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复变函数与积分变换试卷3


班级______________姓名_________________ 学号_______________ O…………O…………O…………O 装…………O 订…………O 线…………O…………O…………O……

绍兴文理学院二○○

学年第

学期

年级 试卷(A3)
六 总 分 评卷人

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专业

《复变函数与积分变换》期
题 号 (型) 得 分 一、填空(10 个空格,每空 2 分,共 10 ? 2=20 分) 1:已知虚数 z 3 ? 8 ,则 z 3 ? z 2 ? 2z ? 2 ? 3: Lnz ? lnz ? 。 。 一 二 三 四 五

核分人

。 。

2:如果函数 f (z ) 在 z 0 及其邻域内处处可导,则称 f (z ) 在 z 0

4:如果函数 f (z ) 在单连通域 B 内处处解析,那么函数 f (z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为 5:一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,即 f (z 0 ) ? 6:解析函数的虚部是实部的
?



调和函数。 。

7:如果级数 ? c n z n 在 z ? z 0 ( ? 0 )收敛,则对满足 z ? z 0 的 z,级数必
n ?0

8:如果在 z 0 的去心邻域内 f (z ) 的洛朗级数只有 (z ? z 0 ) 的有限多个负幂项,则孤立奇点 z 0 称为 f (z ) 的 。 *9:称 f ' (z 0 ) ? 0 的辐角 argf ' (z 0 ) 为曲线 C 经过 ? ? f (z) 映射后在 z 0 处的 10:若 ?[f (t )] ? F(s) ,则 ?[e at f ( t )] ?
3 ? 2i ?( 2 ? 3i





二、选择(5 小题,每小题 4 分,共 5 ? 4=20 分) 1: )

A: ? i ; B:i; C: ? 1; D: 13 i。 2:函数 f (z) ? u(x, y) ? iv (x, y) 满足柯西—黎曼方程是指( A:
?u ?v ?u ?v ?u ?v ?u ?v ; B: ? , ? ? ; ? , ? ?x ?y ?y ?x ?x ?y ?y ?x
?u ?v ?u ?v ?u ?v ?u ?v ;D: ? ? , ? ? 。 ?? , ? ?x ?y ?y ?x ?x ?y ?y ?x



C:

3:设函数 f (z ) 在区域 D 内解析,且 f (z ) 不是常数,则在 D 内( ) A: f (z ) 能取到最大值;B: f (z ) 是常数;C: f (z ) 没有最大值;D: f (z ) 无界。 4: ? ( ?
n ?1 ?

1 n

i ) 是( 2n

)级数。

A:绝对收敛;B:条件收敛;C:不确定;D:发散。 5:函数 f (t ) ? e at 的拉氏变换为( A: )

1 1 1 1 ;B: 2 2 ;C: ;D: 。 s ?a s s?a s?a
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班级______________姓名_________________ 学号_______________ O…………O…………O…………O 装…………O 订…………O 线…………O…………O…………O…… 三、计算(5 小题,每小题 6 分,共 5 ? 6=30 分) 1: ? zdz ,其中 C 是从点 1 到 i 的直线段。
C

2:计算积分 ? sinzdz ,其中 C 是圆周 z ? 1 ? 1 的上半周,走向从 0 到 2 。
C

3:计算

z ?2

?

dz 。 z(2z ? 1)

4: u ( t ) 是单位阶跃函数,求 u(t )sinbt 的傅氏变换。 5:利用拉氏变换的性质,求 f (t ) ? (t ? 1) 2 e t 的拉氏变换。 四、证明(1 小题,共 10 分) 设 f (z ) 在区域 D 内解析, 为 D 内任一条正向简单闭曲线, C 证明对在 D 内, 但不在 C 上的任一点 z 0 , 下面等式成立:

?

f ' (z) f (z) dz ? ? dz Cz?z C (z ? z ) 2 0 0

五、解答(2 小题,每小题 10 分,共 2 ? 10=20 分) 1:证明 u(x, y) ? 2x ? x 3 ? 3xy 2 是调和函数,并求出它的共轭调和函数。

2:将 f (z) ?

1 分别在1 ? z ? ? 和 0 ? z ? 1 ? 1 中展开为洛朗级数。 z (1 ? z)
2

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