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10.函数的概念(定义域)(4)


函数的定义域

1 例1 已 知 函 数 f ?x ? ? x ? 3 ? , x?2 ?1? 求 函 数 的 定 义 域 ;

?2? ?2? 求f ?? 3?,f ? ?的 值 ; ?3? ?3? 当a ? 0时 , 求f ?a ?,f ?a ? 1?的 值 。

函数的定义域
当函数是由解析式给出时,其定义域就是使函数解析式有 意义的自变量的取值组成集合.具体地讲,若解析式含有的是: 则其定义域是R; (1)整式, 则其定义域是使分母不为零的自变量的取值集合; (2)分式, 奇次,则其定义域R; (3)根式

偶次,则其定义域是使被开方数大于或等 于零的自变量的取值组成集合; 则其定义域是使底数不为零的自变量的取值集合; (4)零次幂,

(5)上述情况的组合, 则其定义域是取其交集; (6)实际问题,则具体问题具体分析.

?1?要使函数有意义, 解:
?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 则 须? , 即? , ?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2

f ?x? ?

1 x?3? , x?2

?x x ? ?3, 且x ? ?2? ?这个函数的定义域是
?2?
f ?? 3? ? ? 3 ? 3 ?
1 ?3? 2

? ?1

?3?

? 2? f? ? ? ? 3?

2 1 33 11 3 3 ?3? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 8 ?2 3

一 、 求 下 列 函 数 的 定域 义: 1 解 :?1? x x ? 2 ?1? f ? x ? ? x?2 ? 2? ?2? ? x x ? ? ? ?2? f ? x ? ? 3 x ? 2 3? ? 1 ?3? f ? x ? ? x ? 1 ? ? 3? x x ? ?1, 且x ? 2 2? x ?4? R ?4? f ? x ? ? 2 x 2 ? 3 x ? 4 解: ?5? R 3x ? 4 ?5? f ? x ? ? 2 3 ? ? f 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 28 x ?1

?

?

?

?

二、P 21 2

f ?? 2 ? ? 3 ? ( ?2) 3 ? 2 ? ( ?2) ? ?28 f ?2 ? ? f ( ?2) ? 28 ? ( ?28) ? 0

f ?a ? ? 3a 3 ? 2a

f ?a ? ? 3 ? ( ? a )3 ? 2 ? ( ? a ) ? ?3a 3 ? 2a

f ?a ? ? f ( ? a ) ? 3a 3 ? 2a ? ( ?3a 3 ? 2a ) ? 0

函数的三要素为: 定义域,对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如 果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等(相同函数或相等函 数)

例2下列函数中哪个与函数y=x相等?

(1)

y ? ( x)

2

(2)

y ? 3 x3

(3)

y ? x2

(4)

x2 y? x

分析:先把每个函数关系式化简,然后 观察它与函数y=x的定义域和对应关系是否相同

解:(1) R)虽然对应关系相同,但是定义域不同.所以,这 个函数与函数y=x(x ? R)不相等.
(2) y ? x ? x( x ? R) ,这个函数与函数 y=x(x ? R)不仅对应关系相同,而且定义域也 相同.所以,这个函数与函数y=x(x? R) 相等.
3 3

? y ? ( x )2 ? x( x ? 0) ,这个函数与函数y=x(x

?3?

y?

? x, x ? 0 x ? x ?? ?? x , x ? 0.
2

这个函数与函数 y ? x( x ? R)

的定义域都是实数集 R, 但 是 当 x ? 0时 , 它 的 对 应 关 系 与 函 数y ? x ( x ? R )不 相 同 , 所 以 , 这 个 数 函 与y ? x ( x ? R ) 不相等。

x2 ?4? y ? 的 定 义 域 是 ?x x ? 0?, 与 函 数 y ? x(x ? R) x 的 对 应 关 系 相 同 但 定域 义不 相 同 。 所 以 , 这函 个数 与 函 数y ? x(x ? R) 不 相 等 。

1、 判 断 下 列 函 数 f ? x ?与g ? x ?是 否 表 示 同 一 个 函 数 说 ,明 理 由 。 (1) f ( x ) ? ( x ? 1)0 ; g ( x ) ? 1 ( 2) f ( x ) ? x; g ( x ) ? ( 4) f ( x ) ? x ; g ( x ) ? x2 x2 ( 3) f ( x ) ? x 2 ; g ( x ) ? ( x ? 1) 2

2、与函数y=x相等的函数是( (2) )
(1) y ? ( (3) y ?

x) x
2

2

(2) y ? (4) y ?

3

x

3

x

2

x
2

3、判断下列函数是否相等( (3))
?1 x (1) y ? 与y ? x ? 1 x ?1 x 0 (3) y ? 与y ? x x
2

(2) y ?
2

x

? 1与y ? x ? 1

(4)y ? x 与y ? (

x)

4


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