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1.3(2)正弦、余弦的诱导公式(2)


1.3 正弦、余弦的诱导公式(2)

诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ) = sinα 公式三:

cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四:



其中 k∈Z
公式二: sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα

sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα

诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式. 概括如下: ? ? 2k? ? k ? Z? , ?? , ? ? ? 的三角函数值,等于? 的同名函数值,前面

加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号.

口诀: “函数名不变,符号看象限”.

给定一个角 ?,终边与角? 的终边关于直线 y ? x 对 称的角与角 ? 有什么关系?它们的三角函数之间又有 什么关系?能否说明?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?
?

公式 五

? 如何求 ? ? 的三角函数值? 2
sin(

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

y
??

P( x, y)
p4 ( y, x )

p5 ( ? y, x )

2

?
O

A(1,0)

? ?? 2

x

?

公式 六

2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

公式 五
sin(

公式 六
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

?
2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

!!!记忆规律:

?

2 2 等于?的余弦(正弦)函数值,

? ?,

?

? ?的正弦(余弦)函数值,

前面加一个把 看成锐角时原函数值的 ? 符号

3? 3? 例1. 证明:(1)sin( ? ? ) ? ? cos ? ; (2)cos( ? ? ) ? ?sin? . 2 2 3? ? 证明:(1)sin( ? ? ) ? sin[? ? ( ? ? )] 2 2 ? ? ? sin( ? ? ) ? ? cos ? ; 2 3? ? (2)cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] 2 2 ? ? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 由(1) (2)还可以得到: 3? 3? sin( ? ? ) ? sin[ ? ( ?? )] ? ? cos( ?? ) ? ? cos ? ; 2 2 3? 3? cos( ? ? ) ? cos[ ? ( ?? )] ? ? sin( ?? ) ? sin ? . 2 2

公式 五
sin(

公式 六
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式 七
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式 八
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式五 ~ 公式八可以实现正弦函数与余弦函数的互化.

诱导公式小结: 公式一 ~ 公式八都叫做诱导公式. 诱导公式总结概括为:

“奇变偶不变 ,符号看象限 ”

诱导公式:
诱导公式总结概括为:

“奇变偶不变 ,符号看象限 ”

诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ) = sinα 公式三:

cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四:

其中 k∈Z
公式二: sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα

sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα

公式五:
sin(

公式六:
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式七:
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式八:
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般步骤: 任意负角的三角函数 用公式三或一 任意正角的三角函数 用公式一

0 ~ 2π角的三角函数
用公式二或四、五、六、七、八 锐角的三角函数

例2.化简: 解: 原式 ?

11? sin(2? ? ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( ??) 2 2 . 9? cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin( ?? ? ? )sin( ??) 2 ( ? sin ? )( ? cos ? )( ? sin ? )cos[5? ? (

?

?
2

? ? )]

( ? cos ? )sin(? ? ? )[? sin(? ? ? )]sin[4? ? ( ? sin ? cos ? [? cos( ? ? )] 2
2

?
2

? ? )]

?

?

( ? cos ? )sin ? [?( ? sin ? )]sin(

?

sin ? ? ? tan ? . ?? cos ?

2

??)

? π? 3 π 3π ?α+ ?= , ≤α≤ 例3 已知 cos , 6? 5 2 2 ? ? 2π? 求 sin?α+ 3 ?的值. ? ?

π? π 2π ? 解 ∵α+ 3 =?α+6?+2, ? ? ?? ? π? π? π? 3 2π ?? ? ∴sin(α+ 3 )=sin? α+6?+2?=cos?α+6?=5. ? ? ? ?? ?
小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时,要注意沟通已 π π 知条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意6+α 与3- π π α,4-α 与4+α 等互余角关系的识别和应用.

?5 ? 例 4 已知 sin(5π-θ)+sin?2π-θ?= ? ? ? ? 4?3 cos 2π+θ?的值. ? ?
?5 ? 解 ∵sin(5π-θ)+sin?2π-θ? ? ? ?π ? =sin(π-θ)+sin?2-θ? ? ?

? ? 7 4?π ,求 sin 2-θ?+ 2 ? ?

7 =sin θ+cos θ= , 2 1 ∴sin θcos θ= [(sin θ+cos θ)2-1] 2 ? 3 1?? 7 ?2 ?? ? ? = ?? ? -1?= , 2?? 2 ? ? 8 ? ? ? ? 4π 43 ∴sin ? -θ?+cos ? π+θ ?=cos4θ+sin4θ ?2 ? ?2 ?

=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ ?3 ? 23 2 ? ? = . =1-2× 32 ?8 ?

课后作业
1. 习题1.3 B组2
2.《步步高》 1.3(二)


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正弦余弦诱导公式
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