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2013高中数学联赛安徽赛区初赛卷 2


2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题

(考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9:00—11:30)

一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ? 4 ? x 2的值域为 ______________. 2.方程 sin (2013?x) ? x 20

13 的实根个数为 __________. 3.化简 sin12? sin 48? sin 54? =__________(用数字作答). 4.数列 {a n } 满足 a1 ? a2 ? 1, an ? 3an ?1 ? an ? 2 (n ? 3), 则a2013 =________. 5.设?ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP ? ( AB ? AC ), 则 cos ?BAC =______. 6.设复数 z=x + y i 满足 位,x,y ? R, 则 的最大值为____________. 7.设 (1 ? x ? x 2 )150 ? ? ck x k ,其中 c0,??,c300 是常数,则 ? c3k =_________.
k ?0 k ?0 100 100

z ?1 的实部与虚部之比为√3, 其中 i 是虚数单 z?2

2 5

y x

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,他们构成锐角三角形的概率 为_________.

二.解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题 22 分,共 86 分)

9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10.求所有函数 f : R ? R ,使得对任意 x,y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy 且 x 2 ? x ? f ( x) ? x 2 ? x .

11.设 a,b,c 是不全为零的实数,求 F=

ab ? bc ? c 2 的取值范围,当 a, a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

b,c 分别满足什么条件时 F 取最大值和最小值? 12.设数列满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a n ?
(1 ? a n ?1) 2 (n ? 3)

a

n?2

(1)求 {a n } . (2)求证:对 ?k ? N ? , a2 k ?1 和
a2 k 都是整数. 2

参考答案:
1.填空题

1

2 4027

3 1/8

4 1-√3

5 1/4

6
4 2 -3 3 5

7

8 1/3

[ 2 ? 3 ,2 5 ]

3149

3.方法一:

? 引理: sin(3?) 4sin?sin(60? - ?)sin(60? ? ?)

sin12? sin 48? sin 54? ? cos 78? cos 42? sin 54? 4 cos18? cos(60? ? 18?) cos(60? ? 18?) sin 54? 4 cos18? cos 54? sin 54? ? 4 cos18? 1 ? 8 ?

方法二:

4. 1 -

3

7.

3

149

1 8. 3

10.

设g ( x) ? f ( x) ? x 2由题意得: f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy ? f ( x ? y ) ? ( x ? y ) 2 ? f ( x) ? x 2 ? f ( y ) ? y 2 即g ( x ? y ) ? g ( x) ? g ( y )所以g ( x)满足柯西方程 ? g (nx) ? ng ( x), (n ? Z ) n | g ( x) |?| g (nx) |? nx 即 x n 当n趋于无穷大时 g ( x) ? g ( x) ? 0 所以 g ( x) ? 0 f ( x) ? x 2

12 (1)

a

n

?

(1 ? a n ?1) 2

a

n?2

? a n a n ? 2 ? (1 ? a n ?1) 2 ? a n ?1 a n ?1 ? (1 ? a n ) 2 两式相减得:

a a - a a ? (1 ? a ) - (1 ? a ) 即a a - a a ? a - a ? (a - a ) 2 两边同除以 a a : a ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ?? ? a ? a ? 2 ? 6 a a a 即a - 6 a ? a ? 2 ? 0
2 2 n n?2 n ?1 n ?1 n ?1 2 n 2 n n?2 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 n n ?1 n ?1 n?2 3 1 n n ?1 2 n ?1 n n ?1

1 1 1 (a n ?1 - ) (a n - ) a n ?1 - ) ? 0 -6 ? ( 2 2 2 1 令 bn ? a n - ,则 bn ?1 - 6 bn ? bn-1 ? 0 2 其特征方程为x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 1 1 (3 ? 2 2 ) n ?1 ? (3 ? 2 2 ) n ?1 4 4 1 1 1 ? a n ? (3 ? 2 2 ) n ?1 ? (3 ? 2 2 ) n ?1 ? 4 4 2 ? bn ?

(2)

is the sequence .

.

is the sequence


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