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平面向量公式


平面向量
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质: ①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 则 a ?b ? x ?x 2y, 1? y ?1
2

?

?

?

?

?.
C
a

?
b

向量减法运算:

?

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内 所有向量的一组基底) 分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当
? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 ? ? 1 时,为中点公式。 ) , ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?

?

?

?

?

?

?

平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a

?

?

与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2 .
2

2

?

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?

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

. a ? b ? 1 x 2x ? 1y 2y 0 ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

c o? s?

a ?b a b

?

x1 x2? y1 y2
2 x12 ? y 12 x ? 2 y


2 2



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