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2014届成都二诊文科数学试题及答案


启用前☆绝密【考试时间:2014 年 3 月 20 日下午 3:00~5:00】

成都市 2011 级高中毕业班第二次诊断性检测

数 学(文史类)
本试卷分选择题和非选择题两部分,第 I 卷(选择题)第 1 至 2 页,第 II 卷(非选择题) 3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名,考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦拭干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上做答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的.

,或x>2 ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? x 0<x ? 3 , B ? x< - 1
(A) ?2,3? (C) ?- 1,3?

?

?

?

?

- 1? ? ?0, ? ?? (B) ?- ?, 0? ? ?2, ? ?? (D) ?- ?,

2.设复数 z ? 3 ? i (i 为虚数单位)在复平面中对应点 A,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 0° 得到 OB,则点 B 在 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限

3.执行如图的程序框图,若输入的 x 值为 7,则输出的 x 的值为 (A)2 (B)3 (C) log 2 3 (D)

1 4

?y ?1 ? 4.在平面直角坐标系 xoy 中, P 为不等式 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域上 ?x ? y ?1 ? 0 ?
一动点,则直线 OP 斜率的最大值为 (A)2 (B)1 (C)

1 2

(D)

1 3

5.已知 ? , ? 是两个不同的平面,则“平面 ? // 平面 ? ”成立的一个充分条件是 (A)存在一条直线 l , l ? ? , l // ? (C)存在一条直线 l , l ? ? , l ? ? 6.下列说法正确的是 (B)存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? (D)存在一个平面 ? , ? // ? , ? ? ?

1 ,则 x>1 ”否命题为“若 x >1 ,则 x ? 1 ” (A)命题“若 x >
2 2

(B)命题“若 x0 ? R, x0 >1 ”的否定是“ ?x ? R, x0 >1 ” (C)命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题为假命题 (D)命题“若 x ? y, 则 cosx ? cos y ”的逆命题为假命题 7.已知实数 1 ,m, 4 构成一个等比数列,则圆锥曲线

2

2

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m
2 或 3 2
(D)

(A)

2 2
2

(B) 3
2

(C)

1 或3 2

8.已知 P 是圆 ? x ? 1? ? y ? 1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,若

OP ? d ,则函数 d ? f ?? ? 的大致图像是

9.已知过定点 ?2,0 ? 的直线与抛物线 x ? y 相交于 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ? 两点.若 x1 , x2 是方程
2

x 2 ? x sin ? ? cos? ? 0 的两个不相等实数根,则 tan? 的值是
(A)

1 2

(B) -

1 2

(C)2

(D)-2

?2 x?1 ? 1,0<x ? 2 ? 10.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x>0 时, f ( x) ? ? 1 . 则关于 x 的方 ? f ( x ? 2), x>2 ?2


6? f ?x ?? ? f ? x ? ? 1 ? 0 的实数根个数为
2

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所 示,如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学,则这两名同学成绩相同 的概率是____. 12. 如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图,则这个圆锥的侧面积为 _______. 13. 已知定义在 ?0. ? ? ? 上的函数 f ( x) ? 3 ,若 f (a ? b) ? 9 ,则
x

f (ab) 的最大值为_____.
14. 如图,在平行四边形 ABCD 中, BH ? CD 于点 H , BH 交 AC 于 点 E ,已知 BE ? 3 , AB ? AC ? BE ? CB ? AE ? 15 ,则 ? ? ________. 15. 已知单位向量 i, j 的夹角为 ? ? 0<?< ,且? ?
2

? ?

?

??

2

若平面向量 a ?, 2?

满 足 a ? xi ? yj?x, y ? R ? , 则 有 序 实 数 对 ? x, y ? 称 为 向 量 o 在 “ 仿 射 ” 坐 标 系

Oxy?O为坐标原点?下的“仿射”坐标,记作 a ? ?x, y ?o .有下列命题:
①已知 a ? ?2,1?o , b ? ?1,2?o ,则 a ? b ? 0 ; ②已知 a ? ? x, y ?? , b ? ?1,1?? ,其中 xy ? 0 ,则且仅当 x ? y 时,向量 a ? b 的夹角取得最
2 2

小值; ③ 已 知

a ? ?x1, y1 ?? , b ? ?x2 , y2 ? , 则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ??

; ④ 已 知

2

OA ? ?0,1?? , OB ? ?1, 0?? ,则线段 AB 的长度为 2 sin 2
2

?
2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin? wx ?

? ?

??

2 ? ? 2 sin wx?w>0? ,已知函数 f ( x) 6?

的图像的相邻对称轴的距离为 ? . ( I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)若△ ABC 的内角为

A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ( 其 中 b<c ) , 且 f ( A) ?
S ? 6 3,a ? 2 7 ,求 b, c 的值.

3 , △ ABC 面 积 为 2

17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 2 , 其 前 n 项 和 为

Sn ? pn2 ? 2n, n ? N ? .
(I)求 P 的值及 an ; (II)在等比数列 ?bn ? 中, b3 ? a1 , b4 ? a2 ? 4 ,若等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。求证: 数列 ?Tn ? ? 为等边数列. 18.(本小题满分 12 分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明 治疗越好.若使用时间小于 4 千小时的产品为不合格产品;使用时间在 4 千小时到 6 千小时 (不含 6 千小时)的产品为合格品;使用时间大于或等于 6 千小时的产品为优质品.某节能 灯生产厂家为了解同一类型号的某批次产品的质量情况,随机抽取了部分产品作为样本,得 到实验结果的频率直方图如图所示 .若上述实验结果中使用时间落入 各组的频率作为相应的概率. (I)若该批次有产品 2000 件,试估计该批次的不合格品,合格品, 优质品分别有多少件? (II)已知该节能灯生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实习 “三包”.通过多年统计可知:该型号节能灯每件产品的利润

? ?

1? 6?

y ?单位:元? 与 使 用 时 间 t ?单位:千小时? 的 关 系 式 为

?- 20, t<4 ? y ? ?20,4 ? t<6 .现从大量的该型号节能灯中随机抽取一件,其利润 ?40,t ? 6 ?
记为 X 单位:元 ,求 X ? 20 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∠BCA=90°,AA1 ? AC

?

?

? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D .
(I)求证: AC1 ? BA1 ; (II)求四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积. 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ln x, a ? R.
2 2

?

?

(I)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)当 a ? -1 时,令 F ?x ? ? 底数; (III)若函数 f ? x ? 不存在极值点,求实数 a 的取值范围.

f ?x ? ? x ? ln x ,证明: F ?x ? ? ?e?2 ,其中 e 为自然对数的 x ?1

? 3 ,平面上一动 21.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知 M 0,3 , N 0,

?

? ?

?

点 P 满足 PM ? PN ? 4 ,记点 P 的轨迹为 P .(I)求轨迹 P 的方程; (II)设过点 E ?0, 1? 且 不垂直于坐标轴的直线 l1 : y ? kx ? b1 与轨迹 P 相交于 A, B 两点,若 y 轴上存在一点 Q ,使 得直线 QA, QB 关于 y 轴对称,求出点 Q 的坐标; (III)是否存在不过点 E ?0, 1? ,且不垂直 坐标轴的直线 l ,它与轨迹 P 及圆 E : x ? ? y ? 1? ? 9 从左到右依次交于 C , D,F , G 四点,
2 2

且满足 ED ? EC ? EG ? EF ?若存在,求出当△ OCG 的面积 S 取得最小值时 k 的值;若
2

不存在,请说明理由.


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