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广东高考数学历年真题----三角函数(理)


三角函数(理)
1 1. (2007 广东省 3)若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

(A)最小正周期为

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2

(C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数; 【解析】考查三角变

换和三角函数的性质。通过二倍角公式可将 f(x) 等价转化为 f(x)=

1 cos2x,有余弦函数的性质知 f(x)为最小正周期为 ? 的偶函数,选 D。 2

答案:D 2. (2008 广东省 12)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周 期是 .
2

【解析】 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 所以函数的最小正周期 T ? 答案: ?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x , 2 2

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 3、 (2008 广东省 16)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
1,其图像经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

x) ? s i n ( x )? ? , 【解析】 (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f( 将点 M (
而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 3 6 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
4、 (2009广东省16)已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;

?
2

).

1

(2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos? 的值. 10 2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

解: ( 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ? b ? sin? ? 2 co s ? ? 0 , 即 s i n? ? 2 cos? , 代 入
2 sin2 ? ? c o s ? ?1



sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ? ?( 0 , , )∴
2

sin ? ?
(2)∵

2 5 5 . , cos? ? 5 5
0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?

?
2

? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10





cos? ? cos[? ? (? ? ? )] ? c ? c

? ? ?) ? s ? o s ?o ? ?) ?

2 .i 2

is

s

n

n

(

5. (2010 广东省 16) (本小题满分 l4 分)

已知函数f ? x ? ? A sin ? 3x ? ? ? ( A>0,x ? ? ??, ?? ?, 0<?<?),在x ? (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式 2 ? 12 (3)若( f ? + )= ,求 sin ? . 3 12 5

?
12

时取得最大值4。

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

2

6、(2011广东省16)已知函数f ( x) ? 2sin( x ?

(1)求f (

5? )的值; 4

1 3

?
6

), x ? R

? 10 6 ? ?? (2)设? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? )的值. 2 13 5 ? 2?
5? 5? ? ? ) ? 2 sin( ? ) ? 2 sin ? 2 . 4 12 6 4 ? 10 5 ? 12 (2) f (3? ? ) ? 2 sin ? ? ,? sin ? ? ,? ? ? [0, ],? cos? ? ; 2 13 13 2 13 ? 6 3 ? 4 f (3? ? 2? ) ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? ,? cos ? ? ,? ? ? [0, ],? sin ? ? . 2 5 5 2 5 12 3 5 4 16 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
π )(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. 6

解 : (1) f (

7. (2012 广东省 16)已知函数 f(x)=2cos(ωx+ (1)求 ω 的值;

π 5 6 5 16 ], f (5? ? π) ? ? , f (5? ? π) ? ,求 cos(α+β)的值. 2 3 5 6 17 2π 1 ? 10π ,解得 ? ? . 解:(1)由题意得 5 ? x π (2)由(1)知 f(x)=2cos( ? ) 5 6 5 1 5 π ∴f(5α+ π)=2cos[ (5α+ π)+ ] 3 5 3 6 π =2cos(α+ ) 2 6 =-2sinα= ? 5 3 ∴ sin? ? 5 5 1 5 π f(5β- π)=2cos[ (5β- π)+ ] 6 5 6 6
(2)设 α,β∈[0, =2cosβ =

16 17 8 17 π ] 2

∴ cos? ?

又∵α,β∈[0,

3

∴ cos? ? 1 ? sin

2

? ? 1 ? ? ?2 ?

3 5

4 8 2 15 2 , sin? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 17 17

4 8 15 3 13 ? ? ? =? . 85 5 17 17 5 ? ? ? 8、 (2013 广东省 16)已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= (Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【解析】(Ⅰ) f ? ? (Ⅱ) f ? 2? ? 因为 cos ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

? ?

9、 (2014 广东省 16)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值;

?? 7 ? 24 ? 17 . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 3? 25 ? 25 ? 25 ?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4 5? 5? ? 2? 3 3 2 解 : (1) f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3
(2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ?

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4

?

?

?

?

4


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