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港澳台侨联考补习班模拟题


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绝密★启用前 2011 年中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题 数
命制:


姓名: 成绩:

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本试卷共 10 页,本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟.

题号



二 21 22

三 23 24 25

总分

考生注意:这份试卷共三个大题,满分为 150 分.所有考生做第一、二题,在第三(21、22、23)题中



任选两题;报考理工农医类的考生做第三(24,25)题,报考文史类的考生做第三(26、27)题.





中 北
得 分 评卷人 填在题后括号内. 北京博飞教育中心

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出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母

yw .

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给



(A) 第一象限 2. 已知 cos θ =
(A)
10 10

(B) 第二象限

ww

1. 在复平面内,复数 (1 + 3i ) 2 对应的点位于

w. p

(C) 第三象限

co m



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(D) 第四象限
【 】

4 θ , θ ∈ (π , 2π ) ,则 sin = 2 5 (B) ?
10 10 (C) ± 10 10 (D) ± 10 5
【 】

3.已知无穷等比数列 {an } 的各项和为

1 且 a1 > 1 ,则首项 a1 的取值范围 a1 (C)(1,2) (D)(1, 2 )

第 1 页(共 10 页)

(A)(1,+∞)

(B)(1,4)



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4.若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为

(A) 30°

(B) 60°

(C) 120°

(D) 150°
【 】

5. 极坐标方程 ρ 2 cos 2θ ? 2 ρ cos θ = 1 表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线
【 】

6. 若函数 y = cos(2ωx + ) (ω > 0) 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ,则 ω = 2 3 1 (A) (B)1 (C)2 (D)4 2
【 】

π

π

? x + y ? 2 ≥ 0, ? 7.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y + 2 ≥ 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ≤ 2 ?



(A) 4 2

(B)4

(C) 2 2



(D)2
【 】


2





(A)x=±

ku z

15 y 2

(B) y=±

15 x 2

(C) x=±

3 y 4

co m

x y x2 y2 8.若椭圆 2 + 2 = 1 和双曲线 ? 2 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 2 3m 5n 2m 3n




2

(D)y=±

3 x 4
【 】



9. 若函数 y = e x ? 1 的图像按向量 a = 1, ) ( 1 平移后, f ( x) 的图像关于直线 x ? y = 0 对称, 与
则函数 f ( x) =北京博飞教育中心
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(A) ln x + 1

(B) ln( x + 1)

ww

(C) ln x ? 1

w. p

(D) ln( x ? 1)
【 】

10. 设数列 {a n }满足a1 + 2a 2 + 2 2 a3 + (A) an = 1 2n (B) an = 1 2n ?1

+ 2 n ?1 a n =

n (n ∈ N * ) ,通项公式是 2 1 1 (C) an = n (D) an = n +1 2 2

yw .





( 0) 11. 已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x 2 + y 2 = 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是

( 2 ( (A) ? 2 2, 2) (B) ? 2,2) (C) ? (

2 2 1 1 , ) (D) ? , ) ( 4 4 8 8


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2 3, 9 12. 从 1,, , 这九个数字中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数成等差数列的概率是 4 4 5 3 (B) (C) (D) (A) 63 21 42 42 【 】

得 分

评卷人

二、填空题:本大题共 8 小题;每小题 4 分,共 32 分.把答案填在 题中横线上. 北京博飞教育中心
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13. 已知不等式 ax 2 + 6 x + c > 0 的解集为 {x | 2 < x < 4} ,则不等式 cx 2 + 6 x + a < 0 的解集


14. 5 名志愿者安排在周一至周五值日,每人一天,若甲不能排在星期一,乙不能排在星期五,

则所有不同的排法种数为

. (用数字作答)





所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为

19. 平面 2 x + y ? 2 z ? 5 = 0 与 4 x + 2 y ? 4 z + 5 = 0 内任意两点间的最短距离是 20. 双曲线 4 x 2 ? 9 y 2 = ?1 的焦点坐标为_________________.
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18. 把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四点

w. p

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yw .

1 1 17. 已知函数 f ( x ) = x 3 ? ax 2 + x在x > 0 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围 3 2



co m









16. 在 ΔABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA + PB + PC = AB ,则 ΔPBC 与 ΔABC 的面积之比





15. 若 f ( x ) = x3 + 6 x 2 + 11x + a 与 g ( x ) = x 3 + 7 x 2 + 14 x + 8 的最大公因式是二次式,则 a =



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三.解答题:在第 21、22、23 题三个题目中任选两题做答.在第 24、23、26、27 这四个题目 中按考生报考专业的类别完成两题. 北京博飞教育中心 得 分 评卷人 (21) (本题满分 14 分)
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已知函数 L( x) =

2 ln x , 1)求 L( x) 的最大值以及对应的 x 值. ( x

(2)利用函数图象讨论关于 x 的方程: 2 ln x = 2 x 3 ? 4ex 2 + tx 根的个数.
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得 分

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22. (本题满分14分)
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如图,正三棱柱 ABC— A1 B1C1 的底面边长为 a,点 M 在边 BC 上,△AMC1 是以点 M 为 直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求证:点 M 为边 BC 的中点;(2) 求二面角 M-AC1-C 的大小.

A1 B1

C1



A B









M

C





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得 分

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23. (本题满分14分)
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已知 3sin 2 α + 2sin 2 β = sin α + 2 ,求 sin 2 α + sin 2 β 的取值范围.







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24. (本题满分 15 分,文史类考生不做)
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如图,已知抛物线 x 2 = 2 px ( p > 0 ) 和直线 y = b ( b < 0 ) ,点 P ( t , b ) 在直线 y = b 上移动, 过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,线段 AB 的中点为 M . (1)求点 M 的轨迹; (2)求线段 AB 长的最小值; (3)求证直线 PM 的倾斜角为定值,并求 lim
t →∞

AB 的最值. PM







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25. (本题满分 15 分,文史类考生不做)

已知 p ≠ 0 ,数列 {an } 满足: a1 = 2, an +1 = pan + 1 ? p ( n ∈ N * ) , 1)求数列 {an } 的通项公式; ( (2)设 bn = 2 ? q n ?1 ( n ∈ N * ) ,若 0 < p, q < 1 且满足 p 2 n ? 2 + q 2 n ? 2 ≤ 1 ,求当 n ≥ 2 时所有点 (an , bn ) 所构成图形的面积;北京博飞教育中心 (3)当 p > 1 时,证明:
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a n a1 a2 n +1 < + + ... + n < (n ∈ N * ). p a2 a3 an +1 p







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26. (本题满分 15 分,理工类类考生不做)

如图,已知抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0 ) 和直线 y = b ( b < 0 ) ,点 P ( t , b ) 在直线 y = b 上移动,过 点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,线段 AB 的中点为 M . (1)设 A( x1 ,

1 2 1 2 x1 ), B ( x2 , x2 ) ,分别用 x1 , x2 表示切线 PA, PB 的斜率 k PA , k PB ; 2p 2p

(2)证明 x1 , x2 为方程 x 2 ? 2tx + 2 pb = 0 的两根,并求线段 AB 长的最小值; (3)求证直线 PM 的倾斜角为定值,并求 PM 长的最小值.







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27. (本题满分 15 分,理工类类考生不做)

已知 p ≠ 0 ,数列 {an } 满足: a1 = 2, an +1 = pan + 1 ? p (n ∈ N * ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn = 2 ? q n ?1 ( n ∈ N * ) ,若 0 < p, q < 1 且满足 p 2 n ? 2 + q 2 n ? 2 ≤ 1 时,求证点 (an , bn ) ( n ≥ 2 )在 圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 1 内;北京博飞教育中心 (3)当 p = 2 时,证明:
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a n a1 a2 n +1 < + + ... + n < ( n ∈ N * ). an +1 2 a2 a3 2







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