 m 为( n+1+ n
D.9 )

)

A. 99 B.98 C.10 2 2 n-1 2.数列 1,1+2,l+2+2 ,…,1+2+2 +…+2 前 n 项和等于( A.2n+1-n B.2n C.2n-n A.0 B.3 C .8

3. 数列 ?an ? 的首项为 3, 若 b3 ? ?2, b10 ? 12 , 则 a8 ? ( ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N? ) , D.11

D.2n+1-n-2



1 1 4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 ? ?1。 1 ? an?1 1 ? an
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1

6

5.如果 f(x+y)=f(x)· f(y),且 f(1)=-2,则

f (1) f (3) f (5) f(2007) ? ? ? ?? f (2) f (4) f(6) f(2008)

等于

答案:-502

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1 (l)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=

2 1 an n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn 答案: (1) an ? 4n ? 2, bn ? n ?1 (2)Tn ? [(6n ? 5)4 ? 5] 4 9 bn

7.求满足下列条件的数列 ?an ? 的通项公式。 (1)已知 ?an ? 满足 an ?1 ? an ?

1 4n ? 1
2

, a1 ?

1 ; (2)已知 ?an ? 满足 an?1 ? 3n an ,且 a1 ? 3 ,求 an 。 2

4n ? 3 答案: (1) an ? (2) an ? 3 4n ? 2
8.求下面各数列的前 n 项和。 (1)

n2 ? n ? 2 2

1 1 1 1 , , , ,? ; 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9

(2)

1 1 1 1 , , , ,? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 4 ? 5 ? 6

9.设函数 f ( n) 的定义域为 N+,且满足 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn , f (1) ? 1 ,求 f ( n) 。 10.设正值数列{ an }的前 n 项和为 sn ,满足 s n ? (

an ? 1 2 ) 2
1 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn an an ?1

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)求出数列{ an }的通项公式(3)设 bn ? 答案: (1) a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 5 ; (2) an ? 2n ? 1; (3) Tn ?

n 2n ? 1

11.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…构造一个新数列:a1,(a2 –a1), (a3-a2) ,…, (an-an-1)…, 此数列是首项为 1,公比为 (l)求数列{an}的通项;

1 的等比数列 3
(2)求数到{an}的前 n 项和 Sn

12.已知数列{an}的首项 a1= (1)证明:数列 ?

2 2an , an ?1 ? ,n=1,2,… 3 an ? 1
(2)求数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn ? an ?

13. (2012 大连一模)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? an?1 ? an ? 0 。
7

(1)求证:数列 ? 答案: ( 1) a n ?

?1? ? 2n ? (2)求数列 ? ? 前 n 项和 Sn 。 ? 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? an ? ? an ?

1 (2) Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 n

14 . ( 2012 东 三 省 第 一 次 联 考 ) 数 列 {an } 前 n 项 和 Sn , 且 S n ?

3 ( an ? 1), 数 列 {bn } 满 足 2

1 3 bn ?1 ? (n ? 2) ,且 b1 ? 3 。 4 4 (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 满足 cn ? an ? log 2 (bn ? 1) ,其前 n 项和为 Tn , bn ?
求 Tn 。 答案: (1) an ? 3n , bn ? 42?n ?1; (2) Tn ?

(5 ? 2n)3n ?1 ? 15 2

15. (2012 东三省第三次联考)数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? n ? 2n (n ? N * , n ? 2) ,且 a1 ? 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? 范围。 答案: (1) an ? (n2 ? n)2n?1 (2) ? ? 2

an ?1 ,当数列 {bn ? ? n}为递增数列时,求正实数 ? 的取值 an

8


相关文章:
数列通项公式及数列求和经典课例
数列通项公式数列求和经典课例_数学_高中教育_教育专区。“数列通项公式及数列...完善和思想、方法的总结提升,以导学案为载体、立足过程、增强解决数列综合题的...
数列求和经典题型总结
数列求和经典题型总结_数学_高中教育_教育专区。三、数列求和 数列求和的方法. (1)公式法:?等差数列的前 n 项求和公式 Sn =___=___. ?等比数列的前 n 项...
数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列通项与求和一.求数列通项公式 1.定义法(①等差数列通项公式;②等比数列通项公式...
求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)_数学_高中教育_教育专区。数列的通项公式与求和练习 1 1 数列{an }的前n项为Sn , 且a1 ? 1,an ?1 ? Sn...
求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数列的通项公式与求和练习 1 1 数列{an }的前n项为Sn , 且a1 ? 1,an ?...
求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.求通项公式:Sn法、累加法、累乘法、待定系数法、变性转化法; 2.数列求和:...
数列求和方法和经典例题
数列求和方法和经典例题数列的前 n 项和,一般有下列几种方法: 一、公式法 1、等差数列前 n 项和公式 2、等比数列前 n 项和公式 二、拆项分组求和法 ...
详解数列求和的方法+典型例题
内容之一, 除了等差数列和等比数列求和公式外, 大部分数列求和都需要一定...数列求和方法和经典例题 2页 1下载券 高考数列求和的八种重要... 23页 1下载...
数列求和经典例题
数列求和经典例题。数列前n项求解一直都是学生的软肋,在这里归纳了常用的一些方法,用例题表现数列通项的方法⑴利用 观察法 观察法求数列的通项. ⑵利用公式法 ...
数列求和经典练习题二
数列求和经典练习题二_数学_高中教育_教育专区。成都蓝天教育数列求和经典练习题二 1、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和。 2、求数列 1 1? 2 , 1 2...
更多相关标签: