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昌平区2012-2013学年第二学期高三年级第二次质量抽测文科数学


昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级第二次质量抽测 数 学 试 卷(文科) 共 40 分)

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) (1) i 是虚数单位,则复数 z = A.第一象限
x

2i ?

1 在复平面内对应的点在 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

(2)已知集合 A ? {x | 2 ? 1} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 1} B.命题 ?p : ?x ? R,x ? 2 D.命题 ?p : ?x ? R,x ? ?2
开始

D.

{x | x ? 1}

(3)已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是 A. 命题 ?p : ?x ?R,x ≤ 2 C.命题 ?p : ?x ? R,x ≤ ?2

n ? 1, S ? 0

(4) 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.102 B.81 C.39 D.21

n ? 4?



(5)在区间 (0,

?
2

) 上随机取一个数 x ,则事件“ tan xgcos x ?

2 ” 2


S ? S ? n ? 3n
输出 S

发生的概率为 Xk b1 .Com
n ? n ?1 1 1 D. 2 3 (6)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18 %,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之

A.

3 4

B.

2 3

C.

结束

比为 y ,则 y ? f ( x) 的图像大致为

A.

B.

C.

D.

(7)已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的 是 A. 2 B. 3 C. 2

13

3 主视图

侧视图

D. 3 2 2
新 课标 第一 网

3 俯视图 (8) 定 义 一 种 新 运 算 : a ? b ? ?

?b, (a ? b) 4 已 知 函 数 f ( x) ? (1? )? lo2gx , 若 函 数 x ? a, ( a ? b)

g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范围为
A. ?1, 2 ? B. (1, 2) C. (0, 2) 共 110 分) D. (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题 一、

填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9)在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大小为_________. (10)双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 b2
.
0.064 0.060

频率 组距

y ? 3 x ,则 b ?

(11) 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 50 名 学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数 据可知 a = ;若要从成绩在 ?85,90 ? , ? 90,95 ? ,
a

0.020 0.016

?95,100? 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 12 人参加
O

面试,则成绩在 ?95,100? 内的学生中,学生甲被选取的概率 为 .

75

80

85

90

95 100 分数

(12) ? 设

? x ? y ? 0, 2 与抛物线 y ? ?4 x 的准线围成的三角形区域 (包含边界) D , ( x, y ) 为 P x? y ?0 ?
_

为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 (13)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,
?

??? ??? ? ? E 为 CD 的中点,则 AE ? BD 的值为

D

E

C

A
(14)对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:

B

设 f ' ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f '' ( x) 是函数 f ' ( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实 数解 x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一 个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据上面探究结果,解答以下问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 ①函数 f ( x) ? x ? x ? 3x ? 的对称中心坐标为 _ ; 3 2 12 1 2 3 2012 ②计算 f ( __ . )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( )= 2013 2013 2013 2013
给定函数 f ( x) ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本小题满分 13 分) 已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 a3 ? S3 ? 9 (Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? a2 , b4 ? S 4 ,求 {bn } 的前 n 项和公式.

(16) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2cos x ? 1, x ? R .
2

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

2

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

P D A F

E C

2 AD ? 2 , 2

E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF / / 平面 PAD ; (Ⅱ) 求三棱锥 P ? BCD 的体积;

B

(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G , 使得 CD ? 平面EFG ?说明理由.

(18) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值.

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 , 且过点 (0,1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

(I)求此椭圆的方程; (II)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? 2 与此椭圆交于 C 、 D 两点.是否存在实数 k , 使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. (20) (本小题满分 14 分) 如 果 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 为 R , 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x , 存 在 实 数 a 使 得 . f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P(a) 性质” (I)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P(a ) 性质” ,若具有“ P(a ) 性质” ,求出所有 a 的值; 若不具有“ P(a ) 性质” ,请说明理由; (II)设函数 y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g ( x) ? x .若 y ? g (x) 2 2

昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数 学 试卷 参考答案(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) A (2) C (3) B (4) A (5) C (6) D (7) D (8) B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9) 120? (11)0.040 ; (13) 1 (10) 3

2 5
(14) ( , 1) ;2012

(12) 3

1 2

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d . 因为 a3 ? S3 ? 9 , 所以 ?

?a1 ? 2d ? 9 ?3a1 ? 3d ? 9

解得 a1 ? ?3, d ? 6 ............................................................4 分

所以 an ? ?3 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 9 ....................................................................................6 分 (II)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b1 ? a2 ? (?3) ? 6 ? 3, b4 ? S4 =-12+36=24, 所以 3q ? 24, 解得,q ? 2.
3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Tn ?

b1 (1 ? q n ) ? 3(2n ? 1). ...........................................13 分 1? q

(16) (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)? f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ?????????????????????????????????..4 分

?
6

)

? ? 1 ? f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 2 ? ? 1 ??????????????.6 分 2 6 2 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? ? ,??????????8 分 6 ? ? ? ? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 2 6 2 6 3 ? ?? ? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z) .???13 分 6 3? ?
(17) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F ,

ABCD 为正方形, F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. x k b 1.c o m ∴在 ?CPA 中, EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD

......... ...........2 分 ∴ EF / /平面PAD .........4 分 ........

(Ⅱ)解:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

P D A O G F

E C

平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
∴ PO ? 平面ABCD . 又 PA ? PD ? 且 AD ? 2 2, PO ?

B

2 AD ? 2, 所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

1 AD ? 2, 2 1 1 在正方形 ABCD 中, S ?BCD ? S正方形ABCD ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 2 2
1 1 4 2 VP ? BCD ? S?BCD ?PO ? ? 4 ? 2 ? . ?????????????????..9 分 3 3 3
(III) 存在点 G 满足条件,理由如下:设点 G 为 AB 中点,连接 EG, FG. 由 F 为 BD 的中点,所以 FG // AD , 由(I)得 EF // PA ,且 FG ? EF ? F , AD ? PA ? A, 所以 平面EFG//平面PAD .

∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,

CD ? AD,
?CD ? 平面PAD
所以, CD ? 平面EFG . 所以, AB 的中点 G 为满足条件的点.??????????????14 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x) 的定义域为 (0,??). f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x

由 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,则 f '(2) ?

4?a 3 ? , a ? 1. ?.4 分 2 2

此时 f ( x) ?

1 2 x2 ?1 x ? ln x, f '( x) ? . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 2 x

f (x) 与 f ?(x) 的情况如下:

x
f ?(x)
f (x)

( 0,1 ) — ↘

1 0

(1, ??)
+ ↗

1 2

所以, f (x) 的单调递减区间是( 0,1 ) ,单调递增区间是 (1, ??) ………………………7 分

a x2 ? a . (II)由 f '( x) ? x ? ? x x

w W w.x K b 1. c o m

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a .
①若

a ? 1 即 0 a ? 1 , (1, e) 上 , f ' ( ? , ? 在 x )

, 0 f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 增 ,

1 f ( x) i n f ( 1 ) ; ? m ? 2
② 若1 ?

a ? e,即1 ? a ? e2 , 在 1, a ) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 单调递减;在 a , e) 上, ( (

1 f '( x) ? 0 , f (x) 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x)min ? f ( a ) ? a(1 ? ln a) ; 2

③ 若

a ? e, 即a ? e 2 , 在 (1, e) 上 , f ' ( ? x )

, 0 f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 ,

1 f ( x)min ? f (e) ? e2 ? a. 2
综上,当 0 ? a ? 1时, f ( x) min ?

1 1 ; 当 1 ? a ? e2 时, f ( x)min ? a(1 ? ln a); 当 a ? e2 时, 2 2

1 f ( x)min ? e2 ? a. …………………………………………………………………..13 分 2

(19) (本小题满分 13 分)

?c 6 ? ? ?a 2 ? 3 3 ?a ? ? 解: (1)根据题意, ?b ? 1 , 解得,b 2 ? 1 . ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ?c ? 2 ? ? ?
x2 y2 所以椭圆方程为 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· ? ? 1 . ·····························5 分 3 1
(II) y ?k ? 2 代入椭圆方程, (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 , 将 得 由直线与椭圆有两个交点, x
2 2

所以 ? ? (12k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? 1 . x k b 1 .c o
2 2

2

m

设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

12k 9 , x1 ? x2 ? ,若以 CD 为直径的圆 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

过 E 点,则 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , 而 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) = k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,所以
2

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 5 (

?

9(k 2 ? 1) 12k (2k ? 1) 7 ? ? 5 ? 0 ,解得 k ? ,满足 k 2 ? 1 . 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 6

所以存在 k ?

7 ··········· ······· ·········· ········ , 使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ·················· 13 分 6

(20) (本小题满分 14 分) 解 :( I ) 由 s i n ? a) ? s i n x( 得 sin(x ? a) ? ? sin x , 根 据 诱 导 公 式 得 x ( ? )

,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z) . a ? 2k? ? ? (k ? Z) .? y ? sin x 具有“ P(a) 性质” ??????4 分 (II)? y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) , , 从而得到 y ? g (x) 是以 2 为周期的函数. 又 ? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) , 设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (?1 ? x ? 1) ? g (? x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

1 1 ? x ? n ? (n ? Z) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) 2k ? ? x ? 2k ? ,则 ? ? x ? 2k ? , , 2 2 2 2
再设 n ?

g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;x k b 1.c o m


n ? 2k ? 1

(k ? Z)



2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? 2 2



g ( x ) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2 k ? 1 ? x ? n ;

?对于 n ?

1 1 1 1 ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , ? x ? n ? ( n? z ) 2 2 2 2

? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g ( x) ,? y ? g (x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x) 在

[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 , 1007 ] 有一个交点.? y ? mx 过 (
从而得 m ?

2013 , 2

1 ), 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 ??????????14 分 2013

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