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贵州省铜仁市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


贵州省铜仁市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (3 分)若 U={1,2,3,4,5,6,},M={1,2,5},则?UM=() A.{2,4} B.{1,3,6} C.{3,5} D.{3,4,6}

2. (3 分)已知角 α 的终边与单位圆的交点为( , A.
3

) ,则 sinα=() C. D.

B.

3. (3 分)已知 f(x)=x +2x,则 f(5)+f(﹣5)的值是() A.﹣1 B.0 C .1 4. (3 分)cos40°cos10°+sin40°sin10°等于() A. ﹣ B. C.

D.2

D.﹣

5. (3 分)下列函数中,最小正周期为 π 的是() A.y=sin2x B.y=sin C.y=cos4x D.y=cos

6. (3 分)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,且 ⊥ ,则 x 的值是() A.1 B.﹣1 C .2 D.0

7. (3 分)cos210°的值等于() A.﹣ B.
0 2 0.3

C .﹣

D.

8. (3 分)已知三个数 a=(﹣0.3) ,b=0.3 ,c=2 ,则下列结论成立的是() A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 9. (3 分)使得函数 f(x)=lnx+ x﹣2 有零点的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

10. (3 分)已知 tanα=3,则 A.﹣ B.0 C.

=() D.

11. (3 分)将函数 y=sin(x﹣ 图象向左平移 A.y=sin( x﹣

)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得

个单位,则所得函数图象对应的解析式为() ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=sin x D.y=sin( x﹣ )

12. (3 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

1﹣x

在同一直角坐标系下的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上的(注意:在试卷上作答无 效) 13. (3 分)已知向量 =( x,1) , =(2 ,2) .若 ∥ ,则 x=.

14. (3 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(1) )=.

15. (3 分)已知平行四边形 ABCD 顶点的坐标分别为 A(﹣1,0) ,B(3,0) ,C(1,﹣5) ,则点 D 的 坐标为.

16. (3 分)已知 tan(α+β)= ,tan(α﹣

)= ,那么 tan(α+

)=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (8 分)已知| |=1,| |=2, (2 ﹣3 )?(2 + )=﹣12. (1)求 与 的夹角 θ; (2)求| +2 |的值.

18. (8 分)已知 α,β 都是锐角,且 sinα= ,cosβ= (1)求 cosα,sinβ 的值; (2)求角 tan(α+β)的值.



19. (8 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A>0,|φ|<

,ω>0)的图象的一部分如图所示.

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的单调减区间及对称轴方程. 20. (8 分)已知函数 f(x)=log3(1﹣x)+log3(x+5) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的最大值. 21. (10 分)已知函数 f(x)=2 sinx?cosx+cos x﹣sin x﹣1(x∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 x∈,求 f(x)的值域. 22. (10 分)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=﹣x +2x+b(b∈R) ,记 h(x)=f(x)﹣ (1)判断 h(x)的奇偶性,并证明; (2)f(x)在 x∈的上的最大值与 g(x)在 x∈上的最大值相等,求实数 b 的值; x (3)若 2 h(2x)+mh(x)≥0 对于一切 x∈恒成立,求实数 m 的取值范围.
x 2 2 2



贵州省铜仁市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (3 分)若 U={1,2,3,4,5,6,},M={1,2,5},则?UM=() A.{2,4} B.{1,3,6} C.{3,5} D.{3,4,6} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 M,求出 M 的补集即可. 解答: 解:∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,5}, ∴?UM={3,4,6}, 故选:D. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

2. (3 分)已知角 α 的终边与单位圆的交点为( ,

) ,则 sinα=()

A.

B.

C.

D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据任意角的三角函数的定义求得 sinα 的值. 解答: 解:若角 α 的终边与单位圆的交点坐标为( , ∴sinα= , ) ,则 r=1,

故选:B. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 3. (3 分)已知 f(x)=x +2x,则 f(5)+f(﹣5)的值是() A.﹣1 B. 0 C. 1
3

D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据函数关系式,得到函数是奇函数,进一步利用奇函数的性质求出结果. 3 解答: 解:函数 f(x)=x +2x 由于 f(﹣x)=﹣f(x) 则函数为奇函数. 所以 f(﹣5)+f(5)=0 故选:B 点评: 本题考查的知识要点:函数奇偶性的应用.属于基础题型. 4. (3 分)cos40°cos10°+sin40°sin10°等于() A. ﹣ B. C. D.﹣

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: 由两角和与差的余弦函数公式化简即可根据特殊角的三角函数值求值. 解答: 解:cos40°cos10°+sin40°sin10°=cos(40°﹣10°)=cos30°= .

故选:B. 点评: 本题主要考查了两角和与差的余弦函数,特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 5. (3 分)下列函数中,最小正周期为 π 的是() A.y=sin2x B.y=sin C.y=cos4x D.y=cos

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期性及其求法逐一求最小正周期即可选择.

解答: 解:A,由 y=sin2x,则 T= B,y=sin ,则 T= =4π,

=π,

C,y=cos4x,则 T= D,y=cos ,则 T=

=



=8π.

故选:A. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

6. (3 分)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,且 ⊥ ,则 x 的值是() A.1 B. ﹣1 C. 2 D.0

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直,它们的数量积为 0,得到关于 x 的方程,解之. 解答: 解:由已知 ⊥ ,得到 ? =0,所以 2(x﹣1)+2=0,解得 x=0; 故选 D. 点评: 本题考查了向量垂直的性质;向量垂直,数量积为 0. 7. (3 分)cos210°的值等于() A.﹣ B. C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 运用诱导公式和特殊角的三角函数值即可化简求值. 解答: 解:cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ .

故选:C. 点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值,运用诱导公式化简求值,属于基础题. 8. (3 分)已知三个数 a=(﹣0.3) ,b=0.3 ,c=2 ,则下列结论成立的是() A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断 a,b,c 与 0 和 1 的大小关系,即可判断三个数值的大小关系. 0 2 0 解答: 解:∵a=(﹣0.3) =1,0<b=0.3 <0.3 =1 0.3 0 c=2 >2 =1, ∴b<a<c.
0 2 0.3

故选:A 点评: 本题考查 a,b,c 的大小关系的判断,解题时要认真审题,注意指数函数的性质的灵活运用. 9. (3 分)使得函数 f(x)=lnx+ x﹣2 有零点的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数的定义域(0,+∞) ,令 f(x)=lnx+ x﹣2,然后根据 f(a)?f(b)<0,结合 零点判定定理可知函数在(a,b)上存在一个零点,可得结论. 解答: 解:由题意可得函数的定义域(0,+∞) ,令 f(x)=lnx+ x﹣2 ∵f(1)=﹣ <0,f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣ >0 由函数零点的判定定理可知,函数 y=f(x)=lnx+ x﹣2 在(2,3)上有一个零点 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的零点判定定理的应用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.

10. (3 分)已知 tanα=3,则 A.﹣ B. 0 C.

=() D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴原式=

同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值. 原式利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简,把 tanα 的值代入计算即可求出值. 解:∵tanα=3, = = = ,

故选:C. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握基本关系是解 本题的关键.

11. (3 分)将函数 y=sin(x﹣ 图象向左平移 A.y=sin( x﹣

)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得

个单位,则所得函数图象对应的解析式为() ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=sin x D.y=sin( x﹣ )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解,注意三角函数的平移原则为左加右减上加 下减. 解答: 解:将函数 y=sin(x﹣ )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , ) ,

得到的图象对应的解析式为 y=sin( x﹣ 再将所得图象向左平移 个单位,

则所得函数图象对应的解析式为 y=sin=sin( x﹣

) ,

故选:D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的平移原则为左加右减上加下减,属 于基础题. 12. (3 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2
1﹣x

在同一直角坐标系下的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2 解析式,分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象 之间的关系, (即如何变换得到) ,分析其经过的特殊点,即可用排除法得到答案. 解答: 解:∵f(x)=1+log2x 的图象是由 y=log2x 的图象上移 1 而得, ∴其图象必过点(1,1) . 故排除 A、B, 又∵g(x)=2 =2 的图象是由 y=2 的图象右移 1 而得 故其图象也必过(1,1)点,及(0,2)点, 故排除 D 故选 C 点评: 本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题,属于容易题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上的(注意:在试卷上作答无 效) 13. (3 分)已知向量 =( x,1) , =(2 ,2) .若 ∥ ,则 x=1.
1﹣x
﹣(x﹣1) ﹣x ﹣x+1

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接由向量共线的坐标表示列式求得 x 的值. 解答: 解:∵ =( 由 ∥ ,得:2× 解得:x=1. x,1) , =(2 =0, ,2) .

x﹣1×

故答案为:1. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在 一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2 ﹣a2b1=0,是基础题.

14. (3 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(1) )=﹣1.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据函数解析式先求出 f(1)的值,再求出 f(f(1) )的值. 解答: 解:由题意得,f(1)=3﹣1=2, 所以 f(f(1) )=f(2)=2﹣3=﹣1, 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查分段函数的函数值,对于多层函数值应从内到外依次求值,注意自变量对应的范围. 15. (3 分)已知平行四边形 ABCD 顶点的坐标分别为 A(﹣1,0) ,B(3,0) ,C(1,﹣5) ,则点 D 的 坐标为(﹣3,﹣5) . 考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,利用向量相等,求出点 D 的坐标. 解答: 解:设 D(x,y) ,画出图形,如图所示; 在平行四边形 ABCD 中, =(x+1,y) , = , =(1﹣3,﹣5﹣0)=(﹣2,﹣5) ; ,

解得

,∴D(﹣3,﹣5) .

故答案为: (﹣3,﹣5) .

点评: 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题,是基础题目.

16. (3 分)已知 tan(α+β)= ,tan(α﹣

)= ,那么 tan(α+

)=﹣4.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 由两角差的正切函数公式可化简已知为

= ,从而将 tan(α+

)化为﹣



可代入求值. 解答: 解:∵tan(α﹣ ∴tan(α+ )= )= =﹣ = , =﹣ =﹣ =﹣4.

故答案为:﹣4. 点评: 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (8 分)已知| |=1,| |=2, (2 ﹣3 )?(2 + )=﹣12. (1)求 与 的夹角 θ; (2)求| +2 |的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)展开已知的等式,得到﹣12=4 方的关系解答; (2)利用向量的平方与模的平方相等解答. 解答: 解: (1) 由已知| |=1, | |=2, (2 ﹣3 ) ? (2 + ) =﹣12=4 解得 cosθ= ,所以 θ=60°. (2)| +2 | =
2

﹣3

﹣4

,利用已知以及数量积公式,模与向量平

﹣3

﹣4

=4﹣12﹣4×1×2×cosθ,

=1+4×1×2× +16=21,所以| +2 |=



点评: 本题考查了向量的数量积,模;向量求模的题目中通过向量的平方等于模的平方解答.

18. (8 分)已知 α,β 都是锐角,且 sinα= ,cosβ= (1)求 cosα,sinβ 的值; (2)求角 tan(α+β)的值.



考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由已知及同角三角函数关系式即可求值. (2)由(1)可得:tanα,tanβ 的值,从而可根据两角和与差的正切函数公式求值. 解答: 解: (1)∵α,β 都是锐角,且 sinα= ,cosβ= ,

∴cos

=

= ,sin = ,tan =

= ,

=



(2)∵由(1)可得:tan

∴tan(α+β)=

=

=



点评: 本题主要考查了两角和与差的正切函数,同角三角函数基本关系的运用,属于基础题.

19. (8 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A>0,|φ|<

,ω>0)的图象的一部分如图所示.

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的单调减区间及对称轴方程. 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用函数的图象主要确定 A,φ,ω 的值,进一步求出函数的解析式. (2)根据(1)的结论,进一步利用整体思想确定函数的单调区间和对称轴方程. 解答: 解:根据函数的图象, 则:T=4π 所以: 当 x= 时,函数 f( )=2

则:A=2, 进一步利用 f( 解得:φ= 所以:f(x)=2sin( (2)根据(1)f(x)=sin( 则:令 解得: ) ) (k∈Z) (k∈Z) )=2 且,|φ|< ,

函数的单调区间为:x 令: 解得: (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)

(k∈Z)

所以函数的对称轴方程为:

点评: 本题考查的知识要点:利用函数的图象确定函数的解析式,主要确定 A,φ,ω 的值,利用整体 思想确定函数的单调区间和对称轴方程.属于基础题型. 20. (8 分)已知函数 f(x)=log3(1﹣x)+log3(x+5) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的最大值. 考点: 对数函数的图像与性质;对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知 ;从而解得;

(2) (1﹣x) (x+5)的最大值为(1+2) (5﹣2)=9;故 log3(1﹣x) (x+5)的最大值为 log39=2. 解答: 解: (1)由题意知, ;

解得﹣5<x<1; 故函数 f(x)的定义域为{x|﹣5<x<1}; (2)f(x)=log3(1﹣x)+log3(x+5)=log3(1﹣x) (x+5) , ∵(1﹣x) (x+5)的最大值为(1+2) (5﹣2)=9; 故 log3(1﹣x) (x+5)的最大值为 log39=2, 故函数 f(x)的最大值为 2. 点评: 本题考查了对数函数的性质与复合函数的最值,属于基础题. 21. (10 分)已知函数 f(x)=2 sinx?cosx+cos x﹣sin x﹣1(x∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 x∈,求 f(x)的值域. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用倍角公式、两角和的正弦化简. (1)直接利用复合函数的单调性求得函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)由 x 得范围,求得相位的范围,然后可得 f(x)的值域. 2 2 解答: 解:f(x)=2 sinx?cosx+cos x﹣sin x﹣1 = = = .
2 2

(1)由 ∴函数 y=f(x)的单调递增区间为 (2)当 x∈时, ,

,得 ;



则 f(x)∈. 点评: 本题考查了倍角公式、两角和的正弦,考查了与三角函数有关的简单的复合函数的单调性,考查 了三角函数值域的求法,是基础题. 22. (10 分)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=﹣x +2x+b(b∈R) ,记 h(x)=f(x)﹣ (1)判断 h(x)的奇偶性,并证明; (2)f(x)在 x∈的上的最大值与 g(x)在 x∈上的最大值相等,求实数 b 的值; (3)若 2 h(2x)+mh(x)≥0 对于一切 x∈恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可; (2)分别求出函数 f(x)和 g(x)在 x∈的上的最大值,建立相等关系即可求实数 b 的值; (3)将不等式恒成立进行参数分离,转化为求函数的最值即可. 解答: 解: (1) (Ⅰ)函数 h(x)=f(x)﹣ 现证明如下: ∵函数 h(x)的定义域为 R,关于原点对称. 由 h(﹣x)=2 ﹣2 =﹣(2 ﹣2 )=﹣h(x) , ∴函数 h(x)为奇函数. x (Ⅱ)∵f(x)=2 在区间上单调递增, 2 ∴f(x)max=f(2)=2 =4, 2 2 又∵g(x)=﹣x +2x+b=﹣(x﹣1) +b+1, ∴函数 y=g(x)的对称轴为 x=1, ∴函数 y=g(x)在区间上单调递减, ∴g(x)max=g(1)=1+b, ∵f(x)在 x∈的上的最大值与 g(x)在 x∈上的最大值相等 ∴1+b=4, ∴b=3. (Ⅲ)当 x∈时,2 (2 ﹣
2x 4x x 2x
﹣x

x

2



x

=2 ﹣2

x

﹣x

为奇函数.

x

x

﹣x

)+m(2 ﹣

x

)≥0,

即 m(2 ﹣1)≥﹣(2 ﹣1) , 2x ∵2 ﹣1>0, 2x ∴m≥﹣(2 +1) , 2x 令 k(x)=﹣(2 +1) ,x∈ 下面求函数 k(x)的最大值. ∵x∈, 2x ∴﹣(2 +1)∈, ∴k(x)max=﹣5,

故 m 的取值范围是[﹣5,+∞) . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,函数最值的求解以及不等式恒成立问题,利用参数分离法是解 决本题的关键.


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