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11-12学年高一数学:3.1.2 不等式的性质第二课时 优化训练(人教B版必修5))


3.1.2

不等式的性质第二课时 优化训练

1.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 1 C.a1b2+a2b1 D. 2 1 4 1 3 解析:选 A.利用特殊值法:a1= ,a2= ,b1= ,b2= ,可验证 A 最大. 5 5 4 4 2.如果 loga3>logb3>0 那么 a,b 间的关系是( ) A.0<a<b<1 B.1<a<b C.0<b<a<1 D.1<b<a lg3 lg3 解析:选 B.由 loga3>logb3>0 得 > >0,∴0<lga<lgb,∴1<a<b. lga lgb 3.若直线 + =1 通过点 M(cosα ,sinα ),则( A.a +b ≤1 1 1 C. 2+ 2≤1
2 2

x y a b

)

a

b

B.a +b ≥1 1 1 D. 2+ 2≥1

2

2

a

b

解析: 选 D.由题意知直线 + =1 与圆 x +y =1 有交点, 则

x y a b

2

2

1 1

a2 b2
1 1 ≥1,即 2+ 2≥1,故选 D.



1

≤1, 所以

1

a2 b2



1

a

b

4.若 1≤a≤5,-1≤b≤2,则 a-b 的取值范围是________. 解析:∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,∴1-2≤a-b≤1+5,即-1≤a-b≤6. 答案:[-1,6] 5.糖水是日常生活中常见的东西,下列关于糖水浓度的问题,请提炼出一个不等式来. (1)如果向一杯糖水里添上点糖,糖水就更甜了; (2)把原来的糖水(淡)与加糖后的(浓)混合到一起, 得到的糖水一定比淡的浓、 比浓的淡. a a+m 解:(1)设糖水 b 克,含糖 a 克,浓度为 ,添入 m 克糖后的浓度为 ,则提炼出的不 b b+m a a+m 等式模型为:若 b>a>0,m>0,则 < . b b+m

a2 b2 a1+a2 a1 a2 a1 a1+a2 a2 的浓度为 ,所提炼出的不等式模型为:若 b1>a1>0,b2>a2>0,且 < ,则 < < . b1+b2 b1 b2 b1 b1+b2 b2

(2)设淡糖水 b1 克,含糖 a1 克,浓度为 ;浓糖水 b2 克,含糖 a2 克,浓度为 ,则混合后

a1 b1

1.已知实数 a、b、c、d 满足 a<b,c<d,(a-c)(a-d)=4,(b-c)(b-d)=4,则( ) A.a<b<c<d B.c<d<a<b C.c<a<d<b D.a<c<d<b 解析:选 D.由(a-c)(a-d)=4 及(b-c)(b-d)=4 知 a、b 是方程(x-c)(x-d)=4 的 两个实根. ∴由根与系数的关系得 a+b=c+d. 由不等式性质淘汰 A、B、C,故选 D. 2.(2011 年松原高二检测)若 x>1>y,下列不等式不成立的是( ) A.x-1>1-y B.x-1>y-1 C.x-y>1-y D.1-x>y-x

3 1 解析:选 A.若 x= ,y= ,则 x-1<1-y,故 A 错. 2 4 3.若 6<a<10, ≤b≤2a,c=a+b,则 c 的取值范围是( ) 2 A.9≤c≤18 B.15<c<30 C.9≤c≤30 D.9<c<30 解析:选 D.∵3<b<20,∴9<a+b<30. 3 4. 已知函数 f(x)=x+x , x1、x2、x3∈R,x1+x2<0, x2+x3<0,x3+x1<0, 那么 f(x1)+f(x2) +f(x3)的值( ) A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 解析:选 B.显然函数 f(x)是奇函数, 且 f(x)在 R 上是增函数. ∵x1+x3<0,∴x1<-x3, ∴f(x1)<f(-x3), ∴f(x1)<-f(x3), ∴f(x1)+f(x3)<0, 同理,f(x1)+f(x2)<0,f(x2)+f(x3)<0, ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 1 1 1 a b 5.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( ) b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N B.M<N C.M=N D.不确定 解析:选 A.由已知得 a>0,b>0,0<ab<1,于是 1 1 b a b a M= + = + > + =N, 1+a 1+b b+ab a+ab b+1 a+1 故选 A. 6.如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且 只有一个交点,4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点, 设 V1 为小球相交部 分(图中阴影部分)的体积,V2 为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积,则下列关系式 中正确的是( )

a

A.V1> B.V2< 2 2 C.V1>V2 D.V1<V2 解析:选 D.由题意知,大球半径与小球半径之比为 2∶1,设大球半径为 R,则小球半径 R 4 4 R 3 2 2 3 3 3 为 ,V2= π R -4× π ·( ) +V1= π R +V1,所以 V2-V1= π R >0,所以 V2>V1,故选 D. 2 3 3 2 3 3 7.(2010 年高考辽宁卷)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是 ________. 解析:设 z=2x-3y=m(x+y)+n(x-y),

V

V

则?

?m+n=2 ? ? ?m-n=-3

1 m=- ? ? 2 ,解得? 5 n= ? ? 2

.

1 1 又∵-2<- (x+y)< , 2 2 5 15 5< (x-y)< , 2 2 ∴3<2x-3y<8. 答案:(3,8) 2 8.已知 a>b>c,且 a+b+c=0,则 b -4ac 的值的符号为______. 解析:a+b+c=0,∴b=-(a+c), b2=a2+c2+2ac≥4ac.∵a≠c,∴b2-4ac>0. 答案:正 9.若 m<n,p<q 且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0.则 m,n,p,q 的大小顺序为______. 解析:视(p-m)(p-n)<0 为关于 p 的二次不等式. ∵m<n,∴m<p<n,同理 m<q<n. 故 m<p<q<n. 答案:m<p<q<n a b 1 1 10.已知 a+b>0,比较 2+ 2与 + 的大小.

b a a b a b 1 1 a-b b-a 解: 2+ 2-( + )= 2 + 2 b a a b b a 1 1 a+b a-b 2 =(a-b)( 2- 2)= , 2 2 b a ab a+b a-b 2 ∵a+b>0,(a-b) ≥0,∴ 2 2 ab a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b

2

≥0,

π π π β 11.已知 0<α +β < ,- <α -β < ,求 2α ,2β ,3α - 的取值范围. 2 2 3 3 π ? ?0<α +β < 2 ,① 解:∵? π π ? ?- 2 <α -β < 3 ,② π 5π ①与②相加得- <2α < . 2 6 π π π π 又∵- <α -β < ,∴- <β -α < .③ 2 3 3 2 π ①与③相加得- <2β <π . 3 β 又设 3α - =m(α +β )+n(α -β )=(m+n)α +(m-n)β , 3

m+n=3, ? ? ∴? 1 m-n=- , ? 3 ?

4 m= , ? ? 3 ∴? 5 n= . ? ? 3

β 4 5 ∴3α - = (α +β )+ (α -β ), 3 3 3 4 2π 5π 5 5π 而 0< (α +β )< ,- < (α -β )< , 3 3 6 3 9 5π β 11π 两式相加得- <3α - < . 6 3 9 12.甲、乙两人沿着同一条路同时从 A 地出发走向 B 地,甲用速度 v1 与 v2(v1≠v2)各走路 程的一半,乙用速度 v1 与 v2 各走全路程所需时间的一半,试判断甲、乙两人谁先到达 B 地, 并证明你的结论. 解:乙先到达 B 地.证明如下: 设从 A 地到 B 地的总路程为 1, 1 1 2 2 1 1 则甲走完全路程所用时间 t1= + = + , v1 v2 2v1 2v2 2 乙走完全路程所用时间 t2= , v1+v2 2 1 1 ∴t2-t1= -( + ) v1+v2 2v1 2v2 4v1v2-v2 v1+v2 -v1 v1+v2 = 2v1v2 v1+v2 2 2 2 2v1v2-v1-v2 - v1-v2 = = . 2v1v2 v1+v2 2v1v2 v1+v2 ∵v1≠v2,v1>0,v2>0, 2 - v1-v2 ∴ <0, 2v1v2 v1+v2 即 t1>t2. 甲走完全路程所用时间比乙多,故乙先到达 B 地.
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