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北京师大附中2009—2010学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷(通用版)


北京师大附中 2009—2010 学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,满分为 110 分,考试时间为 120 分钟 卷I 一、选择题(共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) : 1.在△ABC 中,若∠A=60°,b=3,c=8,则其面积等于( A.12 B. 12 3 C. 8 3 ) D. 6 3 ) D.30°



2.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(c ? b ? a ) ? 3bc ,则∠A=( A.150° 3.在△ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形 4. 若 B.120° C.60°

sin A ? 2 cos B ,则△ABC 的形状是( sin C
B.等边三角形 D.不能确定

1 1 b a a2 ? ? 0, ? 2a ? b 则下列不等式: ① | a |?| b | ; ② a ? b ? ab ; ③ ? ? 2; ④ a b a b b
) C.3 个 D.4 个 B.2 个

中,正确的不等式有( A.1 个

5. 已知等差数列 {a n } 中,a 1 ? a 4 ? a 7 ? 39 ,a 3 ? a 6 ? a 9 ? 27 , 则 {a n } 前 9 项的和 S9 等于( A.66 ) B.99 C.144 D.297

6.在 R 上定义运算⊙:a⊙b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x⊙ ( x ? 2) ? 0 的实数 x 的取值范围 为( ) B. (-1,2) D. (-2,1) )

A. (0,2) C. (??,?2) ? (1,??)

7.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 a 5 ? 18 ? a 4 ,则 S8 等于( A.144 B.72
a b

C.54

D.36

8.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.8 B.1 C.

1 1 ? 的最小值为( a b
D.4



1 4

二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) : 9.等比数列 {a n } 中,若 a 1 , a 10 是方程 3x ? 2x ? 6 ? 0 的两根,则 a 4 ? a 7 =__________。
2

10.不等式 (x ? 1)(x ? 3x ? 2) ? 0 的解集是__________________。
2

11. 已知数列 {a n } 中,a 1 ? 1, na n ?1 ? (n ? 2)a n , 则其通项公式为 a n ? ______________。 12.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°相距 20 海里处,随后货轮按 北偏西 30°的方向航行,半小时后,货轮航行到 N 处,又测得灯塔在货轮的北偏东 45°, 则货轮的速度是_________________________海里/小时。

13.若数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,则 a n ? ?

(n ? 1) ?S1 ,若数列 {b n } 的前 n 项 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

积为 Tn ,类比上述结果,则 b n ? _________________ ,此时,若 Tn ? n 2 (n ? N* ) ,则

b n ? _______________。
14.将奇数依顺序排列成如图所示的三角形数阵,从上到下称为行,图中数 11 为第 3 行、 从左向右数的第 2 个数;数 29 为第 4 行、第 6 个数。那么,2009 为第___________________ 行、第___________________个数。

卷 II 三、解答题(共 6 个小题,共 44 分) 15.在△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 16.解不等式

x?a ? 0。 x ? a ?1
2

cos C 3a ? c ? ,求 sin B 的值。 cos B b

17.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? n ? n ? 1 。求: (1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn 。 ? a n a n ?1 ?

18.某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元。今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本) ,预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为

g(n ) ?
元。

8 n ?1

(n ? Z且n ? 0) ,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n ) 万

(1)求出 f (n ) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 19.数列 {a n } 中, a 1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? (1)设 b n ? (2)设 c n ?

1 。 2n

an ,求 b n 的通项公式; 2n
3 nb n ,求 c n 的前 n 项和 Tn ; 2

20.已知函数 f (x) ? ?2x 2 ? 6(m ? 1)x ? m 2 (1)若 f ( x ) ? 0 的两个根一个比 1 大,一个比 1 小,求 m 的取值范围; (2)若当 m ? ?1 时 f (x) ? n ? 6an ? 1 对所有 a ? ?? 1,1? 恒成立,求 n 的取值范围。
2

附加题: 1.依将将正整数 1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在 第 1 个位置的数字是 1,排在第 5 个位置的数字是 6,排在第 10 个位置的数字是 4,排在第 2010 个位置的数字是_____________________。 2.在 Rt△ABC 中,c,r,S 分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,求

cr 的取值范围。 S

【试题答案】 北京师大附中 2009—2010 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷参考答案
1.D 5.B 9.-2 11. 2.C 6.D 3.A 7.B 4.C 8.D

10. {x | x ? 2或x ? 1} 12. 20 6 ? 2

n ( n ? 1) 2

?

?

?T1 ? 13. b n ? ? Tn ?T ? n ?1
14.32 行 15.答案:

?1 ? ; bn ? ? n 2 (n ? 2) ? ( n ? 1) 2 ?

(n ? 1)

( n ? 1) ( n ? 2)

第 44 个

2 2 3 1 16.当 a ? 时,解集为 (??,1 ? a ) ? ?a,??? 2
当a ? 当a ?

1 1? ?1 ? ? 时,解集为 ? ? ?, ? ? ? ,?? ? 2 2? ?2 ? ? 1 时,解集为 ?? ?, a ? ? ?1 ? a,??? 2
2

17.解: (1)∵ Sn ? n ? n ? 1 ∴ n ? 1 时, a 1 ? S1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3

n ? 2 时, a n ? Sn ? Sn ?1

? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n
∴an ? ?

?3 (n ? 1) ?2n (n ? 2)
1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? a n a n ?1 4n(n ? 1) 4 ? n n ? 1 ?

(2) n ? 2 时,

∴ Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? a 1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n ?1

1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 12 4 ? 2 3 3 4 n n ? 1? 1 1 n ?1 ? ? ? 12 8 n ? 1 5n ? 1 ? (n ? 2) 24(n ? 1) ?
又 T1 ?

1 5n ? 1 满足此式,∴ Tn ? (n ? N * ) 12 24(n ? 1)

18.解: (1) f (n) ? (100 ? 10n)?10 ?

? ?

? ? ? 100n n ?1 ? 8

(2)由 f (n) ? (100 ? 10n)?10 ?

? ?

? ? ? 100n ? 1000? 80 n ?1 ? 8

9 ? ? n ? 10 ? ? ? ? ? 1000? 80? n ? 1 ? ? ? 1000? 80 ? 2 9 ? 520 n ?1 ? ? n ?1 ? ?
当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号

答:第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元。 19. (I)数列 {b n } 的通项公式: b n ? (II)由(I)知, c n ? n ?

2 1 (1 ? n )( n ? N * ) 3 4

n 分组,错位相减法得 4n n (n ? 1) 4 3n ? 4 1 Tn ? ? ? ? n 2 9 9 4 20.解: (1) 2 ? m ? 4
(2)当 x ? ?3 时, f ( x ) 取最大值 17 所以只需 17 ? n ? 6an ? 1 对所有 a ? ?? 1,1? 恒成立,
2

即 6na ? n ? 1 ? 17 对所有 a ? ?? 1,1? 恒成立。
2

当 n ? 0 时不等式不成立 ∴n ? 0
2 ? ?17 ? n ? 6n ? 1 只需 ? 2 ? ?17 ? n ? 6n ? 1

解得 n ? ?8 或 n ? 8 附加题

1.6

2. 2 2 ? 2,1

?

?

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高一

学科 数学 G.622.475

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期数 统考试题与题解

北京师大附中 2009—2010 学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 (通用版) 北京师大附中 2009—2010 学年度第二学期高一年级期 栏目名称 名校题库 中考试数学试卷(通用版) 审稿老师 韩素果 一校 林卉 二校 审核


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