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坐标系与参数方程


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坐标系与参数方程 知识点
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

? x? ? ? x ? y? ? ? y

(? ? 0) 的作用 (? ? 0)

下 ,点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y?) ,

称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称伸缩变 换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射

线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位 ,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始 边,射线 OM 为终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐 标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系

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中取相同的长度单位,如图所示:

(2) 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 ( x, y ) , 极 坐 标 是

( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
极坐标 ( ? ,? )

点M

直角坐标 ( x, y )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆 心 在 极 点 , 半径 为 r 的圆 圆心为 ( r , 0) ,半径 为 r 的圆 圆 心 为 (r , 径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

?
2

) ,半

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

过 极 点 , 倾 斜 角为

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

? 的直线

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过点 ( a, 0) ,与极轴 垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过 点 ( a,

?
2

) ,与极

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

轴平行的直线

注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即

( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(?? , ? ? ? ),(?? , ?? ? ? ), 都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ,只要求至少有一个能满足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M (

? ?

? ? ? ? ? 5? ? ? ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , ) 等多种形式 , 其中 , 只有 ( , ) 的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4
程 ? ?? . 二、参数方程 1.参数方程的概念

, ) 可以表示为 4 4

一般地,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上, ? y ? g ( t ) ?
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对 于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从 参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程 ,求

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出另一个变数与参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ?

? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与 ? y ? g (t )

普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题, 关键在于适当地设参数, 如果选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作 匀速圆周运动,设 M ( x, y ) ,则 ?

? x ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角 度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 它的参数方程为: ? 4.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其参 a 2 b2

数方程为 ?

? x ? a cos ? (?为参数) ,其中参数 ? 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的标准方 ? y ? b sin ?

程是

? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心 2 a b ? y ? a sin ?

角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一 点的旋转角 ? 区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ?

?
2

时,相应地也有

0 ?? ?

?
2

,在其他象限内类似。

5.双曲线的参数方程

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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为

其参数方程为 ?

? x ? a sec ? ? 3? . (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程 以 坐 标 原 点 为 顶 点 , 开 口 向 右 的 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 参 数 方 程 为

? x ? 2 pt 2 (t为参数). ? y ? 2 pt ?
7.直线的参数方程 经过点 M 0 ( x0 , y0 ) , 倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ),

而过 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 。 ? y ? y0 ? t sin ?

注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数 方程为 ?

? x ? x0 ? tcos? (t为参数) , 其 中 t 表 示 直 线 l 上 以 定 点 M 0 为 起 点 , 任 一 点 ? y ? y0 ? tsin?

M ( x, y) 为终点的有向线段 M0 M 的数量, 当点 M 在 M 0 上方时,t >0; 当点 M 在 M 0 下
方时, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直 线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长 度相同。


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