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佛冈一中高二级数学竞赛试题(答案)(2013年1月)


佛冈一中高二级数学竞赛试题(2013 年 1 月)
班别_________ 学号_________ 姓名_________ 成绩________

一、 选择题(每题 5 分,共 30 分) 1. 非空集合 S ? ? 1,2,3,4,5,?, 且若 a ? S , 则必有 6 ? a ? S ,则所有满足上述条件的集合 S 共有( B ) .

A .6 个
2

B .7 个

C .8 个
2

D .9 个
B 等于( ▲ )

2.设集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?2} , B ? {x | 2x? x ? 1} ,则 A A. {x | x ? 0, 或1 ? x ? 3} C . {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3}

B . {x | x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1}
B ? {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3} ,选

解:可得 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 0, 或x ? 1} ,所以 A C.

3 . 已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? ( ▲ )

? ?

?

? ),1? ,则 a ? b 的取值范围是 6 ?

A. ? ?

? 1 5? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 5? , ? 2 2? ?

C. ? 2, ? 2

? 5? ? ?

D. ? 2, ? 2

? ?

5? ?

【答案】C 【解析】 a ? b ? 2sin( A ?

?
6

) cos A ? 1 ? 3 sin A cos A ? cos 2 A ? 1

?

3 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? , 2 2 6 2

? ? ? 5? 5 A ? (0, ]? 2 A ? ? ( , ]? a ? b ? [2, ] . 3 6 6 6 2
4.有三个命题: (1)空间四边形 ABCD 中,若 AC=BC,AD=BD,则 AB⊥CD. (2)过平面 ? 的一条斜线 l 存在一个平面与 ? 垂直. (3)两个平面斜交,则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直. 其中正确的命题个数( D ) .

A .0

B .1

C .2

D .3
1

5.如图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点.若它停在
5?

?

?2

1

4

?

?3

奇数点上,则下一次 只能跳一个点;若停在偶数点上,则跳 . 两个点.该蛙从 5 这点跳起,经 2008 次 跳后它将停在的点是 A .

A .1

B .2
D .4
D. 3
y
3

C .3

6.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| ? x ? 3 的零点个数为( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 解: f ( x) ? 0 ? ln | x ? 1|? x ? 3 ,所以 f ( x) 的零点 个数即函数 y ? ln | x ? 1| 与函数 y ? x ? 3 的交 点的个数,作图可知有 3 个交点,选 D.
-4 -2

2

1

O
-1

2

4

6

x

7.若

a ? 0, a ? 1, F ( x)

是 R 上的奇函数,则 ) .

-2

G ( x) ? F ( x)(
A .奇函数

1 1 ? ) 是(B x a ?1 2

-3

-4

B .偶函数 D .奇偶性与 a 相关

C .非奇非偶函数
8 .已知定义域为 R 上的函数

f ( x)满足f (2 ? x) ? ? f (2 ? x),当x ? 2时, f ( x) 单调递增,如果
C .恒小于 0
D .可正可负

x1 ? x2 ? 4, 且 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值( C )
A .可能为 0 B .恒大于 0
二、 填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.已知 f ( x) 是定义在( ? 1 ,1 )上的偶函数,且在 ?0,1? 上为增函数,若 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 , 则实数 a 的取值范围

?

3,2 ? 2, 5

? ?

?



10.在空间直角坐标系中,已知点 A 的坐标是(1, ? 2 ,11) ,点 B 的坐标是 (4,2,3) ,点 C 的坐标是(6, ? 1 ,4) ,则三角形 ABC 的面积是

5 42 2



11 . 若 实 数

2 2 a , b 满 足 条 件 a ? b ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 , 则 代 数 式

b 的取值范围是 a?2

[0,

12 ] 5



2x 2 1 12.已知函数 f ( x) ? ,那么 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( 2008 ) ? f ( ) + 2 2 1? x
1 1 f ( ) ? ?? ? f ( ) = 4015 . 3 2008 ? 1 ? x 2 13.设集合 A ? ? x ? 2 ? 4? 和B ? x log 2 x ? ? x ? ? 2 , 其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, ? 4 ? 则A B? ▲ .

?

?

? ?

【答案】 ? 2

?

?
2

【解析】∵

1 ? 2 x ? 4 ,??2 ? x ? 2 ,?? x? 的值可取 ?2, ?1,0,1 . 4 2 2 当[x]= ?2 ,则 x ? 2 ,∴x= ? 2 ; 当[x]= ? 1 ,则 x ? 3 ,无解; 2 2 当[x]=0,则 x ? 4 ,无解. 当[x]=1,则 x ? 5 ,无解;
综上 A

B? ? 2 .

?

?

(x) ? f ( x ? 1) ? ( f 5 ? x) (x) 14. y ? f ( x) 是定义域为 R 的函数, g ,若函数 y ? g 有且仅有 4 个不同的

零点,则这 4 个零点之和为 ▲ . (x) (4-x) ?g (x) 解: g ,y?g 有对称轴 x ? 2 ,故 4 个零点和为 8.

3

三、 解答题: (共 80 分)
15、已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0,x ? (??, ? ?), 0?? ? π 在 x ? (1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的解析式;

π 时取得最大值 4. 12

(3) 若

π ? 12 ?2 f ? ? ? ? ? ,求 sin ? . 12 ? 5 ?3
2π . 3

1. 解: (1) T ?

(2)由题设可知 A ? 4 且 sin ? 3 ? 则? ?

? ?

π ? ? ? ? ? 1. 12 ?

π π π ? ? 2kπ ,得 ? ? ? 2kπ ( k ? Z ) . 4 4 2 π ∵ 0 ? ? ? π ,∴ ? ? . 4


π? ? f ( x) ? 4sin ? 3x ? ? . 4? ? π? π? 12 ?2 ? f ? ? ? ? ? 4sin ? 2? ? ? ? 4cos 2? ? , 12 ? 2? 5 ?3 ?

(3)∵

3 , 5 1 1 2 ∴ sin ? ? (1 ? cos 2? ) ? . 2 5
∴ cos 2? ? ∴ sin ?

??

5 . 5

16.、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的
蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的 维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单 位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当 为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得:

z ? 2.5x ? 4 y ,且 x, y 满足

4

? x ≥ 0,y ≥ 0, ? x ≥ 0,y ≥ 0, ?12 x ? 8 y ≥ 64, ?3 x ? 2 y ≥ 16, ? ? 即? ? ?6 x ? 6 y ≥ 42, ? x ? y ≥ 7, ? ? ?6 x ? 10 y ≥ 54. ?3 x ? 5 y ≥ 27.
0) , B(4, 3) , C (2, 5) , D(0, 8) 处的值分别是 z 在可行区域的四个顶点 A(9,

Z A ? 2.5 ? 9 ? 4 ? 0 ? 22.5 , ZB ? 2.5 ? 4 ? 4 ? 3 ? 22 ,

ZC ? 2.5 ? 2 ? 4 ? 5 ? 25 , ZD ? 2.5 ? 0 ? 4 ? 8 ? 32 .
比较之, Z B 最小.因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求. 解法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得:

z ? 2.5x ? 4 y ,且 x, y 满足

? x ≥ 0,y ≥ 0, ? x ≥ 0,y ≥ 0, ?12 x ? 8 y ≥ 64, ?3 x ? 2 y ≥ 16, ? ? 即 ? ? ?6 x ? 6 y ≥ 42, ? x ? y ≥ 7, ? ? ?6 x ? 10 y ≥ 54. ?3 x ? 5 y ≥ 27.
让目标函数表示的直线 2.5 x ? 4 y ? z 在可行

10 9 8 D 7 6 C 5 4 3 2 1 0

B

3) 处取得最小值. 域上平移,由此可知 z ? 2.5 x ? 4 y 在 B(4,

x? y ?7 3x ? 2 y ? 16 3x ? 5 y ? 27 2.5x ? 4 y ? 0

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

17、 如图 6,已知正方体 ABCD ? A 1 的中心,点 F、G 分 1B 1C1D 1 的棱长为2,点 E 是正方形 BCC1B 别是棱 C1D1 , AA 1 的中点.设点 E1 , G 1 分别是点 E、G 在平面 DCC1 D 1 内的正投影. (1)求以 E 为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值.

5

(1)解:点 A、E、G、F 在平面 DCC1D1 的投影分别为点 D、E1、G1、F ,连结 EF 、 EE1 、 EG1 、

1 1 2 ED .则 VE ? DE1FG1 ? VF ? EE1G1 ? VD ? EE1G1 ? ?1?1 ? ?1?1 ? . 3 3 3
D1 A1 M G D A B G1 F B1 E C C1

E1

(2)证明:∵点 E 在平面 DCC1D1 的正投影为点 E1 ,则 EE1 ⊥面 DCC1D1 . ∵ FG1 ? 平面 DCC1D1 ,∴ EE1 ⊥ FG1 . 在 △E1FG1 中, FG1 ?

FD12 ? G1 D12 ? 2 , E1 F ? FC12 ? E1C12 ? 2 , E1G1 ? 2 ,

∴ FE12 ? FG12 ? E1G12 ? 4 ,∴ FG1 ⊥ FE1 , ∵ FE1

EE1 于点 E1 ,∴ FG1 ⊥平面 FEE1 .

M ,连结 EM 、AM ,则 EM ∥E1G1 ,且 EM ⊥ 面 AA1D1D , (3)解:取正方形 ADD1 A 1 的中心为
∴ EM ⊥ AM . ∵ AM ?

AG2 ? MG2 ? 2 ,
2 2

? BC ? 2 AE ? AB ? ? ? ? AG ? 6,EM ? 2 2 ? ?
∴ sin ?AEM ?

AM 2 3 . ? ? AE 3 6
3 . 3

∴异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值为

6

18. (本小题 14 分)已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 2, 点 P(2, ?1) ,过 P 点作圆 C 的切线 PA, PB, A, B
2 2

为切点. (1)求 PA, PB 所在直线的方程; (2)求切线长 PA ; (3)求直线 AB 的方程. 解:①设切线的斜率为 k , 切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0, 又 C(1,2) ,半经 r ? 由点到直线的距离公式得: 2 ?

2

k ? 2 ? 2k ? 1 k 2 ? (?1) 2

,解之得: k ? 7 或 k ? ?1 .

故所求切线 PA、PB 的方程分别为: x ? y ? 1 ? 0,7 x ? y ? 15 ? 0 .……………………4 分 ②连结 AC、PC,则 AC⊥PA,在三角形 APC 中 AC ?

2 , PC ? 10,

? PA ? 10 ? 2 ? 2 2 .

……………………………………………………………8 分
2 2 2

③解法 1:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 ?x1 ? 1? ? ? y1 ? 2? ? 2, ?x2 ? 1? ? ( y2 ? 2) 2 ? 2 . 因 AC⊥AP,所以 kCA ? k AP ? ?1,?

y1 ? 2 y1 ? 1 ? ? ?1. x1 ? 1 x1 ? 2

? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 2) 2 ? 3( y1 ? 2) ? ( x1 ? 1) ? 0 . ? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 2) 2 ? 2 ,
上式化简为: x1 ? 3 y1 ? 3 ? 0 . 同理可得: x2 ? 3 y 2 ? 3 ? 0 . ………………………………………………………… 12 分 ………………………………………………………… 10 分

因为 A、B 两点的坐标都满足方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 . …………………………………………………14 分

解法 2:因为 A、B 两点在以 CP 为直经的圆上.CP 的中点坐标为( 所以以 CP 为直经的圆的方程为:

3 1 1 10 , ) ,又 CP ? 2 2 2 2

3 1 10 2 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? ( ) 即x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0 , 2 2 2
又圆 C 的一般方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 ,两式相减得直线 AB 的直线方程:

7

x ? 3y ? 3 ? 0 .

…………………………………………………………………………14 分

19、设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 2b 2 b 2

x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角 形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

y F G A F1 O 图4 B x

解: (1)由 x

2

1 ? 8( y ? b) 得 y ? x 2 ? b , 8
y F G A F1 O 图4 B x

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4,b ? 2) ,

y? ?

1 x , y? |x ? 4 ? 1 , 4

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 . 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F , 0) . 1 点的坐标为 (2 ? b

0) ,? 2 ? b ? b 即 b ? 1 . 由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b,
即椭圆和抛物线的方程分别为 (2)

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,

? 以 ?PAB 为直角的 Rt△ ABP 只有一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt△ ABP 只有一个.
若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ? x, x

? ?

1 8

2

? ? 1? , ?

A,B 两点的坐标分别为 (? 2, 0) 和 ( 2, 0) .

1 5 ?1 ? PA PB ? x ? 2 ? ? x2 ? 1? ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 . 4 ?8 ? 64
2

2

8

关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ∠ APB 为直角的 Rt△ ABP 有两个,因此抛物线上
2

存在四个点使得 △ ABP 为直角三角形.

20、设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q ,

4, …) . xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

4. 解: (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ? ? ? p , ?? ? ?q. 2 2 2 2
(2)设 xn 由 xn

? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 .

?s ? t ? p 2 ,消去 t ,得 s ? ps ? q ? 0 , ? pxn?1 ? qxn?2 得, ? ?st ? q

? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,
由题意可知, s1

? ? , s2 ? ? .

①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 的解记为 ? 或? ?st ? q ?t1 ? ? ?t2 ? ?

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ) , xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ) .


?xn ? t1,xn?1? , ?xn ? t2,xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? , s2 ? ? 的等比数列,
? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,

由等比数列性质可得 xn 两式相减,得 (?

? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 .

x2 ? p2 ? q , x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? , ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n ,
9

?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ?
②当 ? ? ? 时,即方程 x 即 (s ? t )
2 2

? n ?? n ? ??

,? xn

?

? n?1 ? ? n?1 ? ??



? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 ,

? 4st ? 0 ,得 ( s ? t )2 ? 0 ,?s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , ? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn

? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? n ,得

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

x x 2? ?x ? ? n ?1 ? n ?1 ? 数列 ? nn ? 是以 1 为公差的等差数列,? nn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? ? ? ? ?? ?

? xn ? n? n ? ? n .
? ? n ?1 ? ? n ?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ?n? n ? ? n, (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?
n

1 1 1 2 2 代入 x ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? . 4 4 2
n

?1? ?1? ? xn ? n ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

n 2 3 ?? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? ? ?? 1 ? ?1? ?1? S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? … ? n ?2? ? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ?

?1? ? ? ? 2?

n

? ? ? ?

? 1 ? ?? 1 ? ?1? ?1? ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? … ? n ?2? ? ?2? ?2? ?? 2 ?
n 2 3

n ?1? ? ? ? ? ? 2? ? ?

?1? ?1? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ?2? ? 2?

n

n ?1

?1? ?1? ? n ? ? ? 3 ? (n ? 3) ? ? . ? 2? ? 2?

n

n

10


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