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江苏省洪泽中学2013届高三下学期期初考试数学试卷


江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试 数学试题
一、填空题 1.与两条平行线 l1 : 3x ? 2 y ? 6 ? 0, l2 : 6x ? 4 y ? 3 ? 0 等距离的平行线_____. 2.从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中每次任取 1 件,每次取出后再放回,连续取两 次,则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________. 3.

从甲、乙,??,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 种 选法. (2)甲一定不入选,共有 种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法. 4.设 a, b ? (0,1) ,则关于 x的方程x ? 2ax ? b ? 0 在 (??, ?) 上有两个不同的零点的概
2 2

率为 ___ ___________.
2 5.函数 y = sin x - 2sin x sin( x +

?
3

) 的图象的对称轴是

.

6. 在空间直角坐标系中, (?1, b, 2) 关于 y 轴的对称点是 (a, ?1, c ? 2) , 点 则点 P ( a, b, c) 到 坐标原点 O 的距离 | PO |? _____________. 7 . 设 函 数 f ( x) ? loga x(a ? 0 且 a ? 1 ) , 若 f ( x1 ? x2 ? ?? x2
2 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??? f ( x2 0 )0?8 f ( x2 0 )0的值等于 9

0 0 9

) ?8 , 则

8.函数 y ? lgsin x ? cos x ?

1 的定义域是 2




9.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

1

10.函数 y ? x ?1 ? x ?1 的最大值是 11.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数,(i 为虚数单位),则实数 a 的值是 12.计算极限: lim(
n ??



2n 2 ? 2 )= n2 ? n ? 1



13.函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 b, a ? b ?

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ?x 3 是否存在
最大值?若存在, 在横线处填写其最大值; 若不存在, 直接填写 “不存在” ______ _________.

2x ? 1
14.不等式

2 2
x

0 1 ≥ 0 的解为 ?1
.

0 3

2

二、解答题 15. (1)求不等式 x 2 ? 5x ? 4 的解集 A; (2)设关于 x 的不等式 ( x ? a)( x ? 2) ? 0 的解集为 M ,若 M ? A ,求实数 a 的取值范围. 16. (1)设 ? 为第四象限角,其终边上一个点为 x,? 5 ( 2)若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 tan ? 的值. 17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,且 AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2AB=2. 侧面 ?PAD 为正三角形,且平面 PA D⊥平面 ABCD.网 (1)若 M 为 PC 上一动点,则 M 在何位置时,PC⊥平面 MDB?并加已 证明; (2)若 G 为 ?PBC 的重心,求二面角 G-BD-C 大小. 18.已知函数 f ( x ) ? sin( ? ? x )sin( (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
P C

?

? ,且 cos? ?

2 x ,求 sin ? ; 4

D

? ? x ) ? cos2 x . 2
A B

? 3? , ] 时,求函数 f ( x) 的单调区间. 8 8 3? ) 在区间 [0, ? ] 上的图像. 19.画出函数 y ? sin(2 x ? 4
(2)当 x ? [ ? 20.设函数 f ( x) ? c ln x ?

1 2 x ? bx (b, c ? R, c ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. 2

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示) ;
2

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

参考答案 1. 12x+8y-15=0 2.

4 9

3. (1) 10 ; (2) 5 ;(3) 14 4.

1 2

5. x ? 6. 2 7.16

?
4

? k? , k ? Z

3

【解析】 8. 9.

15 16 1 2

10.2 11.

12.2 13.1 14.x ? 0 15. (1) A ? ?1,4? 16. (1) sin ? ? ? , (2) 1 ? a ? 4

10 ; (2) tan ? ? 2 。 4

17. (1)当 M 为 PC 的中点时,PC⊥平面 MDB. 事实上,连 BM,DM,取 AD 的中点 N,连 NB,NP. 因为 PN ? AD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD,所以 PN⊥平面 ABCD. 在 Rt ?PNB 中, PN ? 3, NB ? 2 ,所以 PB ? 5 ,又 BC ? 5 所以 BN ? PC ,又 MD ? BM ? M , MD, BM ? 平面 MDB, 而 PD=DC=2,所以 DM ? PC ,所以 PC ? 平面 MDB(2)易知 G 在中线 BM 上,过 M 作 MF ? BD 于 F,连 CF, 因为 PC ? 平面 MDB,所以 CF ? BD , 故 ?MFC 是二面角 G—BD —C 的平面角 在 Rt ?BDC 中, BD ? 5, DC ? 2, BC ? 5 ,所以 CF ?

4 5 ,又 CM ? 2 5

所以 sin ?MFC ? 18.

10 10 ,故二面角 G—BD—C 的大小为 arcsin ----12 分 4 4
2? ??. 2

(1)函 数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [ ?

? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? [0, ?] , 8 8 4 ? ? ? ? ∴当 2 x ? ? [0, ] 即 x ? [ ? , ] 时,函数 f ( x ) 单调递增; 4 2 8 8 ? ? ? 3? 当 2 x ? ? [ , ?] 即 x ? [ , ] 时,函数 f ( x ) 单调递减 . 4 2 8 8

19. (1)列表如下:

4

x
y

0

? 8
2 2
?1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

?

(2)描点、连线(如图 3-3-3)

20.解: f '( x) ?

c x 2 ? bx ? c ? x ?b ? ,又 f '(1) ? 0 x x

所以 f '( x) ?

( x ? 1)( x ? c) 且 c ? 1, b ? c ?1 ? 0 x

(I)因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,所以 c ? 1 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 1 ? x ? c 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? c 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , (c, ??) ;递减区间为 (1, c) (II)①若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增

1 1 f ( x) ? 0 恰有两解,则 f (1) ? 0 ,即 ? b ? 0 ,所以 ? ? c ? 0 ; 2 2
②若 0 ? c ? 1 ,则 f极大 ( x) ? f (c) ? c ln c ?

1 2 1 c ? bc , f极小 ( x) ? f (1) ? ? b 2 2

因为 b ? ?1 ? c ,则 f极大 ( x) ? c ln c ?

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 2 2

1 f极小 ( x) ? ? ? c ,从而 f ( x) ? 0 只有 一解; 2
5

③若 c ? 1 , f极小 ( x) ? c ln c ? 则

1 c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 , f极大 ( x) ? ? ? c , 则 2 2 2

f ( x) ? 0 只有一解.
综上,使 f ( x) ? 0 恰有两解的 c 的范围为 ?

1 ? c ? 0. 2

6


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