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山东省济南市2015届高三二模数学试题(文)


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高三针对性训练

数学(文科)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: (知金文化培训学校 http://www.tazjgkfd.com 友情提供

) 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 第 I 卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位.若复数 z 满足 z ? A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i

25 ,则 z 的共轭复数 z 为 3 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i

2 2.设集合 U ? R, A ? x y ? ln ?1 ? x ? , B ? x x ? 3 x ? 0 , 则A ? CU B ?

?

?

?

?

A. x 0 ? x ? 1 C. x 0 ? x ? 3

?

? ?

B. D.

? x 1 ? x ? ?? ? x x ? 1?
uuu r

?

3.已知点 M ?1,1? , N ? 4, ?3? ,则与向量 MN 共线的单位向量为 A. ? , ?

?3 ?5

4? ? 5? 4? 5? ? 3 4? ? 5 5?

B. ? ? ,

? 3 4? ? ? 5 5? ?4 ?5
?x

C. ? , ? ? 或 ? ? , ?

?3 ?5

D. ? , ? ? 或 ? ? , ?
x

3? 5?

? 4 3? ? 5 5?

4.已知命题 p:对于 ?x ? R ,恒有 2 ? 2 点.则下列结论正确的是 A. p ? q 为真 B.

? 2 成立,命题 q:奇函数 f ? x ? 的图象必过原
C. p ? ? ?q ? 为真

? ?p ? ? q 为真

D. ? p 为真

5. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 x ? ? 0,1? 时 ,

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? 2015 ? f ? x ? ? 3x ? 1,则f ? ?? ? 2 ?
A. C.

3 ?1 3 ?1

B. ? 3 ? 1 D. ? 3 ?1

6.执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值为 2,则输 出的 i 值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知正实数 m, n 满足 m ? n ? 1 ,且使 最小值.若曲线 y ? x 过点 P ?
a

1 16 ? 取得 m m

?m n? , ?,则? 的值为 ? 5 4?
D.3

A. ?1

B.

1 2

C.2

8.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图中圆的直 径为 4, 该几何体的体积为 V1 .直径为 6 的球的体积为 V2 , 则 V1:V2 = A.1:2 C.1:3 9. 已知 F1 , F2 是双曲线 B.2:27 D.4:27

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左, a 2 b2
bx 对称,则该双曲线的离心率为 a

右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y ?

A.

2

B.

5 2

C.

5

D.2

10. 已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c在x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 3 2 a ? 2b ? 4 x1 ? ? ?1, 0 ? , x2 ? ? 0,1?,则 的取值范围是 a?2

A.

? 0, 2 ?

B. ?1,3?

C.

?0,3?

D. ?1,3?

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某班有学生 55 人,现将所有学生按 1,2,3,?,55 随机编号.若采用系统抽样的方法抽 取一个容量为 5 的样本,已知编号为 6, a, 28, b,50 号学生在样本中,则 a ? b ? _______.

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2 12.函数 f ? x ? ? log 2 4 ? x 的值域为_______.

?

?

13.如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin ?? x ? ? ?? x ? R, ? ? 0? 的 图 象 的 一 个 最 高 点 , M,N 是 图 象 与 x 轴 的 交 点 . 若

uuu r uuu r PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为________.
14.已知圆 C1 : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2,圆C2与圆C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的
2 2

方程为_________. 15. 定 义 f

? x? ? ? x ? ( ? x? 表 示 不 小 于

x 的最小整数)为“取上整函数” ,例如

?1.2? ? 2,?4? ? 4. “取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车
收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序 号是_________(请写出所有真命题的序号). ① f ? 2x ? ? 2 f ? x ? ; ②若 f ? x ? ? f ? y ? 则 x ? y ? 1 ; ③任意 x, y ? R, f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ; ④ f ? x? ? f ? x ?

? ?

1? ? ? f ? 2x ? ; 2?

⑤函数 f ? x ? 为奇函数. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 b cos C ? ? 2a ? c ? cos B . (I)求角 B 的大小; (II)若 a, b, c 成等差数列,且 b=3,试求 ?ABC 的面积. (泰安知金复读校 http://www.tazjgkfd.com 友情提供) 17. (本小题满分 12 分) 济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作,准备在 A 和 B 两所大学分别招募 8 名和 12 名志愿者,将这 20 名志愿者的身高编成如右茎叶图(单位:cm).若身高 在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高精灵” ,身高 在 175cm 以下 (不包括 175cm)定义为“帅精灵”. 已知 A 大学志愿者的身高的平均数为 176cm,B 大学 志愿者的身高的中位数为 168cm. (I)求 x , y 的值;

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(II)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人. 求至少有一人为“高精灵”的概率. 18.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是菱形,DE ? DC ,平面 DEC ? 平面 ABCD. (I)求证: AC ? 平面 BDE; (II)若 AF//DE, AF ?

1 DE ,点 M 在线段 BD 上,且 3

DM ?

2 BD ,求证:AM//平面 BEF. 3

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足, a1 ? a2 ? a3 ? 9, a2 ? a8 ? 18 .数列 ?bn ? 的前 n 和为 Sn ,且满足

Sn ? 2bn ? 2 .
(I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)数列 ?cn ? 满足 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn . bn

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 为e ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 3 y 的焦点, 且离心率 a 2 b2

1 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,过椭圆 C 的右焦点作直线 l / / AB 交椭圆 C

AB 于 M,N 两点.试问 是否为定值,若为定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理 MN
由. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

2

1? a ? a ln x . x

(I)若函数 y ? f ? x ? 的图象在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (II)在(I)的条件下方程 f ? x ? ? b 在区间 ?1, e? 上两个不同的实数根,求实数 b 的取值范 围; (III)若在区间 ?1, e? 上存在一点 x2 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

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2015 届高三教学质量调研考试 文 科 数 学 参考答案
一、选择题

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DACCB
二、填空题 11. 56

CBDCB
12.

? ??, 2?

13.

? 4

14.

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

?2

15.②③

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)由题意得 sin B cosC ? (2 sin A ? sin C ) cos B ,-----------------------1 分

sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin A cos B ,sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B, -----------------------3 分 sin A ? 2 sin A cos B ,因为 0 ? A ? ? , sin A ? 0 ,所以 cos B ?
因为 0 ? B ? ? ,所以 B ?

1 , 2

? .---------------------6 分 3

(Ⅱ)由题意 a ? c ? 2b ? 6 ,---------------------7 分 又 3 ? a ? c ? 2ac cos
2 2 2

?
3

,得 ac ? 9 ,---------------------10 分

S?ABC ?

1 1 3 9 3 .---------------------12 分 acsin B ? ? 9 ? ? 2 2 2 4

17. 解: (Ⅰ)由题意得:

159+168+170+170 ? x ? 176 ? 182 ? 187 ? 191 ? 176, -------------------2 分 8 160+y ? 169 ? 176 -------------------4 分 2
解得: x ? 5, y ? 7 -------------------5 分 (Ⅱ)由题意知“高精灵”有 8 人, “帅精灵”有 12 人. 如果用分层抽样的方法从“高精 灵”和“帅精灵”中抽取 5 人,则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为:

8?

5 5 ? 2 和 12 ? ? 3 -------------------6 分 20 20

记抽取的“高精灵”为 b1 , b2 ,抽取的“帅精灵”为 c1 , c2 , c3 . 从已抽取的 5 人中任选两人的所有可能为:

(b1,b2 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ) ,
(b2 , c1 ),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ),(c1, c2 ),(c1, c3 ),(c2 , c3 ), 共 10 种. -------------------8 分
设“选取的两人中至少有一人为“高精灵” ”为事件 A ,则事件 A 包括

(b1, b2 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ) ,
(b2 , c1 ),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ) ,共 7 种. -------------------10 分
所以 P ( A) ?

7 10

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因此,如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,,则至少有一人为“高精灵”的概率为 18. 证 明 :

7 .-------------------12 分 10
( Ⅰ ) 因 为

平面D

? 平面 E

C A ? 平面 B ABCD C ? DC , , DE ? DC , 平面DEC

D

DE ? 平面DEC , 所以 DE ? 平面 ABCD ,又 AC ? 平面ABCD , 所以

DE ? AC --------------------------------------2 分
因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD , 又 BD

DE =D , BD, DE ? 平面BDE

从而 AC ? 平面 BDE .------------------------------------ 5 分 (Ⅱ)法一:延长 EF、DA 交于点 G ,---------------6 分

1 GA AF 1 DE ,所以 ? ? ----------------------------- 7 分 3 GD DE 3 2 1 BM 1 因为 DM ? BD ,所以 BM ? BD ,因此 ? , 3 3 BD 3 BM GA 1 所以 ? ? -------- 9 分 BD GD 3
因为 AF // DE , AF ? 所以 AM // GB ,-------- 10 分 又 AM ? 平面 BEF , GB ? 平面 BEF ,所以 AM // 平面 BEF .--------------------12 分 (Ⅱ) 法二: 在 ?EDB 中, 过 M 点作 MN // DE, MN ? BE ? N , 连接 FN , ----------------6 分 因为 AF //DE ,所以 MN // AF ,----------------------------------------7 分 因为 DM ?

2 1 MN BM 1 AF 1 BD ,所以 BM ? BD , ? ? ,又 ? ,所以 MN ? AF , DE 3 3 DE BD 3 3

所以四边形 AMNF 为平行四边形,------------------------------------10 分

AM // FN , 因 为 AM ? 平 面 BEF , FN ? 平 面 BEF , 因 此 AM // 平 面
BEF .----------------------12 分
19. 解:(I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 ? 分

?a2 ? 3 ? 3a2 ? 9 ,得 ? ,------------------------2 ?a5 ? 9 ?2a5 ? 18

a5 ? a2 ? 6 ? 3d ,得 d ? 2 , an ? a2 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 .-----------------3 分

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当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 2 ,得 b1 ? 2 ,

Sn ? 2bn ? 2 ? ,两式相减得 bn ? 2bn?1 ,又 b1 ? 2 ? 0 , ? ?Sn ?1 ? 2bn ?1 ? 2(n ? 2)
所以数列 ?bn ?是首项为 2,公比为 2 的等比数列, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n , 数列 ?an ? 和 ?bn ?的通项公式分别是 an ? 2n ?1, bn ? 2n .----------------------------6 分 (II) cn ?

an 2n ? 1 ? ,------------------------------7 分 bn 2n

Tn ?

1 3 2n ? 1 ? 2 ?? ? n , 2 2 2

1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 , 2 2 2 2n 2
所以 Tn ?

1 2

1 2 2 2 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ,---------------------8 分 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n?1 ) 1 2n ? 1 2 ? ?2 ? n?1 ,-------------------------9 分 1 2 2 1? 2
? 3 2n ? 3 ? -----------------------------------11 分 2 2 n?1 2n ? 3 .--------------------------12 分 2n

所以 Tn ? 3 ?

20. 解:(I)抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为 (0, 3 ) 由题意得 b ? 由

3 ,---------------------1 分

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2 --------------------.3 分 a 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .-------------------4 分 4 3 2b 2 ? 1, a

2 2 (II)当直线 l 斜率不存在时, | AB | ? (2b) ? 4 , | MN |?

| AB | 2 ? 4 .-------------------------------5 分 | MN |
当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0) ,

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? x2 y2 ? ? ? 1 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 由? 4 3 ? ? y ? k ( x ? 1)

? ? (?8k 2 ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4k 2 ? 12) ? 0 ,
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ,-----------7 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

? 8k 2 2 4k 2 ? 12 ? 12(k 2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) ?( ) ? 4 ( )? ? .--------10 分 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k
? x2 y2 ? ? ? 1 ,得 x 2 ? 12 . 由? 4 3 3 ? 4k 2 ? ? y ? kx
设 A( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ) , x3 ?
2 2 2
2

12 , 3 ? 4k 2
2 2

| AB | ? (1 ? k )(x3 ? x4 ) ? (1 ? k )(2x3 ) ?
| AB | 2 48(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 ? ? ? 4. | MN | 3 ? 4k 2 12(1 ? k 2 )

48(1 ? k 2 ) .----------------------12 分 3 ? 4k 2

| AB | 2 综上所述, 为定值 4. ---------------------13 分 | MN |

21. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) , f ( x) ? 1 ?
'

1? a a ? .-----------------2 分 x x2

由题意 f (1) ? 1 ?
'

1? a a ? ? ?2 ,解得 a ? 1 .----------------3 分 1 12

(II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,当 a ? 1 时,

f ( x) ? x ?

2 2 1 ( x ? 1)( x ? 2) ? ln x , f ' ( x) ? 1 ? 2 ? ? .---------------------4 分 x x x x2
'

在 (1,2) 上, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 在 ( 2, e) 上, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,----------------------------5 分
'

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2 f (1) ? 3, f (e) ? e ? 1 ? , f (1) ? f (e) , f (2) ? 3 ? ln 2 . e
由题意 f (2) ? b ? f (e) ,即 3 ? ln 2 ? b ? e ? 1 ?

2 .----------7 分 e

(Ⅱ)在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立等价于 f ( x) min ? 0, ( x ? [1, e]) ,

f ' ( x) ? 1 ?

1 ? a a ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? ? , x x2 x2

' ①当 a ? 1 ? 1 时,即 a ? 0 ,在 (1, e) 上 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,

f ( x) min ? f (1) ? 2 ? a ? 0 ,可得 a ? ?2 .-------------------------------8 分
' ②当 1 ? a ? 1 ? e 时,即 0 ? a ? e ? 1 ,在 (1,1 ? a) 上, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,

在 (a ? 1, e) 上, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,
'

f ( x) min ? f (a ? 1) ? 2 ? a ? a ln(a ? 1) ,----------------------------------------10 分
1 ? a) ? 1,所以 0 ? a ln(1 ? a) ? a , f (a ? 1) ? 2 ? a ? a ln(a ? 1) ? 2 , 因为 0 ? ln(
此时 f (a ? 1) ? 0 ,不成立. --------------------------------------11 分
' ③当 a ? 1 ? e 时,即 a ? e ? 1 时,在 (1, e) 上 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,

f ( x) min

1? a e2 ? 1 ? f (e) ? e ? ? a ? 0 ,可得 a ? , e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 a ? 因为 ,所以 .----------------------------------------13 分 e ?1 e ?1
综上可得,所求实数 a 的取值范围是 (??,?2) ? (

e2 ? 1 ,??) .------------------------14 分 e ?1


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