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福建省福州一中2015届高三数学5月质量检测试卷 文


福州一中 2015 届高考模拟考试卷 数 学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的. 1.复数

(1 ? i ) 2 等于( 1? i A. ? 1 ? i
1 2

) B. 1 ? i C. 1 ? i D. ? 1 ? i

2. 若集合 A ? { y | y ? x , 0 ? x ? 1} ,B ? { y | y ? 2 ? A.

1 , 0 ? x ? 1} ,则 A ? B 等于( x
D. {1}
开始

)

? ??,1?

B.

? 0,1?

C. ?

3. 阅读右面的程序框图,若输出的 y ? A. ?1 B. 0

1 ,则输入的 x 的值可能为 ( 2
C.

)

输入整数x

1

D. 5

x?2




4. 给出两个命题:命题 p : 不等式 0 ? ? ? ? 成立是不等式 sin ? ? 0 成立 的必要不充分条件;命题 q :函数 y ? log 2 则下列命题是真命题的是( A. p ? q
2

?

x2 ? 1 ? x 是奇函数.
输出

?

y ? sin(

? x) 6
y

y ? 2x

) C. p ? q D. p ??q
结 束

B. p ? ?q

5. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , P 为抛物线上一点,过 P 作 y 轴的垂线, 垂足为 M ,若 | PF |? 4, 则 ?PFM 的面积为( A. 3 3 B. 4 3 C. 6 ) D. 8

束束 束

6.等比数列 {an } 中 a1 ? 2 ,公比 q ? ?2 ,记 ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an (即 ? n 表示数列 {an } 的 前 n 项之积) ,则 ?8 , ?9 , ?10 , ?11 中值最大的是( A. ?8 B. ? 9
x

) D. ?11

C. ?10

7.在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下 列所给图象中可能正确的是 ( )

A

B

C

D
1

?x ? 1 ? x ? y 的最小值为 1, 8. 已知 a>0, x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 且z ?2 则 a=( ? y ? a ( x ? 3) ?
1 1 D. 4 2 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 9. 已知 ?ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 AB ? AC ? 2 AO, AB ? 3 OA ,则
A.1 B.2 C.

)

??? ? ??? ? CA ? CB 的值是 (
A. 3

)

B. 3
x ?1

C.

3 2

D. 1

10. 已知 f ( x ?1) ? x ?1 ? e 形面积为 ( A. )

, 则函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线 l 与坐标轴围成的三角

1 C. 1 D. 2 2 ? ? 11. 已知 f ( x) ? sin(2015 x ? ) ? cos(2015 x ? ) 的最大值为 A , 若存在实数 x1 , x2 ,使得 6 3
B. 对任意实数 x 总有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 A x1 ? x2 的最小值为 ( A. )

1 4

? 2015

B.

2? 2015

C.

4? 2015

D.

? 4030

12.对于函数 f ( x) ,若存在区间 A ? [m,n] ,使得 ?y | y ? f ( x),x ? A? ? A ,则称函 数 f ( x) 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ( x) 的一个“可等域区间” .下列函数中存在 唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ? 2 x - 1
2

)
x

C. f ( x) ? 2 ? 1

D. f ( x ) ? sin(

? x) 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,把答案填在题中的横线上. 13.已知实数 m, n 满足 m ? n ? 0, m ? n ? ?1, 则 为 .
2 主视图 2 左视图

1 1 ? 的最大值 m n

2

2

14. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为半径为 2 的 四分之一个圆弧,则该几何体的体积为 .

15.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” :

俯视图

2

?13 ?7 ? 3 ?3 3? 3 ?15 2 ? ,3 ?9 , 4 ? ,... 仿此,若m3 的“分裂”数中有一个是73 , 则 m 的值为 ________ . ?5 ?11 ?17 ? ? ?19
16. 巳知函数 f '( x), g '( x) 分别是二次函数 f ( x) 和三次函数 g ( x) 的导函数, 它们在同一坐标系内的图象如右图所示. ① 若 f (1) ? 1 ,则 f (?1) ? . .(用“ ? ” 连

②设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h(?1), h(0), h(1) 的大小关系为 接)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

2015 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽
车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽 取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速 (km/t)分成六段: [60, 65), [65, 70), [70, 75), [75,80), [80,85),

[85,90) 后得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅱ) 若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆, 求车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率.
D1 C1 O1 A1 B1

18.(本小题满分 12 分) 已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,点 O1 为 B1D1 的中点. (Ⅰ)求证: AB1 // 平面 AO 1 1D ; (Ⅱ)若 AB ?

2 AA1 ,试问在线段 BB1 上是否存在点 E , 3

D

C

使得 AC ? AE ,若存在求出 1 19. (本小题满分 12 分)

BE ,若不存 在,说明理由. BB1

A

B

? ? d , (1 ? n ? 15), ? * 已知数列 ?an ? (n ? N ,1 ? n ? 46), 满足 a1 ? a, an ?1 ? an ? ? 1, (16 ? n ? 30), ?1 ? , (31 ? n ? 45), ?d
其中 d ? 0, n ? N .
*

3

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (Ⅱ)设集合 M ? ?b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N*,1 ? i ? j ? k ? 16 } 若 a ? 求证: 2 ? M . 20. (本小题满分 12 分)

1 1 ,d ? , 3 4

y
X B C

x2 y2 ? 1(m ? 0) ,如图所示, 在平面直角 已知椭圆 C 的方程为 2 ? m 4m 2
坐标系 xoy 中, ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1, 0), B(0, 2), C (1, 2) (Ⅰ)当椭圆 C 与直线 AB 相切时,求 m 的值; (Ⅱ)若椭圆 C 与 ?ABC 三边无公共点,求 m 的取值范围;

O

A

x
X

(Ⅲ)若椭圆 C 与 ?ABC 三边相交于不同的两点 M,N,求 ?OMN 的面积 S 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 如图,摩天轮的半径 OA 为 50m ,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长 度为 240m 的景观带 MN ,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM ? 60m .点 P 从最低 点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处,记 ?AOP ? ? ,? ? (0, ? ). (Ⅰ)当 ? ?

2? 时,求点 P 距地面的高度 PQ ; 3

B O ? A

P

(Ⅱ)设 y ? tan ?MPN , 写出用 ? 表示 y 的函数 关系式,并求 y 的最大值. 22.(本小题满分 14 分)

Q M

N

2 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0), g ( x) ? ln x, f ( x ) 的图象在其与 x 轴的交点 M (a,0) 处

的切线为 l 1 , g ( x) 的图象在其与 x 轴的交点处的切线为 l 2 , 且 l 1 , l 2 斜率相等. (Ⅰ)求 f (3) 的值; (Ⅱ)已知实数 t ? R , 求函数 y ? f ? xg ( x) ? t ? , x ??1, e? 的最小值; (Ⅲ)令 F ( x) ? g ( x) ? g ( x), 给定 x 1 , x 2 ? (1, ??), x 1 ? x 2 , 对于两个大于 1的正数 ?, ?,
'

存在实数 m 满足: ? ? mx 1 ? (1 ? m) x 2 , ? ? (1 ? m) x 1 ? mx 2 , 并且使得不等式

4

F (?) ? F (?) ? F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

福州一中 2015 届高考模拟考答案 数 1~12 ABCC ABDD DABB 13. ?4 学(文科) 14 . 8 ? 2 π 15 . 9 16. ①1 ;

② h(0) ? h(1) ? h(?1) 17.解: (Ⅰ)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ?5 ? 0.04 ?5 ? 0.06 ?( x ?75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 (Ⅱ)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) 设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a , b ,车速在 [65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f ,则所有基本 事件有:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )
其中车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的事件有: 共 15 种

(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ) 共 8 种
所以,车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率为 P ?

8 . 15

18. 解: (Ⅰ)证明:连结 AD1 交 A1D 于点 G ,所以 G 为 AD1 的中点,连结 O1G

? 在 ? AB1D1 中, O1 为 B1D1 的中点 ?O1G // AB1 ? O1G ? 面 AO 1 1 D 且 AB 1 ? 面 AO 1 1 D ? AB 1 // 面 AO 1 1D
(Ⅱ)若在线段 BB1 上存在点 E 得 AC ? AE ,连结 A1 B 交 AE 于点 M 1

? BC ? 面 ABB1 A1 且 AE ? 面 ABB1 A1 ? BC ? AE

5

? AE ? 面 A1 BC 又? AC 1 BC 1 ? BC ? C 且 AC 1 , BC ? 面 A

? A1B ? 面 A1 BC ? AE ? A1B
在 ?AMB 和 ?ABE 中有: ?BAM ? ?ABM ? 90?, ?BAM ? ?BEA ? 90?

??ABM ? ?BEA 同理: ?BAE ? ?AA1B

? Rt?ABE ? Rt?A1 AB
? AB ?

?

BE AB ? AB AA1

2 2 4 BE 4 AA1 ? BE ? AB ? BB1 即在线段 BB1 上存在点 E 有 ? 3 3 9 BB1 9

19. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15( d ? ) . d
因为 d ? 0 , d ?
1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 ,所以 a46 ? (??, ?14] ? [46, ??) . d d

1 n ?1 i ? j ?k ?3 (Ⅱ)由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4

令1?

i ? j ?k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 .因为 i, j, k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 4

所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2 ? M . 20. 解: (Ⅰ)直线 AB 的方程: y ? ?2 x ? 2

? y ? ?2 x ? 2 ? 联立 ? x 2 消去 y 得 y2 ? ? 1 ? 2 ? m 4m 2
2 由 ? ? 4 ? 8(1 ? m ) ? 0 得 m ?
2

2 x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0

1 2

又m ? 0

?m ?

2 2

(Ⅱ)由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或 ?ABC 在椭圆内时,两者便无公共点 ①当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时

? ? 4 ? 8(1 ? m2 ) ? 0 解得 0 ? m ?

2 2

②当且当点 C (1, 2) 在椭圆内时, ?ABC 在椭圆内

?

1 4 ? ? 1 又 m ? 0 ?m ? 2 2 m 4m 2

6

综上所述,当 0 ? m

2 或 m ? 2 时,椭圆与 C 无公共点 2

(3)由(2)可知当

2 ? m ? 2 时,椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点 M , N 2
2

又因为当 m ? 1 时,椭圆 C 方程为 x ?

y2 ? 1,此时椭圆恰好过点 A, B 4

? ①当

2 ? m ? 1 时, M , N 在线段 A, B 上,此时 S ? S?ABC ? 1 2

当且仅当 M , N 分别与 A, B 重合时等号成立 ②当 1 ? m ?

2 时,点 M , N 分别在线段 BC, AC 上易得 M ( m2 ?1, 2) ,

N (1,2 m2 ?1) ? S ? S矩形OACB ? S?OBM ? S?OAN ? S?MNC
1 ? 2 ? m 2 ? 1 ? m 2 ? 1 ? (1 ? m 2 ? 1)(2 ? 2 m 2 ? 1) 2

? 2 ? 2 m2 ? 1 ? (1 ? m2 ? 1)2

令 t ? m2 ?1

则0 ? t ?1

? S ? ?t 2 ? 1 ? 1

综上可得 ?OMN 面积 S 的最大值为 1 21. 解: (Ⅰ)由题意,得 PQ=50-50cos? . 2? 2? 从而,当? = 时,PQ=50-50cos =75.即点 P 距地面的高度为 75m. 3 3 (Ⅱ)由题意,得 AQ=50sin? ,从而 MQ=60-50sin? ,NQ=300-50sin? . 又 PQ=50-50cos? , 所以 tan?NPQ= =

NQ 6-sin? MQ 6-5sin? ,tan?MPQ= = . PQ 1-cos? PQ 5-5cos?

tan?NPQ-tan?MPQ 从而 y=tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ)= 1+tan?NPQ?tan?MPQ 6-sin? 6-5sin? - 1-cos? 5-5cos? 12(1-cos?) = = . 6-sin? 6-5sin? 23-18sin?-5cos? 1+ × 1-cos? 5-5cos? 12(1-cos?) 12×18(sin?+cos?-1) 令 g(? )= ,? ∈(0,π ),则 g?(?)= 2 23-18sin?-5cos? (23-18sin?-5cos?) 由 g?(?)=0,得 sin? +cos? -1=0,解得? = ? . 2

? ? 当? ∈(0, )时,g?(? )>0,g(? )为增函数;当? ∈( ,?)时,g?(? )<0,g(? )为 2 2 减函数,
7

所以,当? =

? ? 时,g(? )有极大值,也为最大值.即当? = 时,y 取得最大值. 2 2

22. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? a, g ( x) ?
' '

1 , N (1, 0) x

∴ a ? 1, f ( x) ? x2 ? x,? f (3) ? 6 , (Ⅱ) y ? f ? xg ( x) ? t ? ? ( x ln x ? t ) 2 ? ( x ln x ? t )

?0 ? u ? e 令 u ? x ln x, , 在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0, ∴ u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增,
又 y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ? ①当 u ?

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, y min ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ? e 即t ? ②当 u ? 时, y min ? e 2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 1 ?e即 ? t ? 时, y min ? ? ③当 0 ? 2 2 2 4 1 1 x ? 1 ' ? 0 , 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. (Ⅲ) F ( x) ? ? 2 ? x x x2
∴当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx 1 ? (1 ? m) x 2 ? mx 1 ? (1 ? m) x 1 ? x 1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
得 ?? ( x 1 , x 2 ) ,同理 ?? ( x 1 , x 2 ) , ∴ 由 F ( x) 的单调性知 0 ? F ( x 1 ) ? F (?), F (?) ? F ( x 2 ) 从而有 F (?) ? F (?) ? F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) ,符合题设. ②当 m ? 0 时, ? ? mx 1 ? (1 ? m) x 2 ? mx 2 ? (1 ? m) x 2 ? x 2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 F ( x) 的单调性知 0 ? F (?) ? F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) ? F (?) , ∴ F (?) ? F (?) ? F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x 1 , ? ? x 2 , 得 F (?) ? F (?) ? F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) ,与题设不符.
8

∴综合①、②、③得 m ? (0,1)

9


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