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2013届高考数学专题训练12 等差数列、等比数列、数列的综合应用 理


高考专题训练十二 等差数列、等比数列、数列的综合应用
班级______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分______ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai,ai+1 的矩形的面积(i =1,2,?).则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 解析:依题意有 Ai=aiai+1 ∴An=anan+1,∴An+1=an+1an+2 {An}为等比数列? ∵ )

An+1 =q(q>0),q 为常数 An

An+1 an+1an+2 an+2 = = =q. An anan+1 an

∴a1,a3,a5?a2n+1?和 a2,a4?a2n?都成等比数列且公比相同. 答案:D 2.如果等差数列{an}中 a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 C.28 D.35 B.21 )

解析:本小题主要考查等差数列的性质,前 n 项和的求法以及转化的数学思想. 由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12? a4=4,故 a1+a2+a3+?+a7=(a1+a7)+ (a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 答案:C 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S9=45,则数列{an}的公差为( A.-1 C.2 D. 1 2 B.1 )

9×8 解析:记等差数列{an}的公差为 d,依题意得,S9=9a1+ d=9+36d=45,解得 d= 2 1,选 B. 答案:B

1

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 A.7 C.8 B. D. 15 2 17 2

Sn+64 的最小值为( an

)

解析:设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=4,10a1+

10×9 d=110,∴a1=d=2,于是 2

an=2n,Sn=n2+n,


Sn+64 1? 64? 1 1 17 = ?n+ ?+ ≥8+ = (当且仅当 n=8 时取“=”),选 D. n? 2 an 2? 2 2

答案:D

1 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1.令 bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}的前

n

10 项和 T10=( A.70 C.80

)

B.75 D.85

解析:因为 an=2n+1,所以数列{an}是个等差数列,其首项 a1=3,其前 n 项和 Sn=a1 +a2+?+an=

n? a1+an?
2



n? 3+2n+1?
2

1 1 2 2 =n +2n, 所以 bn= ×Sn= ×(n +2n)=n+2,

n

n

故数列{bn}也是一个等差数列,其首项为 b1=3,公差为 d=1,所以其前 10 项和 T10=10b1 10×9 + d=10×3+45=75,故选 B. 2 答案:B 6.(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4 是各项不为零的等差数列且公 差 d≠0, 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列, 则 的值为( A.-4 或 1 C.4 B.1

a1 d

)

D.4 或-1
2 2

解析:若删去 a1,则 a2a4=a3,即(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d) ,化简得 d=0,不合题意; 若删去 a2,则 a1a4=a3,即
2

a1 a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简可得 =-4;若删去 a3,则 a1a4=a2,即 a1(a1+3d)=(a1 2 d
+d) ,化简可得 =1;若删去 a4,则 a1a3=a2,即 a1(a1+2d)=(a1+d) ,化简可得 d=0, 不符合题意.故选 A.
2

a1 d

2

2

2

答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 7.(2011·陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两 棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 解析:设放在第 x 个坑旁边,由题意得

S=20[(x-1)+(x-2)+?+1+1+0+1+2+?+(20-x)]
=20?

?? 1+x-1? ? x-1? +? 1+20-x? ? 20-x? ? ? 2 2 ? ?
2

=20(x -21x+210) 由 S′=20(2x-21)=0,得 x=10.5, 知 x=10 或 11 时,S 最小值为 2000. 答案:2000 8.(2011·广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k =________. 解析:由 S9=S4 及 a1=1,得 9+36d=4+6d,

d=- .
由 ak+a4=0 得 2a1+(k+2)d=0. ∴2-

1 6

k+2
6

=0,k=10.

答案:10 9.(2011·湖南)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= ________. 解析:∵a1=1,a4=1+3d=7,∴d=2, 5×4 ∴S5=5a1+ d=5+10×2=25. 2 答案:25 10.(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 ________升. 解析:令最上面一节为 a1
*

3

? ?a1+a2+a3+a4=3 则? ?a7+a8+a9=4 ?

? ?4a1+6d=3 ,? ?3a1+21d=4 ?

?a =13 ? 22 ,? 7 ?d=66 ?
1

.

67 ∴a5=a1+4d= . 66 67 答案: 66 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011·课标)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2

1 2 2 2 2 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a3=9a2a6 得 a3=9a4 ,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3

1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) =-

n? n+1?
2

.

1 故 =-

bn

n?

1 ? 2 ?1 =-2? - , n n+1? n+1? ? ?

1 1 ?? 1? + +?+ =-2??1- ? b1 b2 bn ?? 2? 1

?1 1? +? - ? ?2 3?

1 ?? 2n ?1 +?+? - ??=-n+1. ?n n+1??

?1? 2n 所以数列? ?的前 n 项和为- . n+1 ?bn?

12.(13 分)(2011·安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增 的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan·tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100,则

4

Tn=t1·t2·?·tn+1·tn+2, Tn=tn+2·tn+1·?t2·t1,
①×②并利用 titn+3-i=t1tn+2=10 (1≤i≤n+2),得
2

① ②

T2=(t1tn+2)·(t2tn+1)·?·(tn+1t2)·(tn+2t1)=102(n+2). n
∴an=lgTn=n+2,n≥1.

(2)由题意及(1)中计算结果,知

bn=tan(n+2)·tan(n+3),n≥1.
tan? k+1? -tank 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= , 1+tan? k+1? ·tank tan? 得 tan(k+1)·tank=
n n+2

k+1? -tank
tan1

-1.

所以 Sn=?bk=?tan(k+1)·tank
k=1 n+2 k=3

=? ?
k=3

?tan? k+1? -tank-1? ? tan1 ? ?
n+3? -tan3
tan1 -n.



tan?

5


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