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江苏省江都中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题


高二数学试卷
参考公式:样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s =
2

1 n

? ( xi ? x) 2 ,其中 x =
i ?1

n

1 n

?x
i ?1

n

i

/>
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“ ?x ? R, x ? 1或x ? 4 ”的否定是 ▲ .
2

2.抛物线 y ?

1 2 x 的焦点坐标为 4

▲ .

S ?0 For I from 1 to 10 S?S?I End for Print S End

3.根据右图的算法,输出的结果是

▲ .

4.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ? ▲ . 5.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 2,则 m 的值为 ▲ . m

(第 3 题图)

6. 已知直线 l1 :x ? 3 y ? 1 ? 0 ,l2 :2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l1 ∥ l2 , 若 则实数 a 的值是 ▲



7.将一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的玩具)先后抛 掷两次,骰子向上的点数依次为 x, y .则 x ? y 的概率为 ▲ . 8.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同 学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 成绩 xn 73 76 76 77 72 则这 6 位同学成绩的方差是 ▲ .

9.以下对形如“ x ? ky ? b ( k , b ? R ) ”的直线描述正确的序号是 ▲ . ①能垂直于 y 轴;②不能垂直于 y 轴;③能垂直于 x 轴;④不能垂直于 x 轴. 10.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值 为 ▲ .
3 2

11.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (2c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如图 所示,且 f ?(1) ? 0 .则 c ? d 的值是 ▲ . (第 11 题图)

12.已知实数 x ? [0,8] ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 ▲ . 13.已知可导函数 f (x) ( x ? R) 的导函数 f ?(x) 满足 f ?(x) > f (x) ,则不等式

ef ( x) ? f (1)e x 的解集是 ▲ .
x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦 14.已知椭圆 E: 4
点(如图) ,则这个平行四边形面积的最大值是 ▲ .
1

(第 14 题图)

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x x ? 4 x ? 12 ? 0 , 集合 B ? x x ? 2 ? m , m ? 0 , 命题 p : x ? A ,
2

?

?

?

?

命题 q : x ? B . (1)若命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 5, “ p 或 q ” 为真命题, p 且 q ” 为假命题,求实数 x 的取值范围. “

16. (本小题满分 14 分) 调查某校 100 名学生的数学成绩情况,得下表: 一般 男生(人) 女生(人) 良好 18 17 优秀

x
10

y z

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到成绩一般的男生的概率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 20 名,问应在优秀学生中抽多少名? (3)已知 y ? 17, z ? 18 ,优秀学生中男生不少于女生的概率.

17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中,设 ?ABC 的顶点分别为 A(0, 2), B(?1,0), C (2,0) ,圆 M 是

?ABC 的外接圆,直线 l 的方程是 (2 ? m) x ? (2m ? 1) y ? 3m ? 1 ? 0(m ? R)
(1)求圆 M 的方程;
2

(2)证明:直线 l 与圆 M 相交; (3)若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程.

18. (本小题满分 15 分) 如图,过点 (0, a3 ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax2 相切于 A、B 两点, AD、BC 垂直于直 y 线 y ? ?8 ,垂足分别为 D、C.. (1)若 a ? 1 ,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a ? (0, 2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值. O A B x

D

C

19. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 , F2 ,P 是椭圆上一点, 且在 x a b
轴上方, PF2 ? F1 F2 , PF2 ? ? PF1 , ? ? ? , ? . 3 2
3

?1 1 ? ? ?

(1)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的圆 Q 的截 y 轴的线段长为 6,求椭圆的方程; (3) (2) 在 的条件下, 过椭圆右准线 l 上任一点 A 引圆 Q 的两条切线, 切点分别为 M , N . 试探究直线 MN 是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
y

l

·

M

P
A

F1

O

·
N
N

F2

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) . (1)当 a ? ?4 时,求函数 f (x) 在 ?1,e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 取值范围.

1 1 ,求实数 a 的 ? x1 x2

4


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