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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练18]


双基限时练(十八)
1.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量 a,给 出下列四个结论: ①存在唯一的一对实数 x,y,使得 a=(x,y); ②a=(x1,y1)≠(x2,y2),则 x1≠x2,且 y1≠y2; ③若 a=(x,y),且 a≠0,则 a 的始点是原点 O; ④若 a≠0,且 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x,y).

其中,正确结论的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析 由平面向量基本定理可知,①正确;②不正确.例如,a= (1,0)≠(1,3),但 1=1;因为向量可以平移,所以 a=(x,y)与 a 的始点 是不是原点无关,故③错误;a 的坐标是终点坐标是以 a 的始点是原点 为前提的,故④错误. 答案 B )

→ → → 2.若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC=( A.(4,6) C.(-2,-2)

B.(-4,-6) D.(2,2)

→ → → 解析 AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6),故选 A. 答案 A )

→ → 1→ 3.已知MA=(-2,4),MB=(2,6),则2AB=( A.(0,5) C.(2,5) B.(0,1) D.(2,1)

1→ 1 → → 1 解析 2AB=2(MB-MA)=2(4,2)=(2,1). 答案 D )

4.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( A.平行于 y 轴 B.平行于第一、第三象限的角平分线 C.平行于 x 轴 D.平行于第二、第四象限的角平分线 解析 a+b=(x,1)+(-x,x2)=(0,1+x2), 由 1+x2≠0 及向量的性质可知,a+b 平行于 y 轴. 答案 A )

→ 5.若 M(4,-1),AB=(4,-1),则有( A.点 M 与点 A 重合 B.点 M 与点 B 重合 → C.点 M 在AB上 → → D.OM=AB(O 为坐标原点) 解析 答案

→ → → → M(4, -1), 即OM=(4, -1), 又AB=(4, -1), ∴OM=AB. D )

6.若向量 a=(3,2),b=(0,-1),则向量 2b-a 的坐标是( A.(3,-4) C.(3,4) 解析 B.(-3,4) D.(-3,-4)

a=(3,2),b=(0,-1),∴2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(0,

-2)-(3,2)=(-3,-4).

答案

D

→ → → 7.在平行四边形 ABCD 中,若 AB =(2,4),AC=(1,3),则AD = ________.(用坐标表示) → → → → 解析 AD=BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). 答案 (-1,-1)

8.平面上三点分别为 A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D 为线段 → BC 中点,则向量DA的坐标为________. 解析 → 1 → → → → 1? ? 1 ? ? 依题意知OD=2(OB+OC)=2(2,1)= 1,2 ,则DA=OA-
? ?

→ 1? ? 11? ? OD=(2,-5)-?1,2?=?1,- 2 ?.
? ? ? ?

11? ? 答案 ?1,- 2 ?
? ?

→ → → 9.若点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)且AD=2AB-3BC,则点 D 的坐标为________. → → → 解析 设 D(x, y), 则AD=(x+1, y-2)=2AB-3BC=2(3,1)-3(1, -4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14),∴x+1=3 且 y-2=14,∴x=2,y =16. 答案 (2,16)

→ 10.已知 O 为坐标原点,点 A 在第一象限,|OA|=4 3,∠xOA= → 60° ,则向量OA=________. → 解析 设OA=(x,y),则 x=4 3 cos60° =2 3,

→ y=4 3 sin60° =6,∴OA=(2 3,6). 答案 (2 3,6)

11.已知 2a+b=(-4,3),a-2b=(2,4),求 a,b. 解 ∵2a+b=(-4,3), ∴4a+2b=(-8,6). 又 a-2b=(2,4), ∴(4a+2b)+(a-2b)=(-8,6)+(2,4). ∴5a=(-6,10).
? 6 ? ∴a=?-5,2?. ? ?

又 b=(2a+b)-2a
? 6 ? =(-4,3)-2?-5,2? ? ? ? 8 ? =?-5,-1?, ? ? ? 6 ? ? 8 ? ∴a=?-5,2?,b=?-5,-1?. ? ? ? ?

→ → → 12.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试求 t 为何 值时, (1)点 P 在 x 轴上; (2)点 P 在 y 轴上; (3)点 P 在第一象限. 解 ∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), → → ∴OA=(1,2),AB=(3,3). → → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).

(1)若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0, 2 ∴t=-3; (2)若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0, 1 ∴t=-3;
? ?1+3t>0, (3)若点 P 在第一象限,则? ?2+3t>0, ?

1 ∴t>-3. → 13.已知 A,B,C 三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),AE= 1→ → 1→ 3AC,BF=3BC. → (1)求点 E,F 及向量EF的坐标; → → (2)求证:EF∥AB. 解 → → → → 1→ (1)设 O(0,0),则OE=OA+AE=OA+3AC

1 =(-1,0)+3(2,2)
? 1 2? =?-3,3?, ? ?

→ → → → 1→ OF=OB+BF=OB+3BC
?7 ? 1 =(3,-1)+3(-2,3)=?3,0?, ? ? ? 1 2? ?7 ? ∴E?-3,3?,F?3,0?. ? ? ? ?

→ → → ?8 2? ∴EF=OF-OE=?3,-3?.
? ?

→ → → (2)证明:∵AB=OB-OA=(4,-1), → ?8 2? EF=?3,-3?
? ?

→ 3?8 2? 3 → ? ? ,- ∴AB=2 3 3 =2EF.
? ?

→ → ∴EF∥AB.


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