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2014届高考数学一轮复习 第14讲《导数的概念及运算》热点针对训练 理


第三单元 导数及其应用 第14讲 导数的概念及运算
1.下列求导运算正确的是( B ) 1 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 B.(log2x)′= x x xln 2 x x 2 C.(3 )′=3 log3e D.(x cos x)′=-2xsin x 1 1 x x 解析:(x+ )′=1- 2;(3 )′=3 ·ln 3;

x


x

(x cos x)′=(x )′·cos x+x ·(cos x)′ 2 =2xcos x-x sin x, 所以 A、C、D 错.故选 B. f? x0+h? -f? x0-h? 2.若 f′(x0)=3,则lim 等于( B ) h→0

2

2

2

h

A.3 B.6 C.9 D.12 f? x0+h? -f? x0-h? 解析:lim h→0

h f? x0+h? -f? x0? -[f? x0-h? -f? x0? ] =lim h→0 h f? x0+h? -f? x0? f? x0-h? -f? x0? =lim +lim h→0 h→0 h -h =f′(x0)+f′(x0)=6,选 B. 2 3.(2012·山东省日照市 12 月)设函数 f(x)=x -6x,则 f(x)在 x=0 处的切线斜率
为( D ) A.0 B.-1 C.3 D.-6 解析:f(x)在 x=0 处的切线斜率为 f′(0)=(2x-6)|x=0=-6. 4.已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象大致形状是( B )

解析:设二次函数 y=ax +b(a<0,b>0),则 y′=2ax,又因为 a<0,故选 B. 5.(2012·安徽皖南联考)曲线 f(x)=sin x 的切线的倾斜角 α 的取值范围是 [0, π 3π ]∪[ ,π ) . 4 4
1

2

解析:f′(x )=cos x,而 cos x∈[-1,1],即-1≤tan α ≤1,又 α ∈[0,π ),由 π 3π 正切函数图象得 α ∈[0, ]∪[ ,π ) . 4 4

6.(2012·广东省揭阳段考)如图, 直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线, f′(4) 则 1 . 2 解析: 由图象知 l 过点(0,3)、 (4,5), 因此可以求出切 线 l 在点(4,5)处的斜率, f′(4) 5-3 1 = = . 4-0 2 2 7.(2012·广东省汕头市质量测评)设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y -6=0 平行,则 a= 1 . 2 解析:由 y′=2ax,又点(1,a)在曲线 y=ax 上, 依题意得 k=y′|x=1=2a=2,解得 a=1. n+1 * 8.设曲线 y=x (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, an=lg xn, 令 试求 a1+a2+…+a99 的值. n 解析:因为 y′=(n+1)x ,故 y′|x=1=n+1, 所以切线方程为 y-1=(n+1)(x -1). = 令 y=0 ,则 xn= ,所以 an=lg . n+1 n+1 1 2 99 1 所以 a1+a2+…+a99=lg +lg +…+lg =lg =-2. 2 3 100 100 3 9.已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1 ,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x) 相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 3 2 解析:(1)由 f(x)=x -3x,得 f′( x)=3x -3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, 所以所求直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f( x)切于另一点(x0,y0), 2 则 f′(x0)=3x0-3, 又直线 l 过(x0,y0),P(1,-2), y0-? -2? x3-3x0+2 0 故其斜率可表示为 = , x0-1 x0-1 x3-3x0+2 0 2 所以 =3x0-3, x0-1 3 2 即 x0-3x0+2=3( x0-1)·(x0-1), 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 1 9 故所求直线的斜率为 k=3×( -1)=- , 4 4 9 所以直线方程为 y-(-2)=- (x-1) , 4 即 9x+4y-1=0.

n

n

2


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