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2014年高三数学(理科)试卷(12)


2014 年高三数学(理科)试卷(12)
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项

是符合题目要求的. 1.复数 z 满足 z ? A. 1? 3i

2?i , 则 z 等于( 1? i
B. 3 ? i

) C.

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2


2.若集合 M ? ? x ? N* | x ? 6? , N ? ? x || x ? 1|? 2? ,则 M ? (?R N ) ? ( A. (??, ?1) B. [1,3) C. (3, 6)

D. {4,5}

3.命题“ ?x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(
2



A.充要条件 C.充分不必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; 开始 ②若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 5.按照如图的程序框图执行,若输出结果为 31, 则 M 处的条件为 ( ) A. k ? 32 B. k ? 16 C. k ? 32 D. k ? 16 6.△ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , k=1 S=0


M


S=S+k

输出 S 结束

k ? 2? k

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于
A.



) C. 3 D. 2 3

3 2

B. 3

1

7.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形, 则该几何体的体积是 ( ) A.

5 6

B.

2 3

C.1

D.

1 2

8.对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f ( x) ,定义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,…,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n=1,2,3,….满足 f n ( x) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f 的 n 阶周期点.设

1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 则 f 的 n 阶周期点的个数是( f ( x) ? ? 1 ? 2 ? 2 x, ? x ? 1, ? ? 2 n A. 2n B. 2(2n ? 1) C. 2
(一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? 2 的解集为 .



D. 2n y B

2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
y ? x2

C O

y? x

(1,1) A x

10.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取 自阴影部分的概率为 .

?x ? 1 ? 11. 实数 x, 满足 ? y ? a ( a ? 1) , y 若函数 z=x+y 取得最大值 4, 则实数 a 的值为 ?x ? y ? 0 ?



2 n 12.若 ( x ? ) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设 (1 ? 3x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ,
n 2 n

1 x

则 a1 ? a2 ? ? ? an 的值为



13.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an * ( n ?N ) ,则 a3 的值为 1 ? an




a1 ? a2 ? a3 ?? ? a2013 的值为

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知 P 是曲线 M: ?

? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数)上的点, ? y ? 2 ? 2sin ?
. C M B P A

? x ? 4t ? 5 (t 为参数)上的点,则 | PQ | 的最小值为 Q 是曲线 L : ? ? y ? 3t ? 1

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条 D 直线与 ? O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的 B N O 中点 P,已知 AC=4,AB=6,则 MP· NP= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

2

16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小;
2 2 2

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状.

x x x 3 3 sin cos ? cos2 ,当 f (B) 取最大值 时,判断△ABC 2 2 2 2

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这
3

个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? (注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质 量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 乙城市 3 204 5 5 6 4 7 697 8 807 9 1809

18. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,

P

AD / / BC ,?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 , PA ? PD ? 2 , 1 BC ? AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (I)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA //平面 BMQ ; (Ⅱ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (III)若二面角 M ? BQ ? C 为 30° ,设 PM ?tMC ,试 A 确定 t 的值.

M D Q C B

19. (本小题满分 14 分)

3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2 3 (1)设椭圆 C 上的点 ( 3, ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,求椭圆 C 的方程和焦点 2 坐标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当
设 F1 , F2 分别是椭圆 C: 直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 试探究 kPM L 有关,并证明你的结论.

? K PN 的值是否与点 P 及直线

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n +1 = 3S n + 2 ? n ? 1, 2,3?? . (I)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ?

{

}

an ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn

21. (本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2 (1)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (2) a ? ? 且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不相等的实数根, 若 求实 2 2 数 b 的取值范围; * n (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N . 求证: a n ? 2 ? 1
已知函数 f ( x) ? ln x ?

参考答案
4

一、选择题: CDADD CAC 二、填空题: (一)必做题(9~13 题) 9. {x | 12.

5 9 ?x? } ; 2 2
255 ;

1 ; 3 1 13. ? , 2
10.

11. 2 ;

2

.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.

6 5



15.

25 4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小;
2 2 2

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状.

x x x 3 3 sin cos ? cos2 ,当 f (B) 取最大值 时,判断△ABC 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 b ? c ? a ? bc ,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 可得

cos A ?

1 . (余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分) 2 ∵ 0 ? A ? ? , (或写成 A 是三角形内角)
∴A?

………………… 3 分 ……………………4 分 ……………………5 分

?

3



3 1 1 x x x sin x ? cos x ? ………………7 分 3 sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2 2 2 ? 1 ……………………9 分 ? sin( x ? ) ? , 6 2 2? ? ? 5? ? ∵A? ∴ B ? (0, (没讨论,扣 1 分) ………10 分 ) ∴ ? B? ? 3 6 6 6 3 ? ? 3 ? ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B) 有最大值是 …………………11 分 6 2 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? ∴ ?ABC 为等边三角形. ………………12 分 3 3
(Ⅱ) f ( x) ?

17. (本小题满分 12 分)

5

空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这 个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? (注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质 量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 乙城市 3 204 5 5 6 4 7 697 8 807 9 1809

解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.

…………………2 分

(Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别 为优或良的概率为

10 2 ? , 15 3

…………………3 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或 良的概率为

5 1 ? , 15 3

…………………4 分

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9

……………………6 分 (III) X 的取值为 0,1,2 , …………………7 分

P( X ? 0) ?

2 C50 C10 3 C 2C 0 C 1C 1 10 2 , P ( X ? 0) ? 5 2 10 ? ? , P( X ? 1) ? 5 2 10 ? 2 C15 21 7 21 C15 C15

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3 7

10 21

2 21
…………………10 分

6

数学期望 EX ? 0 ?

3 10 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3

…………………12 分 P

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC ,

?ADC ? 90 ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, 1 M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 , BC ? AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (I)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA //平面 BMQ ; (Ⅱ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (III)若二面角 M ? BQ ? C 为 30° ,设 PM ? tMC ,试确定 t 的值. Q
?

M D C B

(I)证明:连接 AC ,交 BQ 于 N ,连接 MN .

……………1 分

1 ∵ AD / / BC 且 BC ? AD ,即 BC / / AQ . 2 ∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ∴ MN / / PA ……………………2 分 ∵ MN ? 平面 BMQ , PA ? 平面 BMQ , …………3 分 ∴ PA / / 平面 BMQ . ……………………4 分 1 (II)证明:∵ AD / / BC , BC ? AD , Q 为 AD 的中点, 2 ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD / / BQ . ……………………5 分 ∵ ?ADC ? 90? ,∴ ?AQB ? 90? ,即 BQ ? AD . 又∵平面 PAD ⊥底面 ABCD 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,…………6 分 ∴ BQ ? 平面 PAD . ……………………7 分 ∵ BQ ? 平面 PQB , ∴平面 PQB ? 平面 PAD . …………………8 分 1 另证: AD / / BC , BC ? AD , Q 为 AD 的中点, ∴ BC / / DQ 且 BC ? DQ , 2 ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD / / BQ . ∵ ?ADC ? 90? , ∴ ?AQB ? 90? ,即 QB ? AD . …………………5 分 ∵ PA ? PD ,∴ PQ ? AD . …………………6 分 ∵ PQ ? BQ ? Q ,∴ AD ? 平面 PBQ . …………………7 分 ∵ AD ? 平面 PAD , ∴平面 PQB ? 平面 PAD . ……………………8 分 (III)解:∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ? AD . z ∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , P ∴ PQ ? 平面 ABCD . ……………9 分 (不证明 PQ ? 平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点,直线 QA 、 QB 、 QP 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐
标系,则 Q(0,0,0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .……10 分

A

M

? 于是平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; ???? ? ???? ? 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , ???? ???? ? ? A ∵ PM ? tMC ,
7

D Q N B y C

x

t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ∴ ?y ? …………………11 分 1? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z) ? 3 ?z ? 1? t ? ???? ? ??? ? t 3t 3 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? , , ), 1? t 1? t 1? t ?? ?? ??? ? 设平面 MBQ 法向量为 m ? ( x, y, z ) , 由 m ? QB ? 3 y ? 0 ? y ? 0 , ?? ???? ? t 3t 3 m ? QM ? ? x? y? z ? 0 ,不妨令 x ? 3 ,则得: z ? t 1? t 1? t 1? t ?? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) . ……………………12 分 ? ?? n?m t 3 ? ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30° ? cos 30 ? ? ?? ? , , ……13 分 ? 2 2 n m 3? 0?t
解得 t ? ?3 .又 t ? 0 ,故 t ? 3 …………………………14 分

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2 3 (1)设椭圆 C 上的点 ( 3, ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,求椭圆 C 的方程和焦点 2 坐标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当
设 F1 , F2 分别是椭圆 C: 直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 试探究 kPM L 有关,并证明你的结论.

? K PN 的值是否与点 P 及直线

3 ( 3)2 解: (1)由于点 ( 3, ) 在椭圆上, 2 ? 2 a 又 2 a =4,

(

3 2 ) 2 ?1 b2

…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………6 分

?椭圆 C 的方程为:

x y ? ? 1, 4 3

2

2

焦点坐标分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ; (2)设 KF1 的中点为 B( x, y ) ,则点 K (2 x ? 1,2 y) 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 (2 x ? 1)2 (2 y)2 ? ? 1 …………………7 分 ? ? 1中,得 4 3 4 3

y2 …………………8 分 ?1 ; 3 4 (3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称,

?线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ?

1 2

8

设 M ( x0 , y0 ), N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y) ,且 x ? ? x0

…………………9 分

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 1 …………………10 分 a2 b a b
…………………11 分

kPM ?
kPM

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = 2 =? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a

…………………13 分 …………………14 分

故: kPM

? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关.

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n +1 = 3S n + 2 ? n ? 1, 2,3?? . (I)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ?

{

}

an ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn
……………2 分 ……………3 分

证明: (Ⅰ)? S n +1 = 3S n + 2 ,∴ S n +1 + 1 = 3( S n + 1) , 又? S1 + 1 = 3 ,

∴{S n + 1}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列,且 Sn ? 3n ? 1, n ? N* .……………4 分
(Ⅱ)当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (3 ? 1) ? (3
n n ?1

……………5 分

? 1) ? 3n ?1 (3 ? 1) ? 2 ? 3n?1 .
………………7 分

故 an ? 2 ? 3

n ?1

, n ? N* .

………………8 分

? bn ?

2 ? 3n ?1 2 ? 3n ?1 1 1 ? n ?1 ? n ?1 ? n , ? n ? 2 ? n 2 n (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1

………………11 分

? b1 ? b2 ? ... ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( n?1 ? n ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
………………12 分 ………………14 分

?

1 1 1 ? ? n ?1. 2 2 3 ?1

9

21. (本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2 (1)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (2) a ? ? 且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不相等的实数根, 若 求实 2 2 数 b 的取值范围; * n (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N . 求证: a n ? 2 ? 1
已知函数 f ( x) ? ln x ? 解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

………………1 分

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

1? 2x 1 1 ? ( ? 1)2 ? 1在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) …2 分 2 x x x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 ………………3 分 x ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] ………………4 分 1 1 1 2 3 (2) a ? ? , f ( x) ? ? x ? b ? x ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x) ? . ………………5 分 4 2 2x
则a ? 列表:

x
g ?( x) g ( x)

(0,1)

1
0
极大值

(1, 2)
?
?

2
0
极小值

(2, 4)

?
?

?
?

∴ g ( x) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x) 极大值 ? g (1) ? ?b ? 又 g (4) ? 2ln 2 ? b ? 2

5 , 4
………………6 分

? g (1) ? 0 ? ?方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根. 则 ? g (2) ? 0 , ………7 分 ? g (4) ? 0 ? 5 得 ln 2 ? 2 ? b ? ? ………………8 分 4 1 (3)设 h( x) ? ln x ? x ? 1, x ? ?1, ?? ? ,则 h?( x) ? ? 1 ? 0 x ? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且

h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1时有 ln x ? x ? 1. ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 成立;
②假设 ak ? 1 (k ? N )
*

………………10 分

则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,
10

所以当 n ? k ? 1 时也成立,
* 由①②得 an ? 1 , ?n ? N 成立,

………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1.

?1 ? an ?1 ? 2(1 ? an ) ? ?? ? 2n (1 ? a1 ).
即 1 ? an ? 2 ,∴ an ? 2 ? 1
n n

11


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