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三角函数的诱导公式复习教案


三角函数的诱导公式 一、回顾

1.(必修4P20练习2改编)计算:tan 2 010° =

3 3

.

? 52π ? ?? 2.(必修4P19例1改编)计算:cos ? 3 ? =

-

1 2

.

3.(必修4P20练习3改编)化简:sin2(π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1=

2

.

? π? 1 ? 2π ? ?? - ? ? -? ? 6 ? ? ? 3 4.(必修4P21例4改编)若cos =- ,则sin ? 3
的值为

-

1 3

.

?π ? π? ? ? 5π ? ? -x ? x ? ? x ? ? ? ? 3 ? 2 6 ? =a,那么sin ? 6 ? -sin ? 5.(必修4P23习题17改编)已知sin ? +1=

a+a 2

.

二、讲解与分析
1.诱导公式
-α sin( ) cos( ) tan( ) -sin α cos α -tan α π-α sin α -cos α -tan α π+α -sin α -cos α tan α 2π-α -sin α cos α -tan α

? 2 -α
cos α sin α /

? 2 +α
cos α -sin α /

3? 2 -α
-cos α -sin α /

3? 2 +α
-cos α sin α /

诱导公式的规律可概括为十个字:奇变偶不变,符号看象限.

2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)把求任意角的三角函数值转化为求0° ~360° 角的三角函数值; (2)把求0° ~360° 角的三角函数值转化为求0° ~90° 角的三角函数值; (3)求0° ~90° 角的三角函数值.

例1

1 3π (1)已知cos(π+α)=- 2 ,且 2 <α<2π,求sin(2π-α)的值;

3sin(π ? ? ) ? cos(-? ) (2)已知 4sin(-? )-cos(9π ? ? ) =2,求tan α的值.

(1)

3 2

(2)

1 5

【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时,一要注意函数名是否改变, 二要注意符号是否改变.

例2

?π ? sin ? -? ? cos(2 π-? )tan(-? ? 3π) ?2 ? ?π ? tan(π ? ? )sin ? ? ? ? ?2 ? 已知f(α)= .

(1)化简f(α);

? 3π ? 1 ?? - ? 2 ? = 5 ,求f(α)的值. (2)若α是第三象限的角,且cos ?

(1)-cos A (2)
2 6 5

【精要点评】重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.变角: 对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式: 对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明 问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再 选择适当的三角公式恒等变形.

变式

?π ? sin ? -? ? cos(π ? ? ) ?2 ? ? 3π ? sin ? ? ? ? ? 2 ? (2014· 湖南联考)设α是第三象限角,且tan α=2,则 =

-

1 5 5

.

含相同变量的复合角与诱导公式的运用
例3
1 已知cos(75° +α)= 3 ,且α是第三象限角,求cos(15° -α)+sin(α-15° )的值.

?

1? 2 2 3

?π ? ? 2π ? ?? ? ? -? ? ? ?= 变式1 已知sin ? 6 ? =a,那么cos ? 3

-a .

? 5π ? π? 1 ? ? 7π ? ? -x ? ? x? ?x? ? ? 6 ? 6 ? = 3 ,求sin ? 6 ? +cos2 ? 变式2 已知sin ? 的值.

5 9

? 3π ? ? ? ? ? ,3 ? 例4 已知sin(3π-α)= 2 cos ? 2 cos(-α)=- 2 cos(π+β),0<α<π,
0<β<π,求α,β的值.

ππ 3 4

【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围,再结合三角函数值的大小完成.

? 5π ? 1 ? ?? ? ? = 5 ,那么cosα= 1.已知sin ? 2

1 5

.

?π ? 1 ?π ? ? -? ? ? ?? ? ?= 2.若sin ? 6 ? =- 3 ,则cos ? 3

1 -3

.

?π ? ? 5π ? 3 ? -? ? ? ?? ? ?= 3.(2015· 金陵中学)已知tan ? 6 ? = 3 ,则tan ? 6
cos(2 π-? ) ? sin(π ? ? ) ?π ? 1 sin ? ? ? ? ? tan(3π-? ) ?2 ? 4.若cos α= 3 ,则 =

-

3 3

.

.

5.在△ABC中,若sin(2π+A)= 2 sin(π-B), 3 cos A=- 2 cos(π-B),求△ABC的三个 内角.

三、课后作业

一、填空题 1.计算:sin 210° = .

10π 2.计算:cos 3 =

.

? 23π ? ?? 3.计算:tan ? 6 ? =

.

π? 1 ? ? π ? 0? ?? ? ? ?- , 2 ? = 3 ,且α∈ ? 2 ? ,则tanα= 4.若sin ?

.

5.若cos(-80° )=k,则tan 100° =

.

π? 1 7π ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 12 ? = 3 ,那么cos ? 12 ? 的值为 6.已知sin ?

.

sin(kπ ? ? ) cos(kπ ? ? ) 7.已知A= sin? + cos? (k∈Z),那么A的值构成的集合为

.

1 8.若sin(π-α)-cos(-α)= 2 ,则sin3(π+α)+cos3(2π-α)的值为

.

二、解答题

sin(kπ-? ) ? cos[(k -1)π-? ] 9.化简: sin[(k ? 1)π-? ] ? cos(kπ ? ? ) (k∈Z).

sin(π-? )cos(π ? ? ) 10.已知函数f(α)= cos(2π-? )tan(π-? ) .

? 31π ? ?? (1)求f ? 3 ? 的值; ?π ? sin? ? cos? ? ?? ? 2 ? ,求 sin? -cos? +cos2α的值. (2)若2f(π+α)=f ?

?π ? ? 5π ? π 3 ? -? ? ? ?? ? ? -sin2(α- 6 )的值. 11.已知cos ? 6 ? = 3 ,求cos ? 6



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