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高中数学竞赛讲座 17数学归纳法


竞赛讲座 17 -数学归纳法
基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数 n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法. 在 数学竞赛中占有很重要的地位. 1.数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n0 ( n0 ? N )时, P (n) 成立; ②假设 n ? k (k ? n0 , k ? N )

成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n) 也成立,那么,根据 ①②对一切正整数 n ? n0 时, P (n) 成立. (2)第二数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n0 ( n0 ? N )时, P (n) 成立; ②假设 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n) 也成立,那么,根据 ①②对一切正整数 n ? n0 时, P (n) 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当 n ? 1,2,3,?, l 时, P(1), P(2), P(3),?, P(l ) 成立, ②假设 n ? k 时 P ( k ) 成立,由此推得 n ? k ? l 时, P (n) 也成立,那么,根据①②对一 切正整数 n ? 1 时, P (n) 成立. (2)反向数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ① P (n) 对无限多个正整数 n 成立; ②假设 n ? k 时,命题 P ( k ) 成立,则当 n ? k ? 1 时命题 P(k ? 1) 也成立,那么根据① ②对一切正整数 n ? 1 时, P (n) 成立. 3.应用数学归纳法的技巧

(1)起点前移:有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n 都成立,但命题本身对 n ? 0 也成立,而且验证起来比验证 n ? 1 时容易,因此用验证 n ? 0 成立代替验证 n ? 1 , 同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步, 有意前移起点. (2)起点增多:有些命题在由 n ? k 向 n ? k ? 1 跨进时,需要经其他特殊情形作为基 础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点. (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也 应相应增多. (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设 n ? k 时命题成立”不可, 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用. (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或 者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明. 5.归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的, 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其 正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、 解决问题极好的方法. 例题分析 例 1.用数学归纳法证明:

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1 ( n ? N * , n ? 1 ) 4 7 3n ? 2
* 3 3 3 例 2. 已知对任意 n ? N ,n ? 1 ,an ? 0 且 a1 ? a2 ? ? ? an ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ,

求证: an ? n . 例 3.如果正整数 n 不是 6 的倍数,则 1986 ? 1 不是 7 的倍数.
n

例 4.设 a1 , a2 ,?, an 都是正数,证明

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n . n

例 5 . 已知函 数 f ( x) 的定 义域 为 [ a, b] , 对于区 间 [ a, b] 内的 任意 两数 c, d 均 有

f(

c?d 1 ) ? [ f (c) ? f (d )] .求证:对于任意 x1 , x2 ,?, xn ? [a, b] ,均有 2 2

f(

x1 ? x 2 ? ? ? x n 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )]. n n

例 6 试证:对一切大于等于 1 的自然数 n 都有

1 ? cos? ? cos 2? ? ? ? cos n? ? 2

sin

2n ? 1 ? 2 . ? 2 sin 2
n 2

例 7 试证:对一切自然数 n ( n ? 1 )都有 2 ? 2 ? n .

例 8.证明:任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形. 例 9.设 0 ? a ? 1 , a1 ? 1 ? a , a n ?1 ?

1 ? a ,求证:对一切 n ? N 均有 an ? 1 an

例 10.已知 a1 ? a2 ? 1 , a n? 2 例 11 .设 f (n) ? 1 ?

2 n ?1 an ?1 ? (?1) ,求证:对一切 n ? N , an 都是整数. ? an

1 1 1 ? ? ? ? ,是否存在关于正整数 n 的函数 g (n) 使等式 2 3 n

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n ? 1) ? g (n)[ f (n) ? 1] 对于 n ? 2 的一切自然数都成立?并证明你
的结论. 例 12 . 设 整 数 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a2 ? 12 , a3 ? 20 , 且

an?3 ? 2an?2 ? 2an?1 ? an .证明:任意正整数 n , 1 ? 4an an?1 是一个整数的平方.
例 13 . 设

x1 , x2 ,?, xn









n?2

) ,







2 2 2 xn xn x12 x2 ?1 ? ? ? ? ? ? n ? 1. 2 2 2 x12 ? x2 x3 x2 ? x3 x4 xn ? x x x ? x x ?1 n 1 n 1 2

例 14.已知 a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ?

1 ( n ? N *, n ? 1) ,求证: a9000 ? 30 . 2 an

2 an 1 例 15. 整数列 {an } ( n ? N , n ? 1) 满足 a1 ? 2, a2 ? 7 , 且有 ? ? a n?1 ? 求 ? 2. 2 an?1

*

证: n ? 2 时, an 是奇数. 训练题 1.证明 n ? N 时, 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5 n ?1

能被 31 整除.

2.设 n 不小于 6 的自然数,证明:可以将一个正三角形分成 n 个较小的正三角形.

1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 2 4 2 1 1 1 4.设 n 为自然数,求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 . 2 3 n
3.用数学归纳法证明: 1 ?
n ?1 5.对于自然数 n ( n ? 3 ) ,求证: n ? (n ? 1) n .
2 n ?1 an * ?1 ? (?1) ,求证:对于一切 n ? N , an 是整数. an

6.已知 a1 ? a2 ? 1 , a n? 2 ?
n

7.设有 2 个球分成了许多堆,我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动:若甲

戴盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q , 则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆, 这样算是挪动一次. 证 明:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆. 8 .已知数列 {an } 满足: a1 ? 3 , a2 ? 8 , 4(an?1 ? an?2 ) ? 3an ? 5n 2 ? 24n ? 20 (n ? 3) ,试证: an ? n 2 ? 2 n .


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