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浙江省温州中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案


温州中学 2015 学年第一学期高二期末考试 数学试题卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式:

球的表面积公式 S ? 4? R 2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3

柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 V ? 台体的体积公式 V ? 体的高. 第 I 卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1. “ sin x ? 0 ”是“ cos x ? 1 ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台 3

2.函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? )( ? ? 区间( ▲ ) A. ?

?
2

)的图像关于点 (

?
6

, 0) 对称,则 f ( x) 的增

5? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 ?3 ?

B. ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 3 ? 6 ?

C. ? ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

D. ? ?

? ? 7? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

? 2 ? a, x ? 0 ? 3.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 ,若对任意的 a ? (?3,??) ,关于 x 的方程 f ( x) ? kx 都 ? f ( x ? 1) ? 1 , x ? 0 ?
有 3 个不同的根,则 k 等于( ▲ ) A .1 B.2 C.3
2

D.4

2 2 4.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的准线与圆 ? x ? 3? ? y ? 16 相切,则 p 的值为( ▲ )

A .1

B.2

C.3

D.4

5.右图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为 视图为( ▲ )

4 ,则它的正 3

1

1 1 1 1 1 1

侧视图

1 1 (A)

1 1 (B)

1 1 (C)

1 1 1 (D) 1
俯视图

6.将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形 成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则 a 的最大值为( ▲ ) A.

2 2? 6 6

B.

2 3? 6 6

C.

2 3?2 2 3

D.

3 2 ?2 3 3
y

7. 如图, 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为 a 2 b2

坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q . 若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为( ▲ ) A.

Q O P A x

????

??? ?

2 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3

8.某学生对一些对数进行运算,如下图表格所示:

x
lg x

0.021
2a ? b ? c ? 3 (1)

0.27
6a ? 3b ? 2 (2)

1.5
3a ? b ? c (3)

2.8
1 ? 2a ? 2b ? c (4)

x
lg x

3 2a ? b (5)
8

5

6 1 ? a ? b ? c (7)
14

7
2(a ? c) (8)

a ? c (6)
9

x
lg x

3 ? 3a ? 3c (9)

4a ? 2b (10)

1 ? a ? 2b (11)

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,那么出错的数据是( ▲ ) A. (3), (8) B. ? 4? ,(11) C. ?1? ,(3) D. (1), (4)

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分。 ) 9 .设函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ▲ 。

?
6

) ,则该函数的最小正周期为



, f ( x) 在 [0,

?
2

] 的最小值为

2 10. 设二次函数 f ? x ? ? x ? bx ? c ?b, c ? R ? , f ?1? ? 0 ,且 1 ? x ? 3 时, f ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 是

区间 ?2,??? 上的增函数。函数 f ? x ? 的解析式是



;若 f ? m? ? f ? n? ,且 m ? n ? 2 ,

u ? m ? n , u 的取值范围是
的距离,则 b ?



11.已知直线 y ? x ? b 上存在唯一一点 A ,满足点 A 到直线 l : x ? ?1 的距离等于点 A 到点 F ?1,0? ▲ ,点 A 的坐标为 ▲ ▲ .

12.抛物线 C : y 2 ? 2 x 的准线方程是

,经过点 P(4,1) 的直线 l 与

抛物线 C 相交于 A, B 两点,且点 P 恰为 AB 的中点, F 为抛物线的焦

??? ? ??? ? 点,则 AF ? BF ? ▲
13.圆 O 的半径为 1 , P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形 (实线所示 ,正方形的顶点 A 和点 P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经 过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为

D A A(P)
▲ .

D C C B

14 .已知函数 f ( x) ? x 2 x ? a , g ( x) ?

x2 ? a ( a ? R ) 若 0 ? a ? 12 ,且对任意 t ? [3,5] ,方程 x ?1

C1 D1 C E D F A A1 B

f ( x) ? g ( t )在 x ? [3,5] 总存在两不相等的实数根,求 a 的取值范围
15. 如图所示的一块长方体木料中, 已知 AB ? BC ? 4, AA1 ? 1 , 设E
1 为底面 ABCD的中心,且 AF ? ? AD, (0 ? ? ? ) ,则该长方体 2

.
B1

中经过点 A1 , E , F 的截面面积的最小值为 ▲ . 三、解答题: (本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字 说明, 证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 15 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AB ? BC 侧面 PAB ? 底面

P

A

D

ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 .
(1)若 PB 中点为 E .求证: AE//平面PCD ;
0

B

C

(2)若 ?PAB ? 60 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值.

2 2 2 17 . ( 本 题满分 14 分 ) 在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 的 对边分 别是 a, b, c , 且满 足 a ? b ? 2c ,

sin A cos B ? 2 cos A sin B .
(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 c ?

6 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本题满分 15 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? (a ? .b ? 0) 直线 y ? x ? 6 与以原点为圆心,以椭圆 a2 b2

C 的短半轴为半径的圆相切, F1 , F2 为其左右焦点, P 为椭圆 C 上的任意一点, ? F1 PF2 的重
心为 G ,内心为 I ,且 IG // F1 F2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)已知 A 为椭圆 C 上的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M , N 两点,若 AM , AN 的斜率 k1 , k 2 满足 k1 ? k 2 ? ?

1 ,求直线 MN 的方程. 2

2 19 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? ax ? bx -

x 3 ?a ? 0? , g ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 , 且 4 b 4

1 ? ? y ? f ?x ? ? 为偶函数.设集合 A ? ?x t ? 1 ? x ? t ? 1?. 4a ? ?
(Ⅰ)若 t ? ?

b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a

(Ⅱ)若对任意的实数 t ,总存在 x1 , x 2 ? A ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒成立, 试求 a 的最小值.

20. (本题满分 15 分)已知动圆 Q 过定点 F (0, ?1) , 且与直线 y ? 1 相切; 椭圆 N 的对称轴为坐标轴, 中心为坐标原点 O , F 是其一个焦点,又点 (0, 2) 在椭圆 N 上. (1)求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的方程和椭圆 N 的方程; (2) 过点 (0, ?4) 作直线 l 交轨迹 M 于 A, B 两点, 连结 OA, OB , 射线 OA, OB 交椭圆 N 于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值. (3)过椭圆 N 上一动点 P 作圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 的两条切线,切点分别为 G , H ,求 PG ? PH 的取值范围。

温州中学 2015 学年第一学期高二期末考试 数学试题参考答案 一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1-5BDCBB 6-8DBA

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,第 13-15 题每题 4 分,共 36 分. 9. 11.

? ,?

1 2

10. f ? x ? ? x ? 4x ? 3
2

2 ? u ? 4? 2

1 ___________ ?1,2? _____

12. x ? ? ;9

1 2

13.

97 ?a?9 13

14.

(2 ? 2) ? 2

15.

12 5 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.证明(1)取 PC 的中点 F ,连结 DF , EF

? EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形.

? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内,
所以 AE //平面PCD (2)等体积法 令点 B 到平面 PCD 的距离为 h

? VP ? BCD ? VB ? PCD

VP ? BCD ?

4 1 3 , VB ? PCD ? S?PCD h 3 3

又? S?PCD ? 15

?h ?

4 5

4 h 10 ? 5 ? 直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? . BD 2 2 5

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? sin A cos B ? 2 cos A sin B ,? a ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 ? 2b ? 2ac 2bc

? 2 7 2 1 2 a ? c ? 2 2 ? a ? b ? c 1 2 ? ? 6 2 2 化简得: a ? b ? c ,联立 ? ??????(4 分) 3 ,得 ? 3 ?b 2 ? 5 c 2 ?a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? ? 6 ?

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ? 2ab

c2 2 7 5 c? c 6 6

?

3 35 ??????(8 分) 35
26 35

(Ⅱ)由 c ?

6 ,有 a ? 7 , b ? 5 , sin C ? 1 ? cos2 C ?

??????(12 分)

S?

1 1 26 26 ??????(15 分) absin C ? 7? 5? ? 2 2 2 35
x0 y0 , ) . ??????2 分 3 3

18.解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) , I ( xI , yI ) ,则 G ( 又 IG // F1 F2 , yI ?

y0 , | F1F2 |? 2c , 3 |y | 1 1 ? S?F1PF2 ? | F1 F2 || y0 |? (| F1 F2 | ? | PF1 | ? | PF2 |) 0 .??????4 分 2 2 3 2a ? 2c ? 2c ? ,故 a ? 2c . 3

又直线 y ? x ? 6 与以原点为圆心, 以椭圆 C 的短半轴为半径的圆相切, b?

| 6| ? 3 ??6 分, 1?1

? a ? 2 , c ? 1 .?

x2 y 2 ? ? 1 .??????7 分 4 3

(Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,显然 k1 ? k2 ? 0 不合题意;?????8 分 则直线 l 的斜率存在. 设直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ,直线 l 和椭圆交于 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 将 y ? k ( x ?1)代入3x ? 4 y ? 12中得到 :
2 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

依题意: ? ? 9k ? 9 ? 0得k ? 1或k ? ?1 ??????10 分
2

? 8k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 3 ? 4k 2 由韦达定理可知: ? 2 ? x x ? 4k ? 12 1 1 ? 3 ? 4k 2 ?
又 k AM ? k AN ?

y1 y2 x ? 1 x2 ? 1 ? ? k( 1 ? ) x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

? k[2 ? 3(

1 1 ? )] x1 ? 2 x2 ? 2



x1 ? x2 ? 4 1 1 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
8k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) 2k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 12 ? 16k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) 3k 2
2k 2 ? 1 1 1 ) ? ? ? ? ??????14 分 2 k 2 3k

?

从而 k AM ? k AN ? k (2 ? 3 ? 求得 k ? 2 符合 k ? 1 .

故所求直线 MN 的方程为: y ? 2( x ? 1) .??????15 分 19、解: (1) y ? f ? x ? 所以 b ? ?

? ?

1 ? 1? 1 b 3 ? 2 ? ? 为偶函数, ? ? ax ? ? b ? ? x ? 4a ? 2 ? 16a 4a 4 ?

1 .———————————3 分 2 1 1 ? 1, ? 1] 上, 在区间 [ 4a 4a 1 3 1 1 3 1 ? M ? f ( ? 1) ? a ? ( ? ), N ? f ( ) ? ?( ? ) 4a 4 16 a 4a 4 16 a

?M ? N ? a
x (2)设 2 ? t

———————————6 分

? x ? [0,1],?t ? 2 x ? [1,2]
1 4
所以 g ?x ? 的最大值为

g ? x ? ? t 2 ? 2t ?

1 4

依题意原命题等价于

在 A 上,总存在两个点 x1、x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 即只需满足在 A 上

1 4

f max ( x) ? f min ( x ) ?

1 4

———————8 分

因为对任意的 t 都成立,所以当 t ? ?

b 也成立,由(1)知 2a

a?

1 ———————10 分 4

当a ?

1 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,下面证明在 [t ? 1, t ? 1] 上总存在两点 x1、x2 , 使得 4 4 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 成立. 4

当t ? 1时,f ( x)在[t , t ? 1]上是增函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ? 当t ? 1时,f ( x)在[t ? 1, t ]上是减函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ?
综上所述, a的最小值为
2

1 1 1 t? ? 2 4 4

3 1 1 ? t? 4 2 4

1 . 4

———————————15分

20.解: (1)轨迹 M : x ? ?4 y, N :

y 2 x2 ? ?1 4 3

? x1 ? x2 ? 4k ? y ? kx ? 4 ? ? x 2 ? 4kx ? 16 ? 0 ? ? x1 x2 ? ?16 ? 2 ? x ? ?4 y ? y y ? 16 ? 1 2
所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? OA ? OB 设 OM : ?

? y ? kx ?3 y ? 4 x ? 12
2 2
2

? (3k 2 ? 4) x 2 ? 12 ? xM 2 ?
12 , 3k 2 ? 4

12 , 3k 2 ? 4

所以 OM ? 1 ? k

xM ? 1 ? k 2

同理可得: ON ? 1 ?

1 1 ? k 2 12k 2 , x ? N k2 k2 3 ? 4k 2

所以 S?OMN ?

1 (1 ? k 2 )2 , OM ?ON ? 6 2 (3k 2 ? 4)(3 ? 4k 2 )

令 t ? 1 ? k 2 (t ? 1) , S? ? 6

t2 1 , ?6 2 1 1 2 49 12t ? t ? 1 ?( ? ) ? t 2 4
12 7

所以当 t ? 2, 即:k ? ?1时,S max ? 设 ?EPF ? 2? ,

??? ? ??? ? 2 2 2 PE ?PF ? PE cos 2? ? PG cos 2 ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? PG (1 ? ? PG ?
2

1 PG
2

)(1 ? 2

1 PG
2

)

2 PG
2

?3
??? ? ??? ? 56 ] 9

因为 PG ?[1,3] ,所以 PE ?PF ? [2 2 ? 3,


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