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高中函数概念


函数(一)
学习重点:理解函数的概念; 教学难点:函数的概念 一、复习引入: 1.初中(传统)函数的定义: 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y, 如果对于 x 在某一范围 内的每一个值, 都有唯一的值与它对应, y 那么就称 y 是 x 的函数, x 是自变量。 2.初中已经学过的函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题 1: y ? 1 ( x

? R )是函数吗? 问题 2: y ? x 与 y ? 二、新课讲解 观察对应:
x2 是同一函数吗? x
王新敞
奎屯 新疆

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1

A 9 4 1

开平方

B 3 -3 2 -2 1 -1

A

求正弦

B

30 0 45 0 60 0 90 0
(2) A 1 2 3 (4) 乘以2

1 2 2 32

2

1

(1) A 1 -1 2 -2 3 -3 (3) 求平方 B 1 4 9

B 1 2 3 4 5 6

1.函数的定义: 设 A,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于 集合 A 中的任意一个 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应, 那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的函数,记作
y ? f (x) , x ? A

其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 y ? f (x) 的定义域; x 的 与 值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 ? f ( x) | x ? A?( ? B)叫 做函数 y=f(x)的值域. 函数符号 y ? f (x) 表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f (x) . 2.已学函数的定义域和值域 (1)一次函数 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) :定义域 R, 值域 R;

2

(2)反比例函 f ( x) ?

k (k ? 0) :定义域 ?x | x ? 0?, 值域 ?x | x ? 0?; x

(3)二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) :定义域 R 值域:当 a ? 0 时,
? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ?y | y ? ? ;当 a ? 0 时, ? y | y ? ? 4a ? 4a ? ? ?

3.函数的三要素:

对应法则 f 、定义域 A、值域 ? f ( x) | x ? A?
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注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数 4.函数的值:关于函数值 f (a) 例: f (x) = x 2 +3x+1 则 f(2)= 2 2 +3×2+1=11

注意:1?在 y ? f (x) 中 f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样 2? f (x) 不一定是解析式,有时可能是“列表” “图象” 3? f (x) 与 f (a) 是不同的,前者为变数,后者为常数 5.区间的概念和记号 设 a,b ? R ,且 a<b.我们规定:
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①满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; ②满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b) ; ③满足不等式 a ? x<b 或 a<x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[a,b) ,(a,b]. 这里的实数 a 和 b 叫做相应区间的端点. 在数轴上, 这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示, 在图中,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在
3

区间内的端点: 这样实数集 R 也可用区间表示为(- ? ,+ ? ), ? ” “无穷大” “ 读作 , “- ? ” 读作 “负无穷大”“+ ? ”读作“正无穷大”.还可把满足 x ? a, , x>a,x ? b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+ ? ) , (a,+ ? ),(-

? ,b ] ,(- ? ,b).
6.求函数定义域的基本方法 如果不单独指出函数的定义域是什么集合,那么函数的定义域就 是能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合 7.分段函数: 有些函数在它的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应 法则不同,这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数,而 不是几个函数. 8.复合函数: 设 f(x)=2x?3,g(x)=x2+2,则称 f[g(x)] =2(x2+2)?3=2x2+1(或

g[f(x)] =(2x?3)2+2=4x2?12x+11)为复合函数
三、例题讲解 例 1. 求下列函数的定义域: ① f ( x) ?
1 1 ;② f ( x) ? 3x ? 2 ;③ f ( x) ? x ? 1 ? . x?2 2? x

4

例 2 已知函数 f (x) =3 x 2 -5x+2,求 f(3), f(- 2 ), f(a+1).

例 3 下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数? ⑴y?

? x ? ;⑵ y ?
2

3

x 3 ;⑶ y ?

x2

例 4 .下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① y1 ?
( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5
y 2 ? ( x ? 1)( x ? 1)

② y1 ? x ? 1 x ? 1 ③ f 1 ( x) ? ( 2 x ? 5 ) 2
? 0 ? 例 5.已知 f ( x ) ? ? ? ?x ?1 ?

f 2 ( x) ? 2 x ? 5
( x ? 0) ( x ? 0) , f(-1),f(0),f(1),f{f[f(-1)]} 求 ( x ? 0)

例 6.已知 f(x)=x ?1
2

g(x)= x ? 1 求 f[g(x)]

例 7. 求下列函数的定义域: ① f ( x) ? ③ f (x) ?
1?
4 ? x2 ?1

② f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2
( x ? 1) 0 x ?x

1 1 1 1? x
1 3x ? 7

④ f ( x) ?

⑤y?

x?2 ?3? 3

注:求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R;
5

②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式, 则函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 则函数的定义域是使 各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数, 则函数的定义域应符合 实际问题. 例 8. 若函数 y ? ax 2 ? ax ?
1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范 a

例 9. 若 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 为 [?1 , 1] , 求 函 数
1 1 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域 4 4
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例 10. 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f (x) ;
x

例 11. 设二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f (x) =0 的两实根平方 和为 10,图象过点(0,3),求 f (x) 的解析式.

6

四、课后练习 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? (3) f ( x ) ?
1 x ?1

(2) f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

2.已知 f ( x) ?

1 , 则函数f [ f ( x)] 的定义域是? x ?1

3.设 f (x) 的定义域是[?3, 2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域

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4.已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式

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7

) 5.若 f ( x ? 1 ? x ? 2 x ,求 f(x)

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6.已知: f (x) =x 2 ?x+3

求:

f(x+1), f(

1 ) x

7 已知函数 f (x) =4x+3,g(x)=x 2 ,求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)], g[g(x)].

1 x 8.若 f ( ) ? 求 f(x) x 1? x

8


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