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四、直角三角形的射影定理


四、直角三角形的射影定理 教材导读 1、射影 所谓射影,就是正投影,其中,从一点到一条 直线所作垂线的垂足, 叫做这点在这条直线上 的 , 一条线段的两个端点在一条直线 上的正摄影之间的线段,叫做 。 2、直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 。 两直角边分别是 。 基础自测 1、在 RT△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂 足为 D,AC=4,BC=3,则 BD=( ) A.

DF⊥AC,DG⊥BE,F、G 分别为垂足。 求证: AF ? AC ? BG ? BE

C A E F AA G B D

9 5

B.

16 5

C.

7 5

D.

16 9

2、 RT△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于 D, AD=9, DB=4,则 AC=( ) A. 3 13 B. 2 13 C.

【练习 2】如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D, DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F。 A 求证: AE ? AB ? AF ? AC

81 4
2

D.

16 81


E B D

3、△ABC 中,∠A=90°AD⊥BC 于 D,AD=6, BD=12, CD= 则 , AC=

F AC A

AB : AC = ,

2

对点讲练 题型一 利用射影定理证明比例式 【例 1】已知,如图∠BAC=90°,AD⊥BC,DE ⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证: 【练习 3】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, BC 边的垂直平分线 EM 和 AB、AC(或延长线) 分别交于 D、E,连结 AM。

AB3 BE ? 。 AC3 CF A F E A B D

E

求证: AM ? DM ? EM
2

D C A B M A

A C A

题型二 利用射影定理证明乘积式 【例 2】如图,CD 垂直平分 AB,点 E 在 CD 上,

课时作业 一、选择题

1、在 RT△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,在图 中的六条线段中, 你认为只要知道几条线段的 长,就可以求其他的线段的长( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2、在 RT△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点

AC 3 BD ? ,则 =( AB 4 CD 3 4 16 A. B. C. 4 3 9
D,若 3、如图,矩形 ABCD 中, AB=12,AD=10,将此矩形 折叠使点 B 落在 AD 上的中 点 E 处, 则折痕 FG 的长为 ( ) A. 13 C.

) D.

9 16

A F A B A

E C G D

7、已知 CD 是△ABC 的高,DE⊥CA,DF⊥CB, 如图, 求证:△CEF∽△CBA

C

E A A

F D B

65 6

63 B. 5 63 D. 6

4、如图,P 是半圆 O 的直 径 BC 延长线上一点, 切 PA 半圆于点 A,AH⊥BC 于 H, P 若 PA=1,PB+PC=a(a>2) , A 则 PH 等于( )

A C H

?

8、 矩形 ABCD 中, AB=a, BC=b, 是 BC 的中点, M DE⊥AM,E 是垂足,求证:DE=

2 A. a

1 B. a

a C. 2

a D. 3

2ab 4a 2 ? b2

5、如图,在 RT△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥ BC 于 D, 平分∠ABC 交 AC 于 E, BE EF⊥BC 于 F。 求证:EF:DF=BC:AC

A E C B M

D C

A E B DF C

C

6、已知∠CAB=90°,AD⊥BC,△ACE,△ABF 是正三角形,求证:DE⊥DF



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