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安徽省安庆一中2014届高三高考热身考试数学(理)试题


安徽省安庆一中 2014 届高三高考热身考试
数学(理)试题

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. ) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.第一象限

2?i 在复平面上所对应的点在( 1? i
C.第三象限
2

>) D.第四象限 )

B.第二象限

2.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | x ? x ? 0}, N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z } ,则 M ? N 为( A. ?0? 3.若 ( x ? B. {1} C. {0,1} D. ?

1 n ) 展开式中第32项与第72项的系数相同,那么展开式的最中间一项的系数为( x
52



A. C104
?

B. C103
?

52

C. C102

52

D. C102 )

51

4.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的( A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样 和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270;使用系统抽样时,将 学生统一随机编号 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段。如果抽得号码有下列四种情 况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样 6. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1, an?1 ? 3Sn (n ? N ? ) ,则 S 6 ? ( A. 4 4 B. 4 5
6 C. ? (4 ? 1)



1 3

5 D. ? (4 ? 1)

1 3

·1 ·

7.函数 y ? tan(

?x ?
4

? ) (0 ? x ? 4) 的图像如图所示,A 为图像与 x 轴的交点, 2
? ? ?

过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 C、B 两点,则 (OB? OC ) ? OA ? ( A.―8 8.设函数 F ( x) ? B.―4 C.4 D.8



f ( x) 是定义在 R 上的函数,其中 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足 f ?( x) ? f ( x) ex
) B. f (2) ? e 2 f (0), f (2012) ? e 2012 f (0)

对于 x ? R 恒成立,则( A. C

f (2) ? e 2 f (0), f (2012) ? e 2012 f (0)

2

f (2) ? e2 f (0), f (2012) ? e2012 f (0)
2012

D. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e

f (0)

9. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计 的结果,则图中空白框内应填入( )

P?
A.

N 1000 4N 1000

P?
B.

P?
C.

M 1000 4M 1000

P?
D.

10. 如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在原点 O 处,一顶点及中心 M 在 Y 轴正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧 组成.

今使“凸轮”沿 X 轴正向滚动前进,在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点” ,其中 心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的
·2 ·

图形按上、下放置,应大致为(



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱髙为 4,体积为 16,则这个球的表面积是_______.

? x ? y ?1 ? 12. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7, ?2 x ? y ? 2 ?


3 4 ? 的最小值为 a b

.

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,则 ?ABC 的重 13. 已知 A, B 分别是椭圆 36 9
心G 的 轨迹的方程为 14.已知函数 f ( x) ? .

x4 b 3 2 ? a 2 ? x ? x ? 2ax 在 x ? 1 处取得极值,且函数 4 3 2

g ( x) ?

x4 b 3 a ?1 2 ? x ? x ? ax 4 3 2
.

在区间 (a ? 6,2a ? 3) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为

15.如图,平面 a 与平面 ? 交于直线 l ,A,C 是平面 a 内不同的两点,B,D 是平面 ? 内不同的两点, 且 A, B. C. D 不在直线 l 上, M, N 分别是线段 AB, CD 的中点, 下列判断错误的是 ①若 AB 与 CD 相交,且直线 AC 平行于 l 时, 则直线 BD 与 l 可能平行也有可能相交 ②若 AB,CD 是异面直线时,则直线 MN 可能与 l 平行 ③若存在异于 AB,CD 的直线同时与直线 AC,MN,BD 都相交, 则 AB,CD 不可能是异面直线 y ④M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 P 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. )
·3 · O A B C

.

x

16 (本小题满分 12 分)

函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图所示, 其中点 P 为 y ? f ?( x) 的图像与 y 轴的交点, A, C 为图像与 x 轴的 两个交点, B 为图像的最低点. (1)求曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积 (2)若 AC ?

?
3

,点 P 的坐标为(0,

? ? 3 3 ),且 ? ? 0, 0 ? ? ? , 求 y ? f ( x) 在区间 [0, ] 的 3 2 2

取值范围。 17 (本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分布如下:

?
p

0

1

2

3

0.1

0.3

2a

a

(Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望; (Ⅱ)若一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。
18 (本小题满分 12 分)

如图在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2

A M P B C Q D

BD ? 2 2, M 是 AD 的中点,点 P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上
且 AQ ? 3QC (1)证明 PQ // 平面 BCD ;
0

(2)若 ?BDC ? 60 ,求二面角 C ? BM ? D 的大小。

19(本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 3 a b
两点,
·4 ·

当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

2 2

(II)若 C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立,求出所有 P 的坐 标与 l 的方程。 20(本小题满分 13 分) 在 m(m ? 2, m ? N ? ) 个不同数的排列 ( P ?, Pm )中, 若1 ? i ? j ? m时, Pi ? Pj (即前面某 1, P 2 ,? 数大于 后面某数)则称 Pi 与Pj 构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数,例如 排列 (2,40,3,1)中有逆序“2 与 1” , “40 与 3” , “40 与 1” , “3 与 1”其逆序数等于 4. (1)求(1,3,40,2)的逆序数; (2)已知 n+2 (n ? N ) 个不同数的排列 ( P 1, P 2 ,?? P n?1 , P n? 2 ) 的逆序数是 2. (ⅰ)求 ( Pn?2 , Pn?1 ,??, P2 , P 1 ) 的逆序数 an (ⅱ) 令 bn ?
?

an ? 2 an?1 ? 2 1 ? , 证明 2n ? ? b1 ? b2 ? an?1 ? 2 an ? 2 2

? bn ? 2n ?

5 3

21. (本题满分为 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax2 ? x, g ( x) ? ln x . (1)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x) ? 2 g ( x) 的极值; 2

(2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? g (ax) 恒成立?若存在,求出实数 a 的取值集合; 若不存在,请说明理由.

安庆一中 2014 届高三第四次模拟考试(数学理科)答案
·5 ·

一 DBDAD BDCDA 二 11 24? 12 7 13

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1( x ? 2且x ? 4) 14 ? ?3,1? 4

?1,3?

15 ①②③

16(1)设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则

S?

?

c

a

f ?( x)dx ? f ( x)
2?

c a

? sin(?c ? ? ) ? sin(? a ? ? ) ? 2 ………………4 分

(2) 由图知 AC ?

T ? ? ? ? ? ? ,?? ? 3 , 2 2 ? 3
3 3 ) 2
∴ 3cos ? ?

∵点 P 的坐标为(0,

3 3 ? ………………8 分 , 得? ? 2 6
……12 分

∴ f ( x) ? sin(3 x ?

?
6

)

1 ? ?? 当x ? ?0, ? 时,有 ? ? f ( x) ? 1 2 ? 3?

17 解(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2 a + a =1,解答 a =0.2

? ? 的概率分布为

?
P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 1.7
(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A 1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次, 另外一个月被投诉 0 次” ;事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 1 次” 则由事件的独立性得
1 P( A1 ) ? C2 P(? ? 2) P(? ? 0) ? 2 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.08

P( A2 ) ? [ P(? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17
18 解证明(Ⅰ)方法一如图 6 取 MD 的中点 F 且 M 是 AD 的中点

所以 AF ? 3FD 因为 P 是 BM 的中点所以 PF / / BD ; 又因为(Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD 所以 QF / / CD
·6 ·

所以面 PQF / / 面 BDC 且 PQ ? 面 PQF 所以 PQ / / 面 BDC ; …………… …6 分 方法二如图 7 所示取 BD 的中点 O 且 P 是 BM 的中点

所以 PO / /

1 MD ; 2

取 CD 的四等分点, H 使 DH ? 3CH 且 AQ ? 3QC 所以 QH / /

1 1 AD / / MD 4 2

所以 PO / /QH 得PQ / / OH 且 OH ? 面BCD 所 PQ / / 面BDC ; …………… …6 分

(Ⅱ)如图 8 所示由已知得到面 ADB ? 面 BDC ,过 C 作 CG ? BD 于 G 所以 CG ? 面BMD ,过 G 作 GH ? BM 于 H 连接 CH 所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的二面角的平面角; 又 CG ? CD sin 60 ? BD cos 60 sin 60 ?
O O O

6 2

由MD ? 1, BD ? 2 2, 得BM ? 3

又GH ? BG sin ?MBD ? BC sin 60o ?
得 tan ?CHG ?

MD 2 ? BM 2

CG = 3, ??CHG =60o …………… …12 分 GH
2 2

19 解 (I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为



c 3 |0?0?c| 2 ,? a ? 3, b ? 2 …………4 分. ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

(II)由(I)知椭圆 C 的方程为

由题意知 l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1
·7 ·

代入椭圆的方程中整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。 由韦达定理有: y1 ? y2 ? ?

4m 4 , y1 y2 ? ? ,. . . . . . . .①. . . . . . . . . .6 分. 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

.假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即 3 2
整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m ?
2

1 .. . . . . . . . . . 10 2



? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P ( , ? 或? ) , x1 ? x2 = ? 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2
………………12 分

当m ? ?

20 解: (1) 2个 ????3 分 (2)n+2 个数中任取两个数比较大小,共有 Cn +2 个大小关系
2 ? ? a n ? Cn ? 2 ? 2, n ? N ????6 分
2 2 an ? 2 an?1 ? 2 Cn Cn n ?1 n ? 3 2 2 ?2 ? ? 2 ? 2?3 ? ? ? 2? ? an?1 ? 2 an ? 2 Cn?3 Cn?2 n ? 3 n ? 1 n ?1 n ? 3
n n 2 2 2 2 2 ???10 分 ?? ? 2n ? 1 ? ? ? i ? 1 i ?1 i ? 3 3 n?2 n?3

2

(3) bn ?

? b1 ? b2 ? ??bn ? 2n ? ?
i ?1

y??

2 2 2 1 2 2 ? 单调递增 ?? ? ? ? ? ?0 n?2 n?3 3 2 n?2 n?3
·8 ·

? 2n ?

1 5 ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 2n ? 2 3

????13 分

21.(本题满分 14 分)

·9 ·


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