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基于Matlab的概率论仿真实验


DOI :10.3969/j.issn.1001-8972.2011.22.022

基于 Matlab 的概率论仿真实验
杨宇明 电子科大数学科学学院,四川 成都 610054

Probability Theory Simulation On Matlab
Yang Yuming University of Elec

tronic Science and Technology of China, Chengdu,Sichuan,610054,China
摘 要 概率论中有些重要的结论在直观上比较抽 象,接受起来较为困难。本文就其中几个 结论通过 Matlab 仿真,将其以形象的方式 展示出来,使得结论更易于理解。 关键词 matlab 仿真;  概率论;  函数分布;  中心极 限定理 Abstract Some important conclusions in probability theory are abstract, they are difficult to accept. This paper vividly displayed them by simulation on matlab, makes the conclusions more easily understood. Key words simulation on Matlab; probability theory; the distribution of function; central limit theorem C 语言通常用命令 rand()和 srand()组合生 成随机数,仅能生成均匀分布的随机数,如 果要生成其它类型的随机数,要借助于统计 计算方法[1],自己编写程序。而 Matlab 语言 则提供了异常丰富的随机数生成命令 r a n d () 、random()、binornd()、frnd()、geornd()、 normrnd()、poissrnd()、trnd()、unifrnd()……, 囊括了几乎所有常见的分布,借助于 Matlab ,我们可以直接生成指定参数的任何 常见分布类型的随机数,这为做实验带来很 大的便利。在做随机仿真实验时,实验者可 以有更多的精力专注于模拟问题本身,而不 必关心一些底层问题,因此 Matlab 语言是做 随机仿真的不二之选。 本文针对概率论教学中几个比较抽象的 结论,通过 matlab 仿真,将结论用图形模拟 出来,通过图形这种形象的方式,加深巩固 理解概率论定理。 该例做了 100000 次实验,运行结果如图 1 所示,直方图高度为 Min(X,Y) 落入下面相 应区间的频率。图 1 表明:两个同为(0,1) 区 间的均匀分布,最小值 Min(X,Y)的分布规律 应该是线性递减。实际上 Min(X,Y)的概率密 度为:

可以看到,当 z 在区间(0,1) 时,概率密 度是线性减函数,仿真结果与之吻合很好。 再考虑一个离散的例子:抛掷两个均匀的骰 子,考虑最小点数的分布。在等可能的 36 个 样本点中,1~6 作为两点中最小值出现的次 数为 11 、9 、7 、5 、3 、1 ,也是呈现出一个 线性递减的规律。这个例子不需要写程序, 实际生活中都可以亲自实验,最终的结论是 类似的。 图 2~4 分别为为 Max(X,Y)、X+Y、X/ Y 的频率分布仿真结果,图 3 表明 X+Y 出现 1 的频率最大,离 1 越远,出现频率越低,图 4 表明 X/Y 在区间(0,1) 中各个位置出现频率 相等,然后随着取值逐渐增大,出现频率越 来越低。这些结论都可以由函数的概率密度 得到验证。 通过该例的思考,我们在讨论其它类型 的随机变量的分布规律与其函数的分布规律 的联系和区别的时候,也可以通过仿真结果 形象地认识函数的分布规律。

点。 采用 Matlab 做概率统计实验仿真,可以 观察相互独立同分布的随机变量序列部分和 的变化趋势,也可以观察二项分布中参数 n 增大时的变化趋势。引导学生参与进来,一 起编写、运行程序,最后观察结果,等同于 让学生重新发现定理。经过这样一个过程, 学生对理论的理解就深刻地多,运用起来也 就熟练地多。 以 p=0.7 ,n 分别取 10、40、70 为例,在 同一图形窗口中显示二项分布分布律与相应 正态分布概率密度曲线,如图 5,程序如下: % 棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理仿真 p = 0.7;m=[]; for n = 10:30:70 pf = pdf('bino',0:n,n,p);[4] plot(0:n,pf,'*'),hold on pfn = pdf('norm',0:n,n*p,sqrt(n*p* (1 - p))); plot(0:n,pfn,'r') m=[m,mean(abs(pf-pfn))]; end %end 仿真结果表明:二项分布会随着 n 的增 加,逐渐近似为正态分布,这种近似误差的 绝对值的平均值有越来越小的趋势,这点从 程序中 m 各分量的变化趋势可以看出。而 且,通过仿真实验,可以很容易得到二项分 布近似成正态分布时的参数对应关系。至于 列维 - 林德伯格中心极限定理的仿真,本文 不再赘述,有兴趣的读者可以自己编写仿真 程序。

3 、结论
Matlab 做概率论仿真实验具有很大的优 势,利用 Matlab 可以写出简洁实用的仿真程 序,实验结果可以通过 Matlab 直观地可视化 表现出来,抽象的结论通过 Matlab 仿真更容 易理解。仿真实验可以在教师课堂教学中增 加教学效果,也可以让学生自学概率论时帮 助理解内容。
参考文献 [ 1 ] 茆诗松主编. 统计手册[ M ] . 科学出版 社,2003:1008-1014 [ 2 ] 黎玉芳. 中心极限定理的教学方法探 讨. 中国科技信息[ J ] ,2 0 1 0 ( 2 4 ) , 2 2 0 - 2 2 1 [ 3 ] 许芳中等. 大数定律及中心极限定理 的教学课程设计探讨. 科技资讯[ J ] , 2 0 1 0 (36),227

2 、中心极限定理
正态分布不但在理论上具有重要的地 位,在实际中也有大量的随机变量服从正态 分布,中心极限定理从理论上说明了缘由。 课堂上一般介绍两个中心极限定理:棣莫 弗 - 拉普拉斯中心极限定理和列维 - 林德伯 格中心极限定理。教学中发现学生总是不容 易接受和运用定理,文献[2][3] 中也有提到这

1 、随机变量函数的分布
有些时候,随机变量本身不能直接测量 得到,但是它可能是能够测量到的随机变量 的函数,在实际中,常常对随机变量的函数 感兴趣。随机变量的函数的取值范围比较容 易得到,但是其分布通常并不直观。 教学中,我们通常考虑的函数有最大 值、最小值、和、商,共四种情形。主要讨 论由自变量的统计规律来推导函数的统计规 律,由于随机变量内在的随机特性,其函数 的统计规律往往理解起来较为抽象,一般要 从公式推导才能得到。大数定律告诉我们, 随着实验次数的增加,事件发生的频率稳定 于事件发生的概率,因此利用 Matlab 做随机 实验的仿真,可以借助于随机变量的频率分 布图来观察随机变量函数的概率分布规律。 以下为四种常见函数的仿真: 自变量均采用均匀分布,即:X ~U(0, 1) ,Y~U(0,1), 考虑 Min(X,Y) 、Max(X,Y) 、 X+Y、X/Y 的分布。以 Min(X,Y)为例,matlab 仿真程序如下: %min(X,Y)频率分布图 n=100000; datas = rand(2,n) ; s = min(datas); st = hist(s,20); bar(0:1/19:1,st/n)%end

图1

图2

图3

图4

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