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高中数学竞赛平面几何讲义


高中平面几何
(叶中豪)

话 题
几何问题的联系和转化 解题和编题的一些规律 调和点列,反演与配极,调和四边形 完全四边形及其 Miquel 点

例题和习题
1.△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D,E 在 AC 延长线上,且 CE=CD,F 在 CA 延 1 长线上,且 AF= CD。求证:BE⊥

BF。 2
F A

D C

B

E

2.AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线,D 为垂足。分别在半圆上截
取 AE=AD,BF=BD。求证:CD 平分 EF。
C E F

A

D

B

3.已知半圆的直径 AB 的长为 2r,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T,
1

AT=2a(2a<

r MP ) ,半圆上有相异两点 M、N,它们与直线 l 的距离 MP、NQ 满足 = 2 AM

NQ =1。求证:AM+AN=AB。 AN
l Q P M N

T

A

B

4.在△ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D,使 CD=AC,△ACD 的外接圆与以 BC
边为直径的圆交于 C、G 两点,直线 BG、AC 交于 E,直线 CG、AB 交于 F。求证:D、E、 F 三点共线。
A

F E G

B

C

D

5.△ABC 内心为 I,内切圆切 AB、AC 边于 E、F,延长 BI、CI 分别交直线 EF 于 M、 N。求证:S 四边形 AMIN=S△IBC。
A

E N I M F

B

C

2

6.AC 是与 BD 垂直于 E 的直径,G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF∥DG 交 DA 延 长线于 F,作 CH⊥GF 于 H。求证:B、E、F、H 四点共圆。
G

F H B E O D A

C

7.如图,圆 O1 和圆 O2 相交于 E、F,过 E 作割线 AB,使 AE=EB,过 F 作割线 CD,
联 AD、BC,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。 求证:PF⊥CD 的充要条件是 PA=PB。
P

B E A O2 O1 D C F

8.梯形 ABCD 中,AD∥BC,BA、CD 延长交于 E,过 C 作 AC 垂线,过 D 作 BD 垂
线,两条垂线交于 F。求证:EF⊥AD 的充要条件是 CF=DF。
E

A

D

F B C

3

9.A 为圆 O 上一点,B 为圆外一点,BC、BD 分别与圆 O 相切于 C、D,DE⊥ AO 于 E,DE 分别交 AB、AC 于 F、G。求证:DF=FG。
B D C F G O E A

10.已知:PA、PB 是圆 O 的切线,PCD 是割线,过 C 作 PA 的平行线,分别交 AB、AD 于 E、F。求证:CE=EF。
P

C A E Q B

F O

D

11. 已知: 是圆 O 的直径, 是过 B 点的切线上任一点, P 作任意割线 PCD, AB P 过 联结 AC、AD,分别与直线 OP 交于 E、F。求证:OE=OF。
A

F O

E D

C B

P

4

12.平行四边形 ABCD(非矩形和菱形)中,CM⊥AD 于 M,CN⊥AB 于 N, NM 与 BD 延长交于点 P。求证:PC⊥AC。
P

A N

M D

B

C

13.已知 ABCD 是圆内接四边形,对角线 AC、BD 交于 P 点,O 是外接圆心。 过 A、B 分别作邻边 AD 和 BC 的垂线交于 E 点。求证:E、O、P 三点共线。
D C

P

O B A E

14.M 为 AC 上任一点,BM 延长交圆 O 于 P,过 P 作 CP 垂线交 OM 延长线于 Q。 求证:BA⊥AQ。
A P
M

Q

O

B

C

15. 已知 E 是矩形 ABCD 对角线 AC 上一点, BE= 2 AE。 且 求证: ∠CDE=2∠ABE。
B C

E A D

5

16.△ABC 中,AB= 2 AC,AH 是高,M 是 AC 中点,HM、BA 延长交于 D。求证:BC
=CD。
D

A

M B H C

17.△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 上一点,且 CD= 2 AD,M 是 AD 中点。
求证:∠BMD+2∠CAD=180°。

A

M

B

D

C

18.AB、AC 是圆 O 的切线,CD 交 AB 于 E,AD 交圆 O 于 F。若 CD=DE,求证:
BF∥CE。

A

E

D

B O

C

F
6

19.设以 O 为圆心的圆经过△ABC(AB≠BC)的两个顶点 A 和 C,且与边 AB、BC 分别
交于 K 和 N,又设△ABC 和△KBN 的外接圆交于 B 和另一点 M。求证:∠OMB=90°。 (1985 年第 26 届 IMO)
B M K N

O A C

20.在△OAB 与△OCD 中,OA=OB, OC=OD,直线 AB 与 CD 相交于点 P,△PAC 与
△PBD 的外接圆交于 P、Q 两点。求证: OQ⊥PQ。
Q P

D B

A

O

C

21.已知 I 是△ABC 的内心,ID⊥BC 于 D,AI 交△ABC 的外接圆于 S,SD 延长交外
接圆于 P。求证:∠API 是直角。

7

A P

I

B

D

C

S

22.已知 E、F 分别在△ABC 的 AC、AB 边上,且∠BEC=∠BFC,BE、CF 交于 D,
⊙AEF 交△ABC 的外接圆于另一点 M。求证:AM⊥MD。
A M E F D

B

C

23.E、F 分别在 Rt△ABC 的直角边 AC、AB 边上,BE、CF 交于 D,圆 AEF 交外接
圆于 P。求证:AP⊥PD。
A F E D B C P

24.已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点,BP 延长交 DC 于 E,DP 延长交 BC 于 F,AP
延长交外接圆于 G。求证:EG⊥FG。

8

A

D

E

P

B

F

C

G

9


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