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北京2013届西城高三二模数学理科试题及答案


北京市西城区 2013 年高三二模试卷 高三数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? {0,1, 2, 3, 4} ,集合 A ? {0,1, 2, 3} , B ? {2, 3, 4} ,那么 ? U ( A ? B ) ? (A) {0 ,1} (B) {2 , 3} (C) {0,1, 4} (D) {0,1, 2, 3, 4} 2013.5

2.在复平面内,复数 z 1 的对应点是 Z 1 (1,1) , z 2 的对应点是 Z 2 (1, ? 1) ,则 z1 ? z 2 ? (A) 1 (B) 2 (C) ? i
? 2

(D) i

3.在极坐标系中,圆心为 (1, (A) ? ? 2 sin ?

) ,且过极点的圆的方程是

(B) ? ? ? 2 sin ?

(C) ? ? 2 co s ?

(D) ? ? ? 2 co s ?

4.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ? 1 7 ” 之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 1 0 (B) k ? 1 6 (C) k ? 2 2 (D) k ? 3 4 5.设 a ? 2 , b ? 3 , c ? lo g 3 2 ,则 (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b
1 2 1 3

6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知正六边形 A B C D E F 的边长是 2 ,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的 距离是
3 4 3 2

(A)

(B)

(C) 3

(D) 2 3

8.已知函数 f ( x ) ? x ? [ x ] ,其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f ( x ) ? kx ? k 有三个不
2013 西城高三二模数学理科 第 1 页 共 10 页

同的实根,则实数 k 的取值范围是
1 2 1 1 1 1 1 , ] (B) ( ? 1, ? ] ? [ , ) 4 3 2 4 3 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2

(A) [ ? 1, ?

)? (

(C) [ ?

,?

)?(

,1] (D) ( ?

,?

]?[

,1)

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: c m )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x 甲 和 x 乙 , 则 x 甲 ______ x 乙 . (填入: ? ”“ ? ” “ , ,或“ ? ” ) 10. ( 2 x ? 1) 的展开式中 x 项的系数是______. (用数字作答)
5

3

11.在△ A B C 中, B C ? 2 , A C ?

7 ,B ?

? 3

,则 A B ? ______;△ A B C 的面积是______.

12.如图, A B 是半圆 O 的直径, P 在 A B 的延长线上, P D 与半圆 O 相切于点 C , A D ? P D .若 P C ? 4 ,
P B ? 2 ,则 C D ? ______.

13.在等差数列 { a n } 中, a 2 ? 5 , a 1 ? a 4 ? 1 2 ,则 a n ? ______;设 b n ? 项和 S n ? ______.

1 an ? 1
2

( n ? N ) ,则数列 { b n } 的前 n
*

14.已知正数 a , b , c 满足 a ? b ? a b , a ? b ? c ? a b c ,则 c 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 x O y 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A ,且
? ??
? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B .记 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) . 6 2 3 1 3

(Ⅰ)若 x 1 ?

,求 x 2 ;

(Ⅱ)分别过 A , B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ A O C 的面积为 S 1 ,△ B O D 的面积为 S 2 .若 S 1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值.

16. (本小题满分 13 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
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奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球, 个黄球, 个白球和 1 个黑球. 1 1 顾客不放回的每次摸出 1 个球, 若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖 励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,面 ABCD 是直角梯形, M 为侧棱 PD 上一点.该四 棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)证明: A M ∥平面 PBC ; (Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为
N ,并求 C N 的长;若不存在,说明理由.

3 4

?若存在,找到所有符合要求的点

18. (本小题满分 13 分) 如图, 椭圆 C : x ?
2

y

2

? 1 ( 0 ? m ? 1) 的左顶点为 A ,M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点, P 与点 A 关 点

m

于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,
5 9 4 3 5 ) ,求 m 的值;

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 O P ? O M ,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
2 3 x ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 1 ,其中 a ? R .
3 2

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最大值和最小值.

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20. (本小题满分 13 分) 已知集合 S n ? { ( x1 , x 2 , ? , x n ) | x1 , x 2 , ? , x n 是正整数 1, 2 , 3, ? , n 的一个排列 } ( n ? 2 ) ,函数
x ? 0, ?1, g (x) ? ? ? ? 1, x ? 0 .

对于 ( a 1 , a 2 , … a n ) ? S n ,定义: bi ? g ( a i ? a 1 ) ? g ( a i ? a 2 ) ? ? ? g ( a i ? a i ? 1 ), i ? {2, 3, ? , n } , b1 ? 0 , 称 b i 为 a i 的满意指数.排列 b1 , b 2 , ? , b n 为排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列;排列 a 1 , a 2 , ? , a n 为排列 b1 , b 2 , ? , b n 的 母列. (Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3, 5,1, 4, 6, 2 的生成列及排列 0, ? 1, 2, ? 3, 4, 3 的母列;
? ? (Ⅱ)证明:若 a 1 , a 2 , ? , a n 和 a 1? , a 2 , ? , a n 为 S n 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;

(Ⅲ)对于 S n 中的排列 a 1 , a 2 , ? , a n ,定义变换 ? :将排列 a 1 , a 2 , ? , a n 从左至右第一个满意指数为负数的 项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换 ? 将排列 a 1 , a 2 , ? , a n 变 换为各项满意指数均为非负数的排列.

北京市西城区 2013 年高三二模试卷高三数学(理科)2013.5 参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.D; 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? ; 10.80; 11.3,
3 3 2

6.C;

7.B;

8.B.

; 12.

12 5

; 13. 2 n ? 1 ,

n 4 ( n ? 1)



14. (1, ] .
3

4

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? co s ? , x 2 ? c o s (? ? 因为 ? ? ?
? ? 1 , ) , cos ? ? , 6 2 3 ? 3 ).

??????2 分

所以 s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

2 3

2



??????3 分

所以 x 2 ? c o s (? ?

? 3

)?

1 2

cos ? ?

3 2

s in ? ?
? 3

1? 2 6 6



??????5 分

(Ⅱ)解:依题意得 y 1 ? sin ? , y 2 ? s in (? ?

).

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所以 S 1 ?
S2 ?

1 2 1 2

x1 y 1 ?

1 2

c o s ? ? s in ? ? 1 2 2? 3 [ ? c o s(? ?

1 4 ? 3

s in 2 ? , )] ? sin ( ? ? ? 3 )? ? 1 4 sin ( 2 ? ? 2? 3

??????7 分
) . ?????9 分

| x2 | y2 ?

依题意得 s in 2 ? ? ? 2 s in ( 2 ? ? 整理得 co s 2? ? 0 . 因为
? 6 ?? ? ? 2

),

??????11 分
? 3 ? 2 ? ? ? ,所以 2 ? ? ? 2

, 所以

, 即 ? ?

? 4

. ??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A , 则 P ( A) ?
A3
3 2

??????1 分

?

1 4


1 4

A4

故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为



??????4 分 ??????5 分
A2 A4
2 2

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0, 5,1 0,1 5, 2 0 .
P ( X ? 0) ? 1 4


2

P ( X ? 5) ?

?

1 6
2



P ( X ? 10) ?

1 A4
2

?

A2 A4
3

?

1 6



P ( X ? 15) ?

C2 ?A2
1

A4

3

?

1 6



P ( X ? 20) ?

A3 A4
4

3

?

1 4



??????10 分

所以,随机变量 X 的分布列为:
X
0
5 10 15 20

1

1 6

1 6

1 6

1 4

P

4

??????11 分
EX ? 0 ? 1 4 ? 5? 1 6 ? 10 ? 1 6 ? 15 ? 1 6 ? 20 ? 1 4 ? 10 .

??????13 分

17. (本小题满分 14 分) 【方法一】 (Ⅰ)证明:由俯视图可得, B D ? B C ? C D ,
2 2 2

所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD ,
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??????1 分

??????3 分
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所以 BC ? 平面 PBD . (Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 P Q : P C ? 1 : 4 ,连结 M Q , B Q . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 M Q ∥ C D , M Q ?
1 4 CD .

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分
3.

? ? 在△ B C D 中,易得 ? C D B ? 6 0 ,所以 ? A D B ? 3 0 .又 BD ? 2 , 所以 A B ? 1 , A D ?

又因为 A B ∥ C D , AB ?

1 4

CD ,所以 A B ∥ M Q , A B ? M Q .

所以四边形 A B Q M 为平行四边形,所以 A M ∥ B Q . 因为 AM ? 平面 PBC , B Q ? 平面 PBC , 所以 直线 A M ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 C D 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为
3 4

??????8 分

??????9 分 .证明如下:???10 分

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ), B ( 3 ,1, 0 ), C ( 0 , 4 , 0 ), M ( 0 , 0 , 3 ) . 设 N ( 0 , t , 0 ) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? ( ? 3 , 0 , 3 ) , BN ? ( ? 3 , t ? 1, 0 ) .
???? ???? ? | AM ? BN | 3 ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? ???? ? , 4 4 | A M || B N |

??????11 分

3

??????12 分

所以
2 3?

|3| 3 ? ( t ? 1)
2

?

3 4

,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 .

??????13 分

故点 N 位于 D 点处,此时 C N ? 4 ;或 CD 中点处,此时 C N ? 2 , 有 AM 与 BN 所成角的余弦值为
3 4

.??????14 分

【方法二】 (Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示 的空间直角坐标系 D ? xyz . 在△ B C D 中,易得 ? C D B ? 6 0 ,所以 ? A D B ? 3 0 , 因为 BD ? 2 , 所以 A B ? 1 , A D ? 由俯视图和左视图可得:
D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ), B ( 3 ,1, 0 ), C ( 0 , 4 , 0 ), M ( 0 , 0 , 3 ), P ( 0 , 0 , 4 ) .
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? ?

3.

所以 BC ? ( ? 3 , 3 , 0 ) , DB ? ( 3 ,1, 0 ) . 因为 BC ? DB ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD .
???? ? n ? P C ? 0, ? (Ⅱ)证明:设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则有 ? ???? ?n ? BC ? 0. ?

??????2 分 ??????3 分 ??????4 分

因为 BC ? ( ? 3 , 3 , 0 ) , PC ? ( 0 , 4 , ? 4 ) , 所以 ?
? 4 y ? 4 z ? 0, ? ?? ? 3 x ? 3 y ? 0.

取 y ? 1 ,得 n ? ( 3 ,1,1) .

??????6 分

因为 AM ? ( ? 3 , 0 , 3 ) ,所以 AM ? n ?

3 ? ( ? 3 ) ? 1 ? 0 ? 1 ? 3 ? 0 . ??????8 分

因为 AM ? 平面 PBC , 所以 直线 A M ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 C D 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 设 N ( 0 , t , 0 ) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? ( ? 3 , 0 , 3 ) , BN ? ( ? 3 , t ? 1, 0 ) .
3 4
| AM ? BN | | AM | ? | BN |

??????9 分
3 4

.证明如下:???10 分 ??????11 分

要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

,则有

?

3 4



??????12 分

所以
2 3?

|3| 3 ? ( t ? 1)
2

?

3 4

,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 .

??????13 分

故点 N 位于 D 点处,此时 C N ? 4 ;或 CD 中点处,此时 C N ? 2 , 有 AM 与 BN 所成角的余弦值为 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 A P 的中点, 因为 A ( ? 1, 0 ) , P ( ,
5 9 4 3 5 2 2 3 5 ), 3 4



??????14 分

所以 点 M 的坐标为 ( ,
5

) .??????2 分

由点 M 在椭圆 C 上,

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所以

4 25

?

12 25m

?1,

??????4 分 ??????5 分
y0 m
2

解得 m ?

4 7



(Ⅱ)解:设 M ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ?
2

? 1 ,且 ? 1 ? x 0 ? 1 .



??????6 分

因为 M 是线段 A P 的中点, 所以 P ( 2 x 0 ? 1, 2 y 0 ) . 因为 O P ? O M , 所以 x 0 ( 2 x 0 ? 1) ? 2 y 0 ? 0 .
2
2

??????7 分


2 x0 ? x0 2 x0 ? 2
2

??????8 分

由 ①,② 消去 y 0 ,整理得 m ?



??????10 分

所以 m ? 1 ?

1 2 ( x0 ? 2 ) ? 6 x0 ? 2 ?8

?

1 2

?

3 4



??????12 分

当且仅当 x 0 ? ? 2 ?

3 时,上式等号成立.

所以 m 的取值范围是 (0 ,

1 2

?

3 4

].

??????13 分

19.(本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ? ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a .

??????2 分

当 a ? 2 时, f (1) ? ?

1 3

, f ? (1) ? ? 2 ,
1 3 ? ? 2 ( x ? 1) ,

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6x ? 3y ? 5 ? 0 . (Ⅱ)解:方程 f ? ( x ) ? 0 的判别式为 ? ? 8 a .

??????4 分

(ⅰ)当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( 2 , 3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是 f ( 2 ) ?
7 3 ? 2 a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3 a .

??????6 分
2a 2

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?
f ( x ) 和 f ? ( x ) 的情况如下:

2a 2

,或 x 2 ? 1 ?



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x

( ? ? , x1 )

x1

( x1 , x 2 )

x2
0

( x2 , ? ? )

f ?( x ) f (x)

?

0

?

?


2a 2


2a 2


2a 2 2a 2

故 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , 1 ?

) , (1 ?

, ? ? ) ;单调减区间为 (1 ?

,1 ?

).

??????8 分 ① 当 0 ? a ? 2 时, x 2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , 3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是 f ( 2 ) ?
7 3 ? 2 a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3 a .

??????10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x 2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , x 2 ) 上单调递减,在区间 ( x 2 , 3) 上单调递增,
5 3 a 2a 3

所以 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是 f ( x 2 ) ? 因为 f (3) ? f ( 2 ) ? 所以 当 2 ? a ?
14 3
[ 2 , 3] 上的最大值是 f ( 2 ) ?

?a?



??????11 分

14 3

?a, 14 3 ? a ? 8 时, f ( x ) 在区间

时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最大值是 f (3) ? 7 ? 3 a ;当
7 3 ? 2a .

??????12 分

③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x 2 ,此时 f ( x ) 在区间 ( 2 , 3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3 a ;最大值是 f ( 2 ) ? 综上, 当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是
14 3 14 3

7 3

? 2 a .??????14 分

7 3

? 2 a ,最大值是 7 ? 3 a ;

当2 ? a ?

时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是

5 3 5 3

?a?

a

2a 3

,最大值是 7 ? 3 a ;



? a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是

?a?

a

2a 3

,最大值是

7 3

? 2a ;

当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [ 2 , 3] 上的最小值是 7 ? 3 a ,最大值是

7 3

? 2a .

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3, 5,1, 4, 6, 2 的生成列为 0,1, ? 2,1, 4, ? 3 ; 排列 0, ? 1, 2, ? 3, 4, 3 的母列为 3, 2, 4,1, 6, 5 . ??????2 分 ??????3 分

? ? ? ? (Ⅱ)证明:设 a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列是 b1 , b 2 , ? , b n ; a 1? , a 2 , ? , a n 的生成列是与 b1? , b 2 , ? , b n .
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? ? ? ? ? 从右往左数,设排列 a 1 , a 2 , ? , a n 与 a 1? , a 2 , ? , a n 第一个不同的项为 a k 与 a k ,即: a n ? a n , a n ? 1 ? a n ? 1 , ? ? ? , a k ?1 ? a k ?1 , a k ? a k . ? ? 显然 b n ? b n , b n ? 1 ? b n ? 1 , ? , b k ? 1 ? b k? ? 1 ,下面证明: b k ? b k? .

??????5 分

由满意指数的定义知, a i 的满意指数为排列 a 1 , a 2 , ? , a n 中前 i ? 1 项中比 a i 小的项的个数减去比 a i 大的 项的个数. 由于排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 a k 小,则有 k ? l ? 1 项比 a k 大,从而
b k ? l ? ( k ? l ? 1) ? 2 l ? k ? 1. ? ? ? ? 同理,设排列 a 1? , a 2 , ? , a n 中有 l ? 项比 a k 小,则有 k ? l ? ? 1 项比 a k 大,从而 b k? ? 2 l ? ? k ? 1 . ? ? ? 因为 a 1 , a 2 , ? , a k 与 a 1? , a 2 , ? , a k 是 k 个不同数的两个不同排列,且 a k ? a k ,

所以 l ? l ? , 从而 b k ? b k? .
? ? 所以排列 a 1 , a 2 , ? , a n 和 a 1? , a 2 , ? , a n 的生成列也不同.

??????8 分

(Ⅲ)证明:设排列 a 1 , a 2 , ? , a n 的生成列为 b1 , b 2 , ? , b n ,且 a k 为 a 1 , a 2 , ? , a n 中从左至右第一个满意指数为 负数的项,所以 b1 ? 0, b 2 ? 0, ? , b k ? 1 ? 0, b k ? ? 1 . ??????9 分

, 进 行 一 次 变 换 ? 后 , 排 列 a 1 , a 2 , ? , a n 变 换 为 a k , a1 , a2 ,? ak? 1 , ak? 1 ? , an , 设 该 排 列 的 生 成 列 为 ? ? b1? , b 2 , ? , b n . ? ? 所以 ( b1? ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? [ g ( a 1 ? a k ) ? g ( a 2 ? a k ) ? ? ? g ( a k ? 1 ? a k )] ? [ g ( a k ? a 1 ) ? g ( a k ? a 2 ) ? ? ? g ( a k ? a k ? 1 )]
? ? 2[ g ( a k ? a 1 ) ? g ( a k ? a 2 ) ? ? ? g ( a k ? a k ? 1 )]

? ? 2 bk ? 2 .

??????11 分

因此,经过一次变换 ? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 . 因为 a i 的满意指数 bi ? i ? 1 ,其中 i ? 1, 2, 3, ? , n , 所以,整个排列的各项满意指数之和不超过 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换 ? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数. ??????13 分
( n ? 1) n 2



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