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2、双曲线的参数方程


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二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程 2、双曲线的参数方程 3、抛物线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x , y )
a

y A o B

?
B'

?M
A' x

在?OAA '中,x =
| OA | b | OA ' |= = = cos ? cos ?

b ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y = | BB ' |=| OB | ? tan ? = b ? tan ? .
? x = a sec ? (?为参数) 所以M 的轨迹方程是 ? ? y = b tan ?
x2 y2 消去参数后, =1 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

y a A B' o B

?
?M
A' x

说明: 说明:

3π 通 规 ? ∈[o,2π)且? ≠ , ≠ 。 常 定 ? 2 2

? x = a sec ? (?为参数) ? ? y = b tan ?

π

b

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.

x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换

sec ? = 1 + tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程 相比较而得到,

x2 y2 如 例2、图 , 设 M 为 双 曲 线 a 2 ? b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 , O为 原 点 , 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 , 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A, B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 , 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ? 解:双曲线的渐近线方程为:y = ± b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec? ,btan?),
b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? = ? ( x ? a sec ? ). ① M x a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? + tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a xA x ? B sin2α ? 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = cosα cosα a 2(sec2? -tan 2? ) a2 a 2 b ab = ? sin2α = ? tan α = ? = . 4cos2α 2 2 a 2
由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

练习: 练习

1.已知参数方程

1 x = t + t 1 (t 是参数 t >0) 是参数, y = t ? t

化为普通方程,画出方程的曲线 化为普通方程 画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x = a sec α

2.参数方程

y = b t a n α (α 是 参 数 , ? 2 < α < 2 )

π

π

表示什么曲线?画出图形 表示什么曲线 画出图形. 画出图形

x2 y 2 3.若双曲线 2 ? 2 = 1(b > a > 0)上有两点A, B与它的 a b 中心的连线互相垂直. 1 1 求证: 为定值. + 2 2 |OA| |OB|


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