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面对高考从初高中衔接视角理解初中数学教学


从初高中衔接视角理解初中数学教学
厦门市教育科学研究院基础教育教研室 肖 鸣
一、函数 1. 定位 与高中学习直接衔接的、联系最紧密的知识.可以这么说:初中学的有关函数的知识、技能,所掌握 的相关的解题方法、能力是高中学习的直接基础. 2. 主要内容及教学要求 (1)函数的概念 问题 1:找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的共同点. 表达函数的概念的工具一致:图象、列表、解析式. 问题 2:找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的两个不同点. 要求:一个不同点的要求是高中有,初中没有. 集合、对应. 一个不同点的要求是:用高中的“函数的概念”容易解释,用初中的“函数的概念”不易解释,但是 这种现象在初中出现. x=2 是函数, 二次函数的对称轴,从直线的角度理解. 问题 3:如何理解“变量”“自变量”“因变量”. 、 、 不要刻意强调“变量”——否则就不意解释 x=2 是函数; 重点理解“自变量”“因变量”之间的关系是:互相依赖,密切相关. 、 问题 4:在初中阶段学习“函数的概念”的重点是什么? 表达函数的概念的工具; 问题 5: “函数的概念”初高中的衔接点是什么? 表达函数的概念的工具; 自变量的取值; 函数值的取值; (2)函数的图象 看:坐标轴(单位) ;是什么线、图象的趋势;特殊点(起点、端点、交点、最高点、最低点、与坐 标轴的交点) ;自变量的取值范围. 例 1: (厦门 09 中考第 7 题)药品研究所开发一种抗菌新药.经过多年的动物实验之后,首次用于临 床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克/毫升)与服药后时间 x(时)之间的函数关系如 图 2 所示.则当 1 ≤x≤6 时,y 的取值范围是 8 64 A. ≤y≤ 3 11 8 C. ≤y≤8 3 B. 64 ≤y≤8 11

D. 8≤y≤16

[答题情况] 本题满分人数 9691 人,满分率 40.33%,零分人数 14341 人,零分率为 59.67%;难度为 0.4033 学生.选择 A 的有 39.90%,选择 B 的有 11.26%,选择 D 的有 8.09%. [评析] 本题改编自华师大版八下 P57 第 4 题.以实际问题为背景, 考查学生能否用一次函数的图象 解决实际问题的能力. 其实质是考查学生能否将图形信息转换成用符号表达的能力.由于有 39.90%的 学生选择 A,说明这部分学生没有理解决定 y 的取值范围的是“最低点”和“最高点”.

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画:—最终目的是画草图.对解题有帮助. 例 2: (09 厦门中考(第 20(1)题 已知:△ABC 中,AB=AC. (1)设△ABC 的周长为 7,BC=y,AB=x(2≤x≤3).写出 y 关于 x 的函数关系式,并在直角坐 标系中画出此函数的图象; 本题难度系数是 0.5625,满分率是 20.39%,零分率是 24.48%; 直角坐标系画得不规范,如:不会选择正方向,单位长度不标准; 线段画成直线. (3) 待定系数法 一种求未知数的方法.一般用法是,设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用两个多项 式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到待求的值.从更广泛的 意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数, 使问题得到解决的方法. 也可以这么说,待定系数法一种常用的数学方法.对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种 确定的形式, 则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果, 通过已知条件建立起给定的算式和结果之 间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数. 使用待定系数法解题的一般步骤是: 确定所求问题含待定系数的解析式; 根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程; 解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决. 解方程或消去待定系数有两种常见的方式给定的特殊点,自选符合条件的特殊点. 解方程(两种类型) 例 3: 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2-bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) 、B(5,0)两点.求 抛物线的解析式. 例 4: 若点 D(x1,y1) 、E(x2,y2) 、在抛物线 y=x2-x+c 上,且 D、E 两点关于坐标原点成中 心对称,求直线 DE 的解析式. 消去待定系数—高中常见. (4)配方法 一元二次方程、二次函数 (5)性质——重点 一次函数、反比例函数、二次函数 从整体到局部性 三种语言表述: “函数图象从左到右上升”——直观 “当 k>0 时, y 随 x 的增大而增大”——描述 “k>0,x1<x2,y1<y2”——抽象.高中不是这样描述,初中阶段,好生可以这样要求. 例 5: (厦门八下市质检卷)已知一次函数与反比例函数的图象交于点 P(-1,-2) ,Q(2,m). (1)求这两个函数的解析式; (2)当 x>3 时,试比较一次函数的值与反比例函数的值的大小,并说明理由. 本题是改编题,改编自教材 P53.5.第(1)题是简单计算题,考查学生“用待定系数法求解析式的 技能” .本题的难度系数是 0.54,满分率 23.02%,零分率 38.89%.在设一次函数与反比例函数解析式 时,有 19.04%的学生没有写不同的参数,而是均设为 k,在表达上显得含混不清. 第(2)题是代数说 理题, 考查学生借助函数的图象 “运用函数的性质、 不等传递的意义解决比较函数值大小的问题的能力” . 本题的难度系数是 0.25,满分率 3.18%,零分率 69.04%.有 21.31%的学生只写出一次函数(反比例函
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数)的性质,而没有把两者的性质结合起来考虑. (6)解析式、方程、不等式之间的关系 作用:理解函数、运用性质、熟悉工具. 关系:解析式为主,由解析式想方程、想不等式. 注意点:方程、不等式不一定是标准式. 3.教学注意点 (1) “自变量”“因变量”与不一定就是“x”、 ,与字母无关. 、 “y” 例 6: (厦门 09 卷 16 题) 已知 ab=2.(1)若-3≤b≤-1,则 a 的取值范围是 ; [评析]本题难度系数是 0.3698,即满分率为 36.98%,零分率为 63.02%.不知此为函数问题,字母不 2 是“x”、 ;部分学生写的是-2≤x≤- . “y” 3 (2)关于用实际问题引入一次函数的概念. 华师大版问题: ● 教材用问题 1 和问题 2 引入,而问题 1 和问题 2 的自变量的取值范围是有限制的,把问题 1 和 问题 2 作为引例,是否会让学生以为一次函数的自变量的取值范围是有限制的. ● 教材写 s=570-95t 和 y=kx+b 的形式不符. 解决的方式:实际问题引入会涉及求自变量的取值范围,在用实际问题作为引例时,一定要有自 变量的取值是不受限制的的例子. (3)理解一次函数解析式中 k、b 的重要性. ● k、b 是如何来的——通过探究采用归纳概括的方式,学生会记得更深. ● k、b 的几何意义. ● k、b 的常数性.及参数性. (4)关于函数综合题. ● 函数综合题常见类型 1 2 例 7:如图,抛物线 y ? x ? mx ? n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,四边形 OBHC 2 为矩形,CH 的延长线交抛物线于点 D(5,2) ,连结 BC、AD. (1)求 C 点的坐标及抛物线的解析式; (2)将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90° 再沿 x 轴对折得到△BEF(点 C 与点 E 对应) 后 ,判断 点 E 是否落在抛物线上,并说明理由; (3) 设过点 E 的直线交 AB 边于点 P, 交 CD 边于点 Q. 问是否存在点 P, 使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积为 1∶3 两部分?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

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例 8 如图, 已知直线 l1 的解析式为 y ? 3x ? 6 直线 l1 与 x 轴、 轴分别相交于 A、 两点, y B 直线 l 2 经 过 B、C 两点,点 C 的坐标为(8,0) ,又已知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动,点 Q 在直线 l 2 从点 C 向点 B 移动.点 P、Q 同时出发, 且移动的速度都为每秒 1 个单位长度, 设移动时间为 t 秒 1 ? t ? 10 ) ( . (1)求直线 l 2 的解析式; (2)设△PCQ 的面积为 S,请求出 S 关于 t 的函数关系式. (3)试探究:当 t 为何值时,△PCQ 为等腰三角形?

例 9 已知二次函数 y=x2-x+c. (1)若点 A(-1,n) 、B(2,2n-1)在二次函数 y=x2-x+c 的图象上,求此二次函数的最小值; (2)若点 D(x1,y1) 、E(x2,y2) 、P(m,m) (m>0)在抛物线 y=x2-x+c 上,且 D、E 两点关 3 于坐标原点成中心对称,连结 PO,当 2 2≤PO≤ 2+2 时,试判断直线 DE 与抛物线 y=x2-x+c+ 8 的 交点个数,并说明理由. ● 这些试题中与函数内容相关性 例 7(1)求解析式; (2)点与解析式的关系; (3)无. 例 8(1)求解析式; (2)用几何的知识通过化归,得出函数关系式; (3)无. 例 9(1)点与解析式的关系、求解析式、求二次函数最小值; (2)求解析式、二次函数性质. 例 7、8 的第(3)问的结构是“函数的皮,几何的魂” ,行“函数之名,考几何之实”. ●分清类型,把握解题方向. 二、分类思想 1.定位 ● 三大基本思想之一; ● 可以用纸笔方式直接测试; ● 大规模考试必测的内容. 2. 分类思想解题的思维过程分析 在运用分类的思想进行解题时, 其思维过程通常可以分为: 第一, 要明确是否需要分类讨论; 第二, 确定分类的对象;第三,确定分类的标准;第四,逐类逐级分类讨论;第五,综合、归纳结论. 第一 明确是否需要分类讨论 运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因.即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决.大 多数的学生在面对一个数学问题时, 不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题, 即无法根 据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系.因此,从所给的问题情境中, 正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的,是解决问题的基础,一般地说,当我们 研究的问题是下列几种的情形时,可以考虑使用分类的思想方法来解决问题. ● 涉及到分类定义的概念. 有些概念是分类定义的,如有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等,当我 们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法. 例 10:等腰三角形的周长为 16,其中一条边的长为 6,求另两条边的长. 有些概念在下定义时,对所考虑的对象的范围进行了限制,如分式、一元二次方程的概念等,当解

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题过程中需要突破这些限制时,就必须考虑使用分类讨论的方法. 例 11:解关于 x 的方程(a-1)x2-2ax+a=0 ● 直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则. 《数学课程标准》的要求,直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的有: 有理数的大小比较法则;有理数的加法、乘法、除法、乘方法则;有理数乘法运算律之际的符号与 因数的符号的关系;添括号、去括号法则;方程两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,方程的解不 变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个正(负)数,不等号的方向不(改)变;一元二次方程的求 根公式;一元二次方程根的判别式;直线与圆的位置关系(交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离 的数量大小比较) ;两圆的位置关系( (交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较) ;一 次函数的性质;反比例函数的性质;二次函数的性质等. 当我们应用一元二次方程根的判别式,直线与圆的位置关系(交点的个数多少、半径与圆心到直线 的距离的数量大小比较)两圆的位置关系(交点的个数多少、 , ( 两圆半径的和与圆心距的数量大小比较) , 这些性质解题时,可以考虑使用分类讨论的方法. 当我们应用其他受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时,如果在解决问题 时需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制时可以考虑使用分类讨论的方法. 例 12: 函数 y=kx+3 (-1≤x≤1,且 k≠0)的图象上的点都在 x 轴的上方,则 k 的取值范围是 . ● 进行某些有限制的运算. 在解题时,遇到除法、开偶次方、含有绝对值符号等运算时,应该考虑使用分类讨论的方法. ● 在计算、推理过程中,遇到数量大小不确定. 在计算、推理过程中,往往会遇到同一个已知条件具有不同的取值(在取值范围内) ,且由于取值 的不同,导致了不同的结果的出现.遇到这种情况,可以考虑使用分类的方法解决问题. 例 13:为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛,在同等的条件下,教练给甲、乙两名同学 安排了一次射击测验, 每人打 10 发子弹,下面是甲、乙两人各自的射击情况记录(其中乙的情况记录 表上射中 9、10 环的子弹数被墨水污染看不清楚,但是教练记得乙射中 9、10 环的子弹数均不为 0 发): 甲: 乙:

① 求甲同学在这次测验中平均每次射中的环数; ② 根据这次测验的情况,如果你是教练,你认为选谁参加比赛比较合适,并说明理由(结果保留 到小数点后第 1 位).

?x+y=4-2k 例 14:已知方程组? 的解满足 x>0,且 k 为整数. ?x-y=2
① 求 k 的取值范围; ② 若 n 是正整数,试比较代数式 2n4+2k2-kn4-4k 的值与 0 的大小. ● 在计算、推理过程中,遇到图形的位置和形状不确定. 有些题目, 由于条件无法确定图形的位置和形状, 且由于图形的位置和形状不确定影响了结论或推 理的方式.这时,可以考虑使用分类的方法. 例 15:甲、乙两人分别从赵庄、张庄出发步行到李庄.甲从赵庄到李庄需 2 小时,乙从张庄到李庄 需 2.5 小时.已知赵庄到李庄的距离比张庄到李庄远 2 千米,每行 1 千米甲比乙少花 5 分钟.
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① 求赵庄到李庄的距离; ② 设赵庄到李庄、张庄到李庄、赵庄到张庄这三条道路均为直的,若甲以同样的速度从赵庄走到 张庄.求甲所需的时间 t 的取值范围. 例 16:已知直线 y = 5 15 x+ 与直线 y = kx-3 交于点 C ,若点 C 在第一象限,且点 C 到 x 轴 8 8

的距离与到 y 轴的距离相等. ① 求 k 的值; ② 设直线 y = 5 15 x+ 与 x 轴的交点为 A,直线 y = kx-3 与 y 轴的交点为 B,若以原点 O 为 8 8

圆心,半径为 r 的⊙O 与△ABC 有且只有两个交点,试说明 r 的取值情况. 第二 确定分类对象 分类的对象是什么,有些问题比较明显,如涉及到分类定义的概念的问题,直接运用了分类研究 的定理、性质、公式、法则的问题,某些有限制运算的问题.在这些问题中,分类的对象通常可以用数 学的符号加以表达.如例 11 的分类对象是“二次项的系数(a-1) . ” 有些问题则比较隐蔽,需要认真分析.例 15 的分类对象是“赵庄、李庄、张庄三点的位置” . 第三 确定分类标准 分类的对象确定以后,就要确定分类的标准,根据这个标准将问题划分成几个相对确定的能用不 同形式去解决的小问题.因此确定恰当的分类标准是用分类思想方法解题的关键.在这个环节,应注意: (1)分类时,同一级的分类标准要统一,而且标准应当是科学的,合理的,即要满足互斥,无漏的 要求. (2)如果分类对象是基本的概念,已学的定理、性质、公式、法则,某些有限制的运算,要联系已 有的知识,确定分类的标准. (3) 如果遇到的问题是数量大小不确定而需要用分类的方法解决的问题.首先一定要明确数量的取值 范围,然后根据具体的情况再确定分类的标准. 例 17:小明与他的爸爸一起做投篮球游戏,两人商量规则为:小明投中 1 个球得 3 分,小明爸爸投 中 1 个球得 1 分.结果两人一共得了 20 分. ① 若两人一共投中 12 个球,则他们两人各投中几个球? ② 若小明爸爸的得分比小明少,则他们两人各投中几个球? 第 ②小题 分析:由于条件只说明“小明爸爸的得分比小明少” ,对于不同的得分情况,就有不同 的结果.因此如果能够求出小明爸爸的得分范围,就可以求出各种结果. 解:根据题意,得 3x+y=20,3x>y, 解得 3<x≤6 (x 是整数). ∴ 当 x=4 时,y=8;x=5 时,y=3;x=6 时,y=2. 当小明投中 4 个球,小明爸爸投中 8 个球;当小明投中 5 个球,小明爸爸投中 3 个球;当小明投中 6 个球,小明爸爸投中 2 个球. (4)如果遇到图形的位置不确定而需要用分类的方法解决的问题.首先要明白是什么因素影响了图 形的位置,然后根据不同的图形位置来确定分类的标准. 第四 逐类逐级分类讨论 在明确分类的对象,确定了分类的标准后,可以对分类的对象进行逐类逐级的讨论.由于已经将一 个复杂的问题分解成若干个较为简单的问题, 这时一定要明确每个讨论问题的已知条件是什么, 要求的 问题是什么.对于要逐级讨论的问题,更要如此. 在讨论时,同类的几种情况可能都成立、可能都不成立、可能成立可能不成立. 第五 综合、归纳结论 逐类逐级分类讨论后,应该对这些较为简单的问题的结论进行综合、归纳,积零为整,进而解决

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全局的问题. 3.考点分析 从思维过程的分析得出,用纸笔测试的方式可以测试的是第三,确定分类的标准;第四,逐类逐级 分类讨论;第五,综合、归纳结论.重点是第三、四. ● 只测试如何确定分类的标准的试题. 例 18: (厦门 03 卷)已知点 A(3,3) B(1,1) , ,C(9,1) ,D(5,3) ,E(-1,-9) ,F(-2, 1 - ). 2 (1) 请将上述的 6 个点按下列的要求分成两类,并写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征.请 将答案按下列要求写在横线上:特征不能用否定的形式表示,点用字母表示) ; ............ ① 甲类含两个点,乙类含其余四个点.甲类: 点 乙类: 点 , , , , 是同一类点,其特征是 . .

是同一类点,其特征是

② 甲类含三个点,乙类含其余三个点. 甲类: 点 , , 是同一类点,其特征是 乙类: 点 , , 是同一类点,其特征是 例 19: (厦门市八上质检卷) (1)用“<”或“>”填空; 4 4; 1 100 1 ; 6.25 100 6.25; 2+ 2 . .

2+ 2; π-3

π-3;

(2)在(1)的条件下,在请你将上述的 5 个不等式分成两类,并说明每类不等式的特征. 测量的目标是以确定事物分类的标准作为载体,考查学生观察、分析、抽象、概括思维方式. ● 三、 四、五都测. 如例 16、09 泉州卷 26 题. 4.教学建议 平时的渗透与专题的训练相结合.尤其是在课堂教学中一定不要忽略教材的资源. 如:七(上)P28 化简: 1 (1)-(+3)(2)+(- )(3)+(+2.81)(4)-(-20) ; ; ; ; 2 目的是为了得到相反数化简的规律:正正得正,正负得负. 设计一个教学活动,培养分类思想. 三、几何 几何是改革的一个焦点. 1.几何的教育功能 几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力.这两种能力对于学生思维的发展和 对数学本质的理解都是非常重要的. 几何是“图”“文”并茂的内容,它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来.几何思想主 要体现在几何直观能力,即把握图形的能力.几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形 语言来思考问题的能力.借助几何这个载体, 可以培养学生的逻辑推理能力.但仅仅把几何作为培养形式 推理能力载体的认识是片面的. 2.高中的要求 必修:立体几何初步、平面解析几何初步(高考).

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选修 1、2:圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何(高考). 选修 4:几何证明选讲. 课标要求: ●了解平行截割定理,证明直角三角形射影定理. ●证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. ● 证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理. 3.初中几何的基本脉络 实验稿:空间与图形 图形的认识;图形与变换;图形与坐标;图形与证明. 修订稿:图形与几何 图形的性质;图形的变化;图形与坐标. 图形的认识、证明统一到图形的性质. 解决课改初期反映的“学生演绎推理能力下降”问题; 4.初高中衔接 图形的性质—立体几何初步; 图形与坐标—平面解析几何初步; 图形变换—空间想象力、直观洞察力; 选修 4“几何证明选讲”单独说明. ● 图形的性质 载体—多边形; 主要内容:演绎推理;体系之间的关系;化归思想. ● 图形的变化 作为知识:空间想象力、直观洞察力. 严谨性:图形的变化是有要求的,规则的.不是随意的. 例如“图形的旋转” 通用性:性质在几何图形的表述;在坐标系中的表述. 例如:轴对称、中心对称的点坐标如何表述. 作为方法:几何的通性通法; 从变换的角度看几何图形,能有更概括的的认识; 作为研究的方法,较迅速发现图形性质和关系; 提高空间观念和合情推理的能力. ● 图形与坐标 图形:直线型、封闭的图形.

In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and

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steel

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