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高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议


一、立体几何在近几年高考中分布
? 近几年客观题重点在于三视图面积或体积计算及 简单判断,难度中等稍多(如2016等出在第6题), 但有时也比较靠后(如2014出在第12题),解答 题位居第2,3题的位置,包含推理证明及计算,证 明主要是平行和垂直关系,利用平行证明共面 (2008四川)、证异面直线(2009辽宁)比较少, 全国1卷近几年还没出过,理科计算以求角居多, 文科计算比较多考体积或点面距离。 ? 注意,现在文科也考求角了,如今年第11题

各年考点及位置
? 2016:6三视图,体积面积,11,异面直线所成角, (理)18证面面垂直,计算二面角,五面体, (文)18证中点,体积,三棱锥 ? 2015:6体积,11三视图,面积,(理)18证面面 垂直,计算异面直线所成角,线面(文)18证面 面垂直,计算体积,四棱锥 ? 2014:12三视图,棱长,(理)19证相等,计算 二面角,三棱柱(文)19证线线垂直,计算棱柱 高,三棱柱

? 2013:6体积,相接,8三视图,体积,(理)18 证线线垂直,计算线面角,三棱柱(文)19证线 线垂直,计算体积,三棱柱 ? 2012:7三视图,体积,11与球相接,体积,(理) 19证线线垂直,计算二面角,三棱柱(文)19证 面面垂直,计算体积,三棱柱 ? 2011:6三视图,判断,15与球相接,体积,(理) 18证线线垂直,计算二面角,四棱锥(文)18证 线线垂直,计算棱锥高,四棱锥 ? 2010:10与球相接,面积,14三视图,判断, (理)18证线线垂直,计算线面角,四棱锥(文) 18证面面垂直,计算体积,四棱锥

二、对教材重点内容的处理建议
1. 对三视图的教学建议 三视图是年年都考的内容,由三视图还 原直观图是解题的第一步,也是很关键的 一步,有些年份容易,有些年份难,这部 分内容初中也学过一下,不要以为学生都 会,掉以轻心。 三视图还原直观图,可以考虑以一些简 单的几何体为原形,从三个方向切割的方 法确定,三个图形从简到繁构图。如

(2016广州二测) (10)如图,网格纸上的小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某几何体的三视图,则该 几何体的体积是 (A) 4 + 6? (B) 8 + 6? (C) 4 + 12? (D) 8 + 12?

我们按正视图 → 侧视图 → 俯视图的顺 序切割 切割是红色部分,切割后的几何体是蓝 色部分,分别是从前到后切,从左到右切, 从上到下切(本题可以省略)

(2014全国1理) 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实 线画出的是某多面体的三视图,则该多面 体的各条棱中,最长的棱的长度为 (A) 6 (B) 4 (C) 6 (D) 4

我们按俯视图 → 侧视图 → 正视图的顺 序切割 切割是红色部分,切割后的几何体是蓝 色部分,分别是从上到下切,从左到右切, 从前到后切(两次,有一次是斜切,先切 大的三角形,再修整出小三角形)

2.对平行、垂直关系的教学建议
(1) 平行关系 证明平行关系,线线平行是基础,要熟 悉平面几何证明两线平行的相关定理,如 中位线定理,平行四边形性质定理,对于 立体几何的相关性质,也要熟悉。

课本55页例1为思维比较简单,证明中点的连 线就是该三角形中位线 例1.求证:空间四边形相邻两边中点的连线 平行于经过另外两边所在的平面。 已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、 AD的中点。 求证:EF∥平面 BCD

思维提高一个层次,就需要构造三角 形,确定其中位线。如55页练习2,这是 比较典型的证明平行的例子
练习2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 为 DD1 的中点,试判断 BD1 与平面 AEC 的位置 关系,并说明理由.

注意中位线的找法,要证明或判断线面平行的 线段为三角形底边(BD1) ,条件中存在中点的 线段为三角形的另一条边(DD1) ,由刚才两条 边可构成三角形(△BD1D) ,就可看到要寻找 的平行线(恰为要证明的平面外线段 BD1 的中 位线 EF) D1 C1 D1 C1 A1 E B1 A1 E B1 D C D F C A B A B

课本的例题练习还缺其它一些题型, 需要补充
? 构造平行四边形寻找平行关系
如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, M、 N 分别是 BC 和 A1B1 的中点,求证:MN∥平面 AA1C1C A A B M C B M

C

A1 N B1 C1 B1 N

A1

P

C1

? 利用线面平行的性质寻找平行关系
如图,在以 A、B、C、D、E、F 为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形,求证:CD∥EF D F A C E B

(2) 垂直关系 证明垂直关系,线线垂直是基础,要熟悉平面 几何证明两线垂直的相关定理,如勾股定理,等 腰三角形三线合一性质(67页练习1)。 立体几何中除平行关系保持角度不变外,只能 用线面垂直定义了(如果不准用三垂线定理) 用线面垂直定义证明垂直关系: 如果要证明直线 a、b 垂直, 就要证明直线 a 与过直线 b 的一个平面垂直 或者证明直线 b 与过直线 a 的一个平面垂直

课本第65页例1证明线面垂直,其中证明 两直线垂直只用了平行关系转移,没有给 出利用线面垂直定义的典型例子,要通过 66页探究,第67页练习1及补充例题给予说 明。 例1.如图,已知 a∥b,a⊥?,求证:b⊥?

补充例题

如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证: (1) AA1⊥BD D1 C1 (2) A1C⊥BD A1 D A B B1 C

分析: (1) 有现成过 BD 与 AA1 垂直的平面 ABCD, 也 容易证明 AA1⊥平面 ABCD (2) 考虑寻找过 A1C 的平面与 BD 垂直, 或过 BD 的 平面与 A1C 垂直 与 A1C、BD 的垂直关系中,A1C 的比较难找、BD 的 比较多, 如 AC、 AA1、 BB1 等, D1 C1 能 和 A1C 构 成 平 面 的 是 B1 AC 、 AA1 ,这样就可找到过 A1 A1C 且 与 BD 垂 直 的 平 面 ACC1A1. D C A B

3.角的计算教学建议
必修2立体几何涉及的角有异面直线所成角、 线面所成角、二面角,分布在2.1节空间点、直 线、平面之间位置关系及2.3直线与平面垂直的 判定与性质两节当中。二面角计算没有出现在 例题中,只在习题中给出。虽然现在解答题角 的计算以空间向量为主,但作角求解与向量计 算求解各有千秋,文科没有空间向量部分的内 容,现在异面直线所成角已经出现在选择题中, 所以,学习空间中角的计算还是必需的。 空间中角的计算一般要完成三步,一作二证 三算。

(1) 异面直线所成角
作角:在空间中找一点(一般优先考虑两线 段的端点或中点),作两直线的平行线 (如果点已在一直线上,则只需作另一直 线的平行线) 作平行线要考虑作出来三角形是否可以 求角,如果没有学习必修4,则要避免解斜 三角形问题。

课本47页例3 例3.如图2.1-20,已知正方体ABCD- A’B’C’D’ (1) 哪些棱所在的直线与直线BA’成异面直 线? (2) 直线 BA’ 和 CC’ 的夹角是多少? (3) 哪些棱所在的直线与直线AA’ 垂直?

如 (2) 优先考虑过 B、A’ 作 CC’ 的平行 线,或过 C、C’ 作 BA’ 的平行线,当然, 过 B、A’ 作 CC’ 的平行线比较简单,就是 BB’ 或 AA’ 本题可以增加求直线 BA’ 和 B’C 的夹角 是多少?(60? )

(2) 线面所成角
作角:考虑斜线段在平面外的端点作平面的 垂线,一般考虑在两个互相垂直的平面上 作垂线。 也可利用体积求点面距离,确定所求角 的对边长度,结合斜线段的长即可求线面 所成角的正弦。

如课本66页例2 例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

作角过程:先要寻找过 B 点与平面 A1B1CD 垂直的平面,恰为侧面BCC1B1,在平面 BCC1B1 内作两平面交线 B1C 的垂线 BO, 则 O 为 B 在平面 A1B1CD 内的射影,连结 A1O,则∠BA1O 即为直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角。

本题还可利用体积求点B到平面A1B1CD距离, 不需作角而求解。
设点 B 到平面 A1B1CD 距离为 d,正方体棱长为 a 由 VB-B1CD = VB1-BCD 1 1 1 1 ? d· B1C·CD = BB1· BC·CD 3 2 3 2 BB1·BC 2 ?d= = a B1C 2 A1B = 2 a 设直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 ? 2 a 2 d 1 则 sin ? = = = ? ? = 30? A 1B 2 2 a

补充例题(本题垂面需要自己作出来)

已 知 长 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,AB = AD,AA1 = 2AB,求 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值.

D1 A1 B1

C1

D A B

C

先要寻找过 C 点与平面 BDC1 垂直的平面,这个 平面为平面 ACC1A1,在平面 ACC1A1 内作两平面交线 C1O 的垂线 CE ,则 E 为 C D1 C1 在平面 BDC1 内的射影,连结 B1 DE, 则∠CDE 即为直线 CD 与 A1 平面 BDC1 所成的角。 本题也可利用体积求点 C 到平面 BDC1 距离,不需作角而 求解。 D E C O A B

(3) 二面角
必修2对二面角的求解要求不高,虽然给出二 面角、二面角的平面角的概念,但课本没有设置 例题,二面角的问题只出现在习题中,涉及到的 题型与方法有,二面角平面角直接出现在几何体 中(习题2.3A组第7题)、直接作二面角的平面角 (习题2.3A组第4题)、二垂一连作二面角的平面 角(复习参考题A组第7题)。二垂一连作法中平 面的垂线是关键,要能引导学生发现或作出该垂 线。建议一般学校不宜过度推广、求全。 课本有关二面角的题目如下:

习题2.3A组(73页) 4.如图,三棱锥 V-ABC 中,VA = VB = AC = BC = 2, AB = 2 3 , VC = 1, 试画出二面角 V-AB-C 的 平面角,并求它的度数. (可作出二面角的平面角:取 AB 中点 M,连 VM、 CM,可证∠VMC 即为所有二面角的平面角) V

C A M B

7.如图,正方体 ABCD-A’B’C’D’ 中,平面ABC’D’ 与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是 多少? (可证明某个角就是二面角的平面角,如平面 ABC’D’ 与平面ABCD 所成二面角的平面角为 ∠C’BC,注意,如果考虑是半平面的话,还需加 上其补角 )

复习参考题 A组(78页)
7.如图,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的 等腰三角形,试画出二面角 V-AB-C 的平面角,并 求它的度数. (用射影作角,二垂一连,默认是正四棱锥及其性质)

补充练习
1.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA ⊥平面 ABCD,PA = AB = 2,E 为 BC 中点 (1) 求二面角 P-DE-A 大小的正切; (2) 求二面角 E-PD-A 大小的正切。 P

A B E C

D

2.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB = 1, AC = AA1 = 3 ,∠ABC = 60?. (1) 证明:AB⊥A1C (2) 求二面角 A-A1C-B 的余弦值。 A1 B1 C1

A B C

三、教材中值得探讨的问题
课本18页例3 例3.如图1.2-13,已知几何体的三视图,用 斜二测画法画出它的直观图。 (应该是正等测?)


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