当前位置:首页 >> 数学 >>

柯西不等式习题[1]


新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题库大全

一、二维形式的柯西不等式 2 2 2 2 ()( bd a d ), R ? .) ? ?a , b (2c c ac 当且仅 ? ) ? , (d , ? bc b ad 时 , 等号 二、二维形式的柯西不等式的变式

, , , b ad ? bc .) 时 , 等号成 ( a 2 cd

aca d当且仅当 12 b 2 2 ) ? ? ???(, ? bdcR

, , , b ad ? bc .) 时 , 等号成 ( a 2 cd ac a d当且仅当 22b 2 2 ) ? ? ? ?? (, ? bdcR

2 ()( bd 3d )( ac 0 ad a?) c ? b c ?, , ? ) ( (d a 当且仅 , ? b , ? bc 时 , 等号 .)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

? ? ? ? ?

? ? . ( 当且仅当 是零向 , 或存在 k 时 ,? 使 k , 等号 .)

? ?

借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2,并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等 式了。 基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证: (2)重新安排某些项的次序:
2 2 2 9 ? ? ? a b c a? ? ? ? ?c b c a b

ax2bx2? 2 ? )( ax1 x 例 2: a 、 b 为非负数, a + b =1, x , x2 ?R 求证: ( 1 bx ? ) x 1 1
?

(3)改变结构: 例 3、若 a > b > c (4)添项:
a b c 3 ? ? ? ? , 例 4: a,b c?R 求证: bc ca ab 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??1 b 6 ,2 【1】、设 a ( 2, ), ? ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。 ? ? ?? ? ? ?? 18a 18 答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a?b ? a b ∴ a ?b ?18 ∴? ? ?b? ? ? ? ? ?2 ( ?? a 4 , ) a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ? , 24 ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为 【解】 ? ? ? ? ∵ a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴ a . b ? x ? 2z

求证:

1 1 4 ? ? ab bc ac ? ? ?



由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? ? ? ? ? ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5
1

? ? ? ? ? a?( ,2 ) , b?(x y, z),已知 b ? 56 ,则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 1 ,3 , 【3】空间二向量 ? b ??

Ans:(1) 28:(2) (2,4,6)
4 93 6 abc ) 【4】设 a、b、c 为正数,求 ( ??( ?? ) 的最小值。Ans:121 ab c

【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5.14 ? 70 ∴ x ? 2y ? 3z 最大值为
2 2

70 【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为
2 2 2 2 2

时,(x,y,z) ?

解(x ? 2y ? 2z) ? (x ? y ? z )[1 ? ( ? 2) ? 2 ] ? 4.9 ? 36 x yz ? 6 ? 2 ?? 2 ? ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时 1 2 ? () 2 3 2 2 ?2 ? ? 2? 2 ∴ x?
?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3
2 2 2

y z 2 ,试求 x?2y?2z的最大值 M 与最小值 m。 【7】设 x, y, z ?R, x ? ? ? 5
? ; m? Ans: M 15 ? 15

, zR y z 25 y ,x 【8】、设 x, ? ???,试求 x?2y?2z 的最大值与最小值。
2 2 2

答:根据柯西不等式
2 2 2 ( 2? ? 2]( z 1 y )1) 2 ? ) ? ? 2 [( ? y x ? 2? x ? ? z ? 2 22

x2 2 9 y z ? 即 ( ? ? ) ? 25
2

15 2 2 15 x y z 而有 ? ?? ? ?

z 故 x?2y?2 的最大值为 15,最小值为–15。 , zR ? z ,试求 x2 ?y2 ?z2之最小值。 y , x ?? 【9】、设 x, ?2 y2 6 答案:考虑以下两组向量 ? ? 2 2 ?? ? ? u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 ( ?v2? ?v ,就有 u ) u

[(? ?1) ? 即 2 yz 2 ) 2 y x (] ?(](z ? ?2 2 2 ? ) [(? 222 1 2 )2 ? ? x? ) 2 2 2 2 ( ?2 ? ? z 将 2 ? ? z? 代入其中,得 36( 2?2?2 而有 2y z 9 y ) x y 2 6 x? ) ( x ? ? x y z) 9
2 x ? 2? 2 ? 故 x2 ?y2 ?z2之最小值为 4。 y z 4
2 2 2 x y 2 6 【10】设 x, y, z ?R, 2 ? ? z? ,求 x ?y ?z 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之值。

424 ?x z ( ? 4,,) ; ? Ans: m( y ?, , ) 333

【11】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 考虑以下两组向量 ? u =( , , ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, )
? , v =(

,

,

2 2 ? ?2 ? ? u ) u ) ( ?v ? ?v

2

[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2 2

(? 9) 2 9

?9

2 2 2 ( ?) z 【12】设 x, y, z ? R,若 2 x ? 3 y ? z ? 3 ,则 x ?y 1 ? 之最小值为________,又此时 y ? ________。

解: 2 x ? 3 y ? z ? 3 ? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( 考虑以下两组向量 ? ? u =( , , ) , v =( , ,

), )

36 18 2 2 x 2 21 y x 2? ?2 ( 2 ?[ ? (?3 x z y ] 最小值 y ][] 3 2 1 1 ?2 ) ) 2)? ? ) z 2 ? 3 ?2 z 解析: [ ? ? ( ? (?∴ 14 7 x z y ? 1 ? ? 2z 2 t )3 ? ?, 2 ? t , x ?) 3 ? ?1 3 y ? (3 t 3? ? t( ?? 2 1 ? 3 3 2 ∴t ? ∴y ? ? 7 7 4 9 16 【13】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 ? ? u =( , , ) , v =( , , ) 2 3 4 2 4 9 16 2 2 ?? ? ? ( ? a ? b ? c ? ( ? ? )(a ? b ? c) ? ? ) ( ?v2? ?v u ) u a b c a b c 4 9 16 ? ( ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ? ? ? ?9 a b c 9

1 2 3 【14】、设 a, b, c 均为正数,且 a ? 2b ? 3c ? 2 ,则 ? ? 之最小值为________,此时 a b c a ? ________。

解:考虑以下两组向量 ? u =( , , 2 2 ?? ? ? ( ?v2? ?v u ) u

)

? , v =(

,

,

)

1 2 3 2 [( )3 ) ) ) ? a 2 c 2 2 2 2 )2 ) ? ( ][( (? b 2 ? (? ( 3 (] ? ?2 1 ) a b c
? ? 等号发生于 u // v 故

1 2 3 18 ∴( ? ? )? ,最小值为 18 a b c

a 1 a

?

2 b 2 b

?

3 c 3 c

∴a ? b ? c

又 a ? 2b ? 3c ? 2 ∴a ?

1 3

? 【15】. 设空间向量 a 的方向为?,?,?,0 ? ?,?,? ? ?,csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最小值 为 。
3

解∵ sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 由柯西不等式 ∴ (sin2? ? sin2? ? sin2?)[ (

12 32 52 2 ) ? ) ( ) sinsinsin ? 3 ? 5) ? ( ?? ?] ? (1
81 81 ∴ 故最小值为 2 2

2(csc2? ? 9csc2? ? 25csc2?) ? 81

∴ csc2? ? 9csc2? ? 25csc2? ?

? 【16】. 空间中一向量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴正向之夹角依次为?,?,?(?,?,? 均非象限角), 1 4 9 ? 2 ? 2 的最小值。 求 sinsinsin 2 ? ? ?
解 : 由柯西不等式

【注】本题亦可求 tan2? ? 9 tan2? ? 25tan2? 与 cot2? ? 9cot2? ? 25cot2? 之最小值,请自行练习。

1 2 3 2 2 2 2 2 2 [( ) ? ?](sin () () ?? ? sin sin ) sin sin sin 1 2 3 2 ( ? ? ? ?? ) sin sin sin sin sin sin

? ? ??? ?
∴ 2(

? ?? ? ? ?

1 4 9 ?)2 2 2 21 ()2( ? ( ? )](sin ? )2 sin 3 ?? sin ?) ( 2 ? 2 sin sin sin
∵ sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2

? ? ?? ? ?
? ? ?

1 4 9 1 4 9 ?2 ?2) 36 2 ? ? )18 ?? ( ? 2 2 2 sin sin sin sin sin sin

? ? ?



1 4 9 ? 2 ? 2 的最小值 ? 18 2 sinsinsin ? ? ?

9 2 5 1 6 ? 【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 ? , ? , ? ,求 s 2 ?n ? 2 的最小值。 2 i ?s ? s ? n i i n

答 72 利用柯西不等式解之 2 2 x ) ( 2 z 4 3x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3x ? y ? 2 z 发生 1 y ) 2 ,则 【18】、设 x, y, z ? R,若 (? ?? ? ? 最小值时, x ? ? 2 2 2 2 2 2 2 答案: [( x ? 1) ? ( y ? 2) ? z ][3 ? ( ?1) ? ( ?2) ] ? (3 x ? 3 ? y ? 2 ? 2 z )
4(14) ? ( 3x ? y ? 2 z ? 5) 2 ? 2 14 ? 3 x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 5 ? 2 14 ? 3 x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 x1 y 2 z ? ? ? ? ? 3( 3t ? 1) ? ( ?t ? 2) ? 2( ?2t) ? 5 ? 2 14 t x ? 52 又 ? z 若 3 y 2?? 14 ∴ 3 ? ? 1 2 14 3 14 ? ? 1 ∴t ? ? ∴x? 7 7

【19】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角是多 少度? x 2? 0 ?2 1 1 1 1 ?2 ? ? y z? 【解】 ? ? x:y:z = : : = 3:5:7 3? ?z 0 1 ?2 ?2 3 3 1 ?x y 2 ? 设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? =

(k ? k ? k 32 ( ) ( ) ) 52 7 2 1 = ? ,∴ = 120?? ? 2 2k5 ( )() 3 k
4

2 2 2 ( 1( 2( 3 x) y ) z ) ? ? ? ? ? ? x ? y ? z 之最大值,最小值。 1 【20】. 设 x,y,z ? R 且 ,求 16 5 4 Ans 最大值 7;最小值 ? 3

【解】
2 2 2 (1( 2(3 x) y ) z ) ? ? ? ? ? ? 1 ∵ 16 5 4 由柯西不等式知

?? y 2 z 2? ? x x 1 ? 2 ? 3 ? 1 y ? 2 ( 2 ? ? ? 4 ? ( )2 .? . [42 ? ( 5 )2 ? 22] ? ) ( ) ( ) ? ? ( ) 5 ? . 2 ? ? 4 5 5 ?4
z ?3 ? ( ) 2 ? ?
2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

【21】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】
? ? 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) ? ? ? ? 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得

sin ?3 ?cos cos ? | 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 2 ? 2 ? 2 ,
2 2 1 sin cos 4 ? )( ? ) 2 ? 2 ? 2 ? (sin 2 cos ? ? cos 2 ? 1 ? sin 2

?? ??

所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【22】△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:
222 1 1 1 2 ( b)( a? 2 ? c ? ?) R ? 36 证明:由三角形中的正弦定理得 2 2 sin sin ABC sin

sin ? A

a 1 42 R 1 42 R 1 42 R ? 2 ,同理 2 ? 2 , 2 ? 2 于是左边= ,所以 2 2R sin A a sin B b sin C c

【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

4 42 RR 4 R R 2 2 R R ( ? a )( ? b ? ) ??2R c ?? a ) 2 ? ? a36 ( a ? ? 。 b c a c a b | Ax By C 0? 0? |
2 A? 2 B

222 2 2 2 222

.

证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得
2 2 (A2+B2[(x-x0)2+(y-y0)2] ) ≥ [A(x-x0)+B(y-y0)]= [(Ax+By)-(Ax0+By0)]=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥

| Ax By C 0? 0? |
2 A? 2 B

.

5



| Ax By C x0 y0 Ax C ? ? x y ?? By 0? 0? | ? ? 0 0 时,取等号,由垂线段最短得 d= ?2 2 . 2 A B A ? B A? 2 B
1 1 1 ? ? ≤λ 恒成立,求 λ 的范围. xy yz z x ? ? ?

【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1 1 1 1 1 1 1 z x y ? ? ? ?( ? ? ? ) ≤ x y yz z x2 y ? ? ? 2? ? y ?x y ? ? z ? z xy 2 zx z y x z 2 x
12 x y 3 3 2 2 z ?1 ( ? 11 ? )( ? ? ) 故 λ 的取值范围是[ ? ,+∞). 2 x x x ? ? ? 2 y y y ? ? ? z z z 2
温馨提示 本题主要应用了最值法,即不等式 化为求 f(x,y,z)=

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ≤λ 恒成立,等价于( ) ≤λ,问题转 xy yz z x ? ? ? x y y z z xmax ? ? ?

1 1 1 ? ? 的最大值. xy yz z x ? ? ? a ?b ?c 的值. x? y?z

【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知

a b c a ?b ?c ? ? =λ,再由等比定理,得 =λ.因此只需求 λ 的值即可.由柯西不 x y z x? y?z a b c ? ? =λ 时,上式等号成立. x y z

等式,得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25× 36,当且仅当 于是 a=λx,b=λy,c=λz,从而有 λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±

a b c 5 5 (舍负),即 ? ? ? . x y z 6 6

竞赛欣赏
1 (1987 年 CMO 集训队试题)设 a,b,c?R ,求证:
5 a 5 ca? ?b ? 5 3 b c b ?c 3 3 ? b c a a

?

(2-10)

??? ?? ,由定理 1 有 b cc 证明:因 a b c a b a
2 2 2

4 4 4 222 a ca ? 2 2 2 b ( b) ? 2 c ? ? ? ? ? a c ? 此即(2-10)式。 b b ab ? c c bc a a ?b c a

? 2 设 a,b,c?R ,求证:

2 2 2 bc a 2 ? ??( ? 2 3 2 ) abc ? abc

?2 ?2 bb c a aa cc ac b , , b ? c 证明:由均值不等式得 a ?b ? ?2 ,故
32 23 2 32 2 333 2 2 2 2 a? b? ( b 2 ? ? c ??c b a c ? ab ? b 2 c) c a2 a 222 2 a ?? ? ?c ? ( ?( c 2 c ac a 2 ) ) b ? 即 ( b) b 3 ba .

6

2 2 2 2 2 ( abc ( b ) ) a ? ,故 3 ?? ? b ( bc a ? a 2 2 ) ?c 又由柯西不等式知 3 ?? ?? c

又由定理 1,得
444 2 2 2 a c2 ? 3? b ( 2) ( 2) a2 ? b c a2 ? b c ? ? ? ? ? 原式左= 2 2 2 22 2 2 2 原式右 a c ? ( 2) ? c bc b b? ?a a c a b? a a ( c b ? ) c b

7


相关文章:
《柯西不等式》单元测试题(1)
柯西不等式》单元测试题(1)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。有详细答案.《柯西不等式》单元测试题(1)班级 一、选择题: 1.已知 a,b∈R,a +b =4,则...
柯西不等式练习题
柯西不等式练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。柯西不等式练习题 1.(09 绍兴二模)设 x , y , z ? R , x ? y ? z ? 1 。(1)求 x ? y ...
柯西不等式习题[1]
柯西不等式习题[1]_初一数学_数学_初中教育_教育专区。复习新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式 (a 2 + b 2 )(c 2 + ...
柯西不等式习题1
柯​西​不​等​式​习​题​1 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ?...
柯西不等式习题
柯西不等式习题_数学_高中教育_教育专区。选修 4-5 学案 § 3.1.1 柯西不等式(1) 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西...
柯西不等式习题
柯西不等式习题_数学_高中教育_教育专区。原创柯西不等式 一、二维形式的柯西不...( y ? 1) 2 ? z 2 之最小值为___, 又此时 y ? ___。 【13】 ...
柯西不等式习题
高中数学 柯西不等式习题集高中数学 柯西不等式习题集隐藏>> 新课标数学选修 4...比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2, 并不是不等式的形状,但变成(1/3) ...
柯西不等式习题
柯西不等式习题_数学_高中教育_教育专区。新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学...2b ? 3c ? 2 ,则 1 2 3 ? ? 之最小值为___, 此时 a ? ___。 ...
柯西不等式习题
柯西不等式习题_数学_高中教育_教育专区。新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题...2b ? 3c ? 2 ,则 1 2 3 ? ? 之最小值为___, 此时 a ? ___。 ...
更多相关标签: