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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:4-1 三角函数的基本概念(共60张PPT)


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第 1 课时

三角函数的基本概念

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2014?考纲下载

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行角度与弧度的互化. 3.借助单位圆理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切)的 定义. 4.理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意 义.

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请注意!

本节内容高考一般不直接考查,但它是后续各节的基础,是 学习三角函数必须掌握的基本功.

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1.角 的 概 念 1 ( ) 象 限 角 : 角 α的 终 边 落 在

第几象限 就 称 α为 第 几 象 限 的

角 , 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 不 属 于 任 何 象 限 . 2 ( ) 终 边 相 同 的 角 :

两角的终边重合 . {β|β=k· 360°+α,k∈Z}


3 ( ) 与α终 边 相 同 的 角 的 集 合 为

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4 ( ) 各 象 限 角 的 集 合 为

Ⅰ象限:{α|k· 360°<α<k· 360°+

90°,k∈Z} 360°+90°<α<k· 360°+180°, , Ⅱ象限:{α|k·
k∈Z}, Ⅲ象限:{α|k· 360°+180°<α<k· 360°+270°, 360°-90°<α<k· 360°,k∈Z} k∈Z} , Ⅳ象限:{α|k·


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2.弧 度 制 1 ( ) 什 么 叫 1度 的 角 :

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把圆周分成360份,每一份所对的圆

心角叫1°的角.
2 ( ) 什 么 叫 1弧 度 的 角 :

弧长等于半径的圆弧所对的圆心角
180 . π 度
α, 则 此 扇 形 的 弧 长 .

叫1弧度的角 . π 3 1 ( ) ° = 180 弧 度 ; 1弧 度 =
4 ( ) 扇 形 的 半 径 为

r , l= |α|· 面 积

r, 圆 心 角 的 弧 度 数 为 1 2 1 | α | r S= 2 = 2lr

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3.任意角的三角函数定义 1 ( ) 设α是 一 个 任 意 角 , 是(x,y), 它 与 原 点 的 距 离 为 y = x . 2 ( ) 三 角 函 数 在 各 象 限 的 符 号 是 :

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α 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐标 y x r,则 n i s α= r ,c o s α= r , a n t α

sinα Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ + + - -
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cosα + - - +
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tanα + - + -
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4.三 角 函 数 线 如 图 所 示 , 正 弦 线 为

MP ; 余 弦 线 为

OM ; 正 切 线 为

AT .

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1. 下 列 命 题 为

真 命 题 的 是

(

)

π A. 角 α=kπ+3(k∈Z)是 第 一 象 限 角 π π B. 若 n i s α=n i s 7, 则 α=7 C. -3 0 0 ° 角 与 6 0 ° 角 的 终 边 相 同 D. 若 A={α|α=2kπ,k∈Z},B={α|α=4kπ,k∈Z},则 A =B
答案 C
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2.若 600° 角的终边上有一点 P(-4,a),则 a 的值为( A.4 3 C.± 4 3
答案 B

)

B.-4 3 D. 3

解析 a n t 6 0 0 ° =a n t 6 0 °

= tan 3 ( 6 0 °

+2 4 0 ° )

=a n t 2 4 0 °

=a n 1 t ( 8 0 °

+6 0 ° )

a = 3= ,∴a=-4 3. -4

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3.(人 教 A版 教 材 习 题 改 编 标 是n 2 ( i s π c o s 3,2 π 则 α弧 度 数 是 3 ), π B.3 2 π D. 3
C

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)已 知 锐 角 ( )

α终 边 上 一 点

A的 坐

A.2 π C.6
答案

解析 点 A 的坐标为( 3,1). 1 1 π ∴n i s α= =2,又 α 为锐角,∴α=6. 2 ? 3? +1
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4. 已 知 圆 中 一 段 弧 长 正 好 等 于 该 圆 的 外 切 正 三 角 形 的 边 长 , 那么这段弧所对的圆心角的弧度数为________.
答案 2 3

解 析 面 几 何 知 识 可 得

设 圆 的 半 径 为 a n t 3 0 °

R, 其 外 切 正 三 角 形 边 长 为 3 R = x ,∴R= 6 x. 2

x, 则 由 平

故 这 段 弧 所 对 圆 心 角 的 弧 度 数 为

x x α=R= =2 3. 3 6x
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5.2 ( 0 1 · 的 正 半 轴 . 若 =_ _ _ _ _ _ _ _ .
答案 -8
2 2 2

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江 西 文 )已 知 角

θ的 顶 点 为 坐 标 原 点 , 始 边 为 n i s

x轴

P(4,y)是 角 θ终 边 上 一 点 , 且

2 5 θ= - 5 ,则 y

解析 r= x +y = 16+y ,且 n i s 所以 n i s 2 5 y y θ= r= 2=- 5 . 16+y

2 5 θ=- 5 ,

所以 θ 为第四象限角,解得 y=-8.
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3 7 例1 设 角 α1 = -3 5 0 ° ,α2=8 6 0 ° ,β1=5π,β2= - 3π . 1 ( ) 将 α1,α2 用 弧 度 制 表 示 出 来 , 并 指 出 它 们 各 自 所 在 的 象 限 ; 2 ( ) 将 β1,β2 用 角 度 制 表 示 出 来 , 并 在 - 它 们 有 相 同 终 边 的 所 有 角 . 7 2 0 ° ~0 °之 间 找 出 与

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【解析】 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的 表示方法. 350 35π π 1 ( ) α1=-3 5 0 ° =-180π=- 18 =-2π+18, 860 43 7 α2=860° =180π= 9 π=4π+9π. ∴α1 在第一象限,α2 在第二象限.

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3 3 2 ( ) ∵5π=5×1 8 0 ° =1 0 8 ° , 设 θ=k3 6 · 0 ° 由 -7 2 0 ° ≤θ<0 °,∴-7 2 0 ° ≤k3 6 · 0 °

+β1(k∈Z), +1 0 8 ° <0 ° . β1 有 相 同 的 终 7 2 0 ° ~0 °间

∴k= - 2 或 k= - 1,∴在 -7 2 0 ° ~0 °之 间 与 边 的 角 是 - 6 1 2 ° 和 -2 5 2 ° , 同 理 6 0 ° .
7 α2=4 π +9π π 1 ( ) α1= -2 π +1 8

β2= -4 2 0 ° , 且 在 -

与 β2 有 相 同 终 边 的 角 是 -
【 答 案 】

2 ( ) β1=1 0 8 ° , 终 边 相 同 的 角 - β2= -4 2 0 ° , 终 边 相 同 的 角 -
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6 1 2 ° , -2 5 2 ° ; 6 0 °
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探 究 1

迅 速 进 行 角 度 和 弧 度 的 互 化 , 准 确 判 断 角 所 在 的 象 功 , 若 要 确 定 一 个 绝 对 值 较 大 2kπ+α(0≤α<2 π ( ) k∈Z)的 π

限 是 学 习 三 角 函 数 知 识 必 备 的 基 本 的 角 所 在 的 象 限 , 一 般 是 先 将 角 化 成 形 式 , 然 后 再 根 据 的 偶 数 倍 , 而 不 是

α所 在 的 象 限 予 以 判 断 , 这 里 要 特 别 注 意 是 π的 整 数 倍 , 若 要 求 出 在 某 一 指 定 范 围 内 的 某

种 特 殊 的 角 , 通 常 可 像 本 例 一 样 化 为 解 不 等 式 去 求 出 对 应 的 值 .

k

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思考题 1 1 ( ) 在区间[-720° ,0 ° ] 内找出所有与 45° 角终边 相同的角 β; 2 ( ) 设 集 合 k k M = {x|x = 2 ×180° + 45° , k ∈ Z} , N = {x|x = 4

×180° +45° ,k∈Z}, 那 么 两 集 合 的 关 系 是 什 么 ?

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【 解 析 】

1 ( ) 所 有 与 角

α有 相 同 终 边 的 角 可 表 示 为 :

β=4 5 ° +k×3 6 0 ° (

k∈Z),

则 令 - 7 2 0 ° ≤4 5 ° +k×3 6 0 ° ≤0 °, 得 -7 6 5 ° ≤k×3 6 0 ° ≤-4 5 ° , 7 6 5 4 5 解 得 - 3 从 而 6 0 ≤k≤-3 6 0 , 代 入 得 β= -6 7 5 ° 或 β= -3 1 5 ° . k= - 2 或 k= - 1,

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2 ( ) 因为 M={x|x=(2k+1)×45° , k∈Z}表 示 的 是 终 边 落 在 四 个象限的平分线上的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° , k∈Z}表 示 终 边 落 在 坐 标 轴 或 四个象限的平分线上的角的集合,从而 M N.
【答案】 1 ( ) -675° 或-315° 2 ( ) M N

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例 2 已知角 α 是第三象限角,试判断①π-α 是第几象限 α 角?②2是第几象限角?③2α 是第几象限角?
【 解 析 】 ① ∵ α是 第 三 象 限 角 ,

3 π ∴2kπ+π<α<2kπ+ 2 ,k∈Z. π ∴-2kπ-2<π-α< - 2kπ,k∈Z. ∴π-α 是 第 四 象 限 角 .

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π α 3 π ② ∵ kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z. α ∴2 是 第 二 或 第 四 象 限 角 . ③ ∵ 4kπ+2 π < 2 α<4kπ+3 π ,k∈Z, y轴 非 负 半 轴 上 的 角 .
③2α 是第一或第二象限角或 y 轴

∴2α 是 第 一 或 第 二 象 限 角 或
【答案】 ①四 ②二

非负半轴上的角

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探 究 2 1 ( ) 判 断 θ在 哪 个 象 限 , 只 需 把 k∈Z, 其 中 θ0∈0 [ ° ,3 6 0 ° ) 即 可 .

θ改 写 成

θ0+k3 6 · 0 °



α 2 ( ) 对2 判 断 象 限 问 题 可 采 用 等 分 象 限 法 .

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思考题 2 1 ( ) 如果 α 为 第 一 象 限 角 , 那 么 α α ③n i s 2;④c o s 2中必定为正值的是________.

①n 2 i s

α, ②c o 2 s

α;

【答案】


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θ 4 2 ( ) 若n i s 2=5, 且 n i s θ<0, 则 θ所 在 象 限 是 A. 第 一 象 限 C. 第 三 象 限 B.第 二 象 限 D.第 四 象 限 θ θ ∵n i s θ<0,∴n 2 i s 2c o s 2< 0 .

(

)

【解析】

θ 4 θ 又∵n i s 2=5,∴c o s 2< 0 . π θ 3 θ 故2在第二象限,且 2kπ+2<2<2kπ+4π(k∈Z). 3 ∴4kπ+π<θ<4kπ+2π,∴θ 在第三象限. 【答案】 C
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例 3 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 c o s α= 3 1 i s α+a 6 x,则 n n t α的值为________.
【 解 析 】 ∵P(x, - 2)(x≠0 ), r= x2+2.

∴点 P 到 原 点 的 距 离

3 3 x 又c o s α= 6 x,∴c o s α= 2 = 6 x. x +2 ∵x≠0,∴x=± 1 0 .∴r=2 3.
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当 x= 1 0时 , P点 坐 标 为 由 三 角 函 数 的 定 义 , ( 1 0, -

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2),

- 2 6 1 1 0 有n i s α= = - 6 ,a - n t α=- 2= 2 3 6 5+ 6 6 ∴n i s α+a - 6 - 5= - ; n t α= 6 1 当 x= - 同 理 可 求 得 1 0时 , 6 5- 6 n i s α+a . n t α= 6 1

5,

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【讲评】 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关,与 点在终边上的位置无关, 故要首先判定 P 点 所 在 的 象 限 , 确 定 最后根据定义求解.
【答案】 6 5- 6 6

r,

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探究 3 在 数 学 学 习 中 , 利 用 定 义 解 题 是 一 种 良 好 的 思 维 方 式 , 因 为 定 义 是 一 切 基 本 问 题 的 出 发 点 , 对 数 学 定 义 的 反 复 应 用 必将增强对知识的理解与掌握,是学好数学的有效途径.
思考题 3 1 ( ) 若角 θ 的终边与函数 y=-2|x|的图像重合, 求 θ 的各三角函数值.

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【 解 析 】

∵角 θ 的 终 边 与 函 数

y= -2 | x|的 图 像 重 合 ,

∴θ 为 第 三 、 四 象 限 的 角 . 若θ是 第 三 象 限 的 角 , 取 终 边 上 一 点 |OP|=r= 5, 则 θ角 的 各 三 角 函 数 值 分 别 为 2 5 5 y -2 x -1 n i s θ=r= = - 5 ,c o s θ= r= = - 5, 5 5 y -2 a n t θ=x= =2 . -1 P(-1, -2 ),

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若θ在 第 四 象 限 , 可 取 点 易 得 θ的 各 三 角 函 数 值 为 a n t θ= -2 .
【答案】 略

P(1, -2 ), 2 5 5 n i s θ= - 5 ,c o s θ= 5 ,

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2 ( ) 2 ( 0 1 4 · 逆 时 针 运 动 , P到x轴 的 距 离

郑 州 模 拟

)如 图 所 示 , 质 点

P在 半 径 为

2的 圆 周 上 1, 那 么 点 )

其 初 始 位 置 为 d关 于 时 间

P0( 2,- 2), 角 速 度 为 t的 函 数 图 像 大 致 为 (

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π 【解析】 ∵P0( 2,- 2),∴∠P0Ox=4. π 按逆时针转时间 t 后,得∠P O P 0=t,∠P O x =t-4.

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由 三 角 函 数 定 义 , 知 点 因 此 d=2 |n ( i s π t-4 .|)

P的 纵 坐 标 为

n 2 ( i s

π t-4),

当 点 P 到 P0 处 时 , t=0,d= 2, 排 除 π 当 t=4时 , 点
【答案】 C

A、D; B.

P在x轴 上 , 此 时

d=0, 排 除

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3 例4 1 ( ) 不 等 式 n i s x≥ 2 的解集为__________. 1 2 ( ) 不等式 c o s x≥-2的解集为__________. 3 ( ) 函数 f(x)= n 2 i s x+1+g 2 ( l c o s x- 2)的 定 义 域 为 _____.

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【 解 析 】 3 1 ( ) 过 点 (0, 2 )作 平 行 于

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x轴 的 直 线 , 交 单 位 圆

1 3 1 3 于 点 P1(2, 2 ),P2(-2, 2 ), 则 以 OP1、OP2 为 终 边 的 角 的 正 弦 值 为 分 的 角 的 正 弦 值 大 于 3 2, π 2 π {x|2kπ+3≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}. 3 终 边 落 在 阴 影 部 2,

3 ∴n i s x≥ 2 的 解 集 为

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1 2 ( ) 过 点 (-2,0 )作 直 线 与 单 位 圆 交 于 点 1 3 - 2 ), 则 以 2,

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1 3 Q1(-2, 2 ).Q2(- 1 终 边 落 2,

OQ1、OQ2 为 终 边 的 角 的 余 弦 值 为 - 1 2.

在 阴 影 部 分 的 角 的 余 弦 值 大 于 - 1 ∴c o s x≥-2的 解 集 为

2 π 2 π {x|2kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}.

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3 ( )

? 2 i s ?n 由? ? c o s ?2

x+1≥0, x- 2>0,

1 ? i s x≥-2, ?n 得? 2 ?c o s x> 2 . ? ① ②的 解 集 对 应 的 区 域 , 其 公 共

① ②

在 单 位 圆 中 分 别 画 出 不 等 式 区 域 为 不 等 式 组 的 解 集 , ∴函 数 f(x)的 定 义 域 为

? ? ? π π ?x?2kπ- ≤x<2kπ+ ,k∈Z 6 4 ? ? ?

? ? ?. ? ?

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【 答 案 】 2 { ( ) 3 ( )

π 2 π 1 ( ) {x|2kπ+3≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}

2 π 2 π x|2kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}
? ? ? π π ?x?2kπ- ≤x<2kπ+ ,k∈Z 6 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

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探究 4 1 ( ) 角 α 的终边与单位圆的交点为 Pc o ( s 2 ( ) 利 用 单 位 圆 解 三 角 不 等 式 的 步 骤 为 :

α,n i s α).

①确定区域的边界;②确定区域;③写出解集.

思考题 4 1 ( ) 求函数 y=g 3 ( l

-n 4 i s

2

x)的 定 义 域 .

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【 解 析 】 ∴n i s
2

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2

∵3-n 4 i s

x>0,

3 x<4. 3 x< 2 . x 满 足 条 件 的 终 边 范 围 (如 图 阴 影 部 分

3 ∴- 2 < n i s

利 用 三 角 函 数 线 画 出 所 示 ),

π π ∴x∈(kπ-3,kπ+3)(k∈Z).

π π 【答案】 (kπ-3,kπ+3)(k∈Z)
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2 ( ) 已 知 n i s α> n i s

β, 那 么 下 列 命 题 成 立 的 是 c o s α> c o s a n t α> a n t c o s α> c o s a n t α> a n t

( β β β β

)

A. 若 α、β 是 第 一 象 限 的 角 , 则 B. 若 α、β 是 第 二 象 限 的 角 , 则 C. 若 α、β 是 第 三 象 限 的 角 , 则 D. 若 α、β 是 第 四 象 限 的 角 , 则

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【 解 析 】

由 三 角 函 数 线 可 知 选
【答案】 D

D.

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例5

已 知 一 扇 形 的 圆 心 角 是

α, 所 在 圆 的 半 径 是 , 求 扇 形 的 弧 长 及 该 弧 所 在 的 弓 形

R.

1 ( ) 若 α=6 0 ° ,R=1 0 c m 面 积 ; 2 ( ) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 形 有 最 大 面 积 ?

c( c> 0 ) , 当α为 多 少 弧 度 时 , 该 扇

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【 解 析 】

1 ( ) 设 弧 长 为

l, 弓 形 面 积 为 .

S 弓,

π 1 0 ∵α=6 0 ° =3,R=1 0 ,∴l= 3 π c m () 11 0 S 弓=S 扇-S△=2· π 0 · 31 π 3 =5 0 ( 3- 2 c m ( )
2

1 2 -21 0 · n 6 i s 0 · °

).

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2 ( ) ∵扇 形 周 长

c=2R+αR,

1 2 1 c c 2 ∴R= ,∴S 扇=2α· R =2α( ) 2+α 2+α c2 1 c2 1 c2 = 2 α· = · 4≤16. 4+4α+α2 2 4+α+α 4 当且仅当 α=α,即 α=2(α> 0 ) 时 , 扇 形 面 积 的 最 大 值 为
10 【答案】 1 ( ) l= 3 π c m () 2 ( ) α=2 时 扇 形 面 积 的 最 大 值 为
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c2 16.
2

π 3 S 弓=50(3- 2 c m ( ) c2 16
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)

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探究 5 1 ( ) 在 弧 度 制 下 , 计 算 扇 形 的 面 积 和 弧 长 比 在 角 度 制 下更方便、简捷. 2 ( ) 记 住 下 列 公 式 : 1 1 2 ①l=αR;②S=2lR;③S=2αR .其中 R 为圆心角,S 是扇形面积.

是扇形的半径,l 是弧长,α0 ( < α< 2 π )
思考题 5

若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少

弧度时,该扇形的周长取到最小值?

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【解析】 设扇形的圆心角为 α, 半 径 为 1 已知条件2lR=S 扇, 则 扇 形 的 周 长 为

R, 弧 长 为

l, 根 据

2S扇 l+2R= R +2R≥4 S扇, 当 l l=2 S扇,α=R=

2S扇 且仅当 R =2R,即 R= S扇时 等 号 成 立 , 此 时 2.

因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

【答案】 当扇形的圆心角为 2 弧 度 时 , 扇 形 的 周 长 取 到 最 小值

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1.2 ( 0 1 4 · 大 连 期 末 )有 下 列 命 题 :

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①终 边 相 同 的 角 的 同 名 三 角 函 数 的 值 相 等 ; ②终 边 不 同 的 角 的 同 名 三 角 函 数 的 值 不 等 ; ③若 n i s α>0, 则 α 是第 一 、 二 象 限 的 角 ; ④若 α 是 第 二 象 限 的 角 , 且 -x = 2 2. x +y 其 中 正 确 的 命 题 的 个 数 是 A.1 C.3
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P(x, y) 是 其 终 边 上 一 点 , 则

c o s α

( B.2 D.4

)

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答案

A

解 析

①正 确 , ②不 正 确 ,

π 2 π π 2 π ∵n i s 3=n i s 3, 而 3与 3 角 的 终 边 不 相 同 . ③不 正 确 , ④不 正 确 . ∵n i s α>0,α 的 终 边 也 可 能 在 ∵在 三 角 形 的 定 义 中 , y轴 的 非 负 半 轴 上 . x x c o s α= r= 2 2, 不 论 x +y

角α在 平 面 直 角 坐 标 系 的 任 何 位 置 , 结 论 都 成 立 .

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2. a 4 n t 3 c 2 o n · s i A.小于 0 C.等于 0
答案 A

的值(

) B.大于 0 D.不存在

解 析 ∴n 2 i s > 0 ∴n a c 2 o i s t 4 · 3 < · 0

π ∵2 < 2 < 3 < π < 4 < ,c o 3 s < 0

3 π 2, ,a n t 4 > 0 . ,∴选 A.

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3. 已 知 点 A. 第 一 象 限

Pa n t (

α, c o s α)在 第 三 象 限 , 则 角 B.第二象限 D.第 四 象 限

α 的终边在(

)

C.第三象限
答案 B

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解 析

∵点 Pa n t (

α,c o s α)在 第 三 象 限 ,

∴a n t α<0,且 c o s α< 0 . 由a n t α<0,知 α 的 终 边 在 第 二 或 第 四 象 限 , 由c o s α<0, 知 α的 终 边 在 第 二 或 第 三 象 限 , 或 半 轴 上 , 因 此 角 α的 终 边 在 第 二 象 限 . x轴 的 非 正

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4. 2 ( 0 1 4 · -2 c o 2 s )

衡 水 调 研

)已知锐角 α 终 边 上 一 点 ) B.-2 π D.2-2

P 的坐标是n 2 ( i s



,则 α 等于( A.2 π C.2-2
答案 C

解析 ∵锐角 α 终边上一点 P 的坐标为n 2 ( i s -2 c o s ∴a n t α= n 2 i s =a n t ( π n 2 t ( 2+2)=a 2 1 1 =-a n t 2 =a n t ?-2? π -2),故选 C.
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,-2 c o 2 s )



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π π 5. 若 4<θ<2, 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是 A.n i s θ> c o s C.n i s θ> a n t
答案 D

( θ> n i s θ> c o s

) θ θ

θ> a n t θ> c o s

θ θ

B.c o s θ> a n t D.a n t θ> n i s

π π 解析 ∵4<θ<2,∴a n t θ>1,n i s θ-c o s θ= 2s n ( i π π π π ∵4<θ<2,0<θ-4<4,∴n ( i s π θ-4> ) 0 ,∴n i s θ> c o s

π θ-4). θ.

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