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数学课程论知识点


范希尔理论的核心内容: 一、几何思维的五个水平(五水平) 二、与之对应的五个教学阶段(五阶段) 对应几何和思维的五个水平,范希尔夫妇提出了五个教学阶段:

3:阐明 通过前面的经验和教师的提示,学生表达了自己 的看法,开始形成学 习的关系系统。

范希尔理论的特点 次序性:学生几何思维水平的发展是循序渐进的 进阶型:学生几何思维水平的提升是

经由教学,而不是随年龄成 长或心理成熟自然而然的。不可能跳过一水平到达下一水平

内隐性及外显性:某层的内隐性变成下一水平的外显性 语言性:一层次,一语言 不适配性:一水平,一阶段 水平的不连续性:一水平到另一水平的过渡不是平缓的 2 举例说明杜宾斯基关于数学概念学习的 APOS 理论的具体应用 例如:函数概念 1. 活动阶段 理解函数需要进行活动或操作。例如,在有现实背景的问题中建立函数关 系 y=X2,需要用具体的数字构造对应:2→4;3→9;4→16;5→25;??通过 操作,理解函数的意义。 2. 过程阶段 把上述操作活动综合成为一个函数过程。一般地有 x→x2;其它的各种函 数也可以概括为一般的对应过程:x→f(x)。 3. 对象阶段 然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理,比如,函数的加减 乘除、复合运算等。在表达式 f(x)土 g(x)中,函数 f(x)和 g(x)均作为整体对 象出现。 4.图式阶段 此时的函数概念,以一种综合的心理图式而存在于脑海中,在数学知识体 系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整 的定义,乃至和其它概念的区别和联系(方程、曲线、图像等等)。

3.建构主义思想及其对数学教学的启示 建构主义学习理论在数学建模教学中的应用 建构主义学习理论认为,知识是学习者在一定的情境下,借助他人(教师、学 习同伴等)的帮助,利用必要的学习材料,通过意义建构的方式而获得。在教 学中应用建构主义学习理论意味着教师和学生的作用和角色的改变,教师转变 为组织者、引导者、合作者、学习者,或者说学生学习的伙伴。而学生学生成 为自我控制的学习者。在建构主义的学习方式中,学生管理自己学习的机会增 多,将承担更多的管理任务。联系数学建模的特点,可以发现,建构主义学习 理论中的情境性学习理论和合作学习理论对数学教学具有更多的启示。 对数学教学的启示:

(一) 要充分发挥学生学习的自主性 学生是信息加工的主体,学生将其所获得的新知识与已有知识经验建立实质性 联系,是意义建构的关键。因此充分发挥学生在学习中的主动性和能动性至关 重要。为了充分发挥学生学习的自主性, 课堂教学不能采用简单的灌输方法, 把学生当作接受知识的容器, 让学生被动地接受知识。 (二) 研究认知结构的变量,促进学生主动建构 数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程。学习者 能否主动建构形成良好的认知结构 , 取决于原有的认知结构里是否具有清晰 (可辨别的)、可同化新的知识的观念(固定点、生长点) 以及这些观念的稳定情 况。因为数学知识前后联系非常紧密,前一个知识是后一个知识的基础,后一 个知识又是前一个知识的发展,一环紧扣着一环。所以, 教师在钻研教材、设 计教法时不仅要从整体上把握教材知识结构,而且要从纵向考虑新旧知识是如 何连接延伸的,从横向考虑新旧知识是如何沟通联系的,从而找准新旧知识的 连接点、不同点和新知识的生长点。 (三) 把握好对学生学习指导的“度” 俗话说,教学活动中教的秘诀在于“度” 。这说明教师把握好对学生学习指导的 度,对提高学习效果起着重要的作用。依据建构主义的观点,教师与学生在教 学中的关系是动态性的,学生数学学习过程中的思维多样性和个体差异性,教 师要进行适当的指导,提高学生领悟知识的能力。随着教学的发展,学生学习 的逐步深入,教师应逐渐放手让学生自己进行独立的学习,减少指导,增加学 习中的自主发现成分。 (四) 数学教学要紧密联系学生的生活实际,注重实质淡化形式 数学教学应当结合现实中的具体情境,使学生形成背景性经验。要结合学生的 生活经验和已有知识设计富有情趣的活动,让学生在活动中学习数学,使他们 有更多的机会从周围的事物中学习数学、理解数学,使他们体会到数学就在身 边, 感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感。因为数学对象是明确定义 的产物, 数学建构活动具有明显的形式特性,数学概念是形式与实质高度统一 的产物。 2.十大课程基本理念之一 “强调本质,注意适度形式化” ,谈谈认识和理解 高中数学新课程十大基本理念 1).构建共同基础,提供发展平台 2).提供多样课程,适应个性选择 3).倡导积极主动、勇于探索的学习方式 4).注重提高学生的数学思维能力 5).发展学生的数学应用意识 6).与时俱进地认识"双基" 7).强调本质,注意适度形式化 8).体现数学的文化价值

9).注重信息技术与数学课程的整合 10).建立合理、科学的评价体系 2.3 新课程理念: “强调本质,注意适度形式化” 对数学本质的理解是数学学习的关键,必须强调本质理解。而形式化是数 学的学科特点,但数学的形式化有层次,是发展变化的,尤其是学生年龄特点 和认知的局限性必然要求数学的形式化必须适应学生的发展水平 不同的角度看数学,便对数学的本质有不同的认识:从数学的学科结构看,数 学是模型。从数学的表现形式看,数学是符号.从数学对人的指导看,数学是 方法.从数学的应用价值看,数学是工具。数学是研究数量关系和空间形式的 科学 数学的发展表明对数学“完全形式化”是不可能的,数学与生活的联系日益密 切,数学的探索过程越凸显,生动活泼的数学思维活动越应该为学生所认识和 体验。因此,高中数学教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和 本质 2.3.1 对“强调本质.注意适度形式化”的理解 首先,虽然数学教育不可避 免地要涉及数学形式化 , 但我们更注重对数学内 容本质的理解 , 促进学生建立 数学内容本质与形式之间的有机联系是我们追求的 重点. 其次,充分重视学生 生活背景和实践经验在建构数学形式中的作用.从数学 历史的演进过程来看 , 数学家们创造出严格的数学形式化的理论是以前期的非严 格数学形式化为直 接或间接基础的 , 而非严格形式化的数学的最终渊源是客观现 实中的真实背 景.弗赖登塔尔(HansFreudenthal)指出: “数学的根源在于普通 常识”,“我 相信在教育中更值得推荐的是,应从普通常识的概念开始.在任何情 况下,这种 信仰或多或少地被发自本能的数学发展的事实所支持着. ”因此在教 育过程中 应重视使用相关的生活背景和实践经验。 3 举例说明数学概念学习的两种基本方式 数学概念形成的一般过程:辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、形式化。 案例:矩形的概念:刺激 1)辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事 实,也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式,都 必须通过比较,在知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。 例如,形成矩形概念,先让学生辨认他们所熟悉的实例,象桌面、墙壁、黑板、 书本等的表面。 (2)分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性,就需要 对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如,桌面是木制的,可看成是四边形, 两组对边分别平行并且相等,四个角相等,等。墙壁黑板、书本表面等也有各 自的属性。 (3) 概括出各个刺激模式的共同属性, 并提出它们的共同关键属性的种种假设。 上例中,共同属性有:可抽象地看成平面四边形;四个角相等;两组对边分别 平行并且相等;等等。共同关键属性可假设为:a.两组对边分别平行并且四个

角都是直角的四边形是矩形;b.两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边 形是矩形;c.四个角都是直角的平面四边形是矩形;等等。这里,提出关键属 性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。 (4)在特定的情境中检验假设,确认关键属性。检验过程中,采用变式是一种 有效手段。如上例中,通过变式可以发现,三个假设在各种变式中均出现,因 而都可确认为关键属性。 (5)概括,形成概念。验证了假设以后,把关键属性抽象出来,并区分出有从 属关系的关键属性,使新概念与认知结构中的已有有关观念分化,用语言概括 成为概念的定义。上例中,a、b 中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角” 具有从属关系,而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角为直角” ,那 么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角” ,因此只要取前两个关 键属性即可。于是将矩形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四 边形” 。 (6)把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。这既是在更大范围内检验 和修正概念定义的过程,又是一个概念应用的过程,从中我们可以看出概念的 本质特征是否已经被真正理解。因此在这个过程中,我们可以用一些概念的等 值语言来让学生进行判断和推理。上例中, “对角线相等并且平分”就是矩形的 等值语言。事实上,这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观 念建立起实质性联系的过程,因此这是概念形成的一个非常重要的步骤。 (7)用习惯的形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤,学生比较全面 地了解了概念的内涵,而且还掌握了许多概念的具体例证,对于概念的各种变 式也有了较好的理解

4.数学学习离不开解题训练,但又反对搞题海战术,你如何认识和理解 通过练习可以使学生的分析、综合、抽象、概括、判断、推理等初步逻辑思维

能力由简单向复杂、由低级向高级逐步得到提高,数学思想方法得到锻炼,数 学思想得到渗透,思维敏捷性和灵活性等品质得到培养。练习,可以发展学生 由此及彼、举一反三的迁移能力,可以发展学生对解法不是唯一的或答案也不 是唯一的,提出自己独立见解的求异思维能力;等等。 练习可以及时反馈学 生掌握知识、形成技能等各种信息。 题海战术本意并不是不考虑其质量与效率的进行大量的练习,只是那些急于题 海战术使学生困扰.所以,很多人对题海战术颇有微词甚至反对。所以它最大缺 点是花的时间太多。如果只追求数量的话还有效果是微乎其微。题海战术下的 孩子是学习的奴隶,这样做没有考虑孩子的未来,也会影响到他们人生的身心 健康。实践证明,多做、多讲、多考确实能在一定程度上提高学生的考分,但 这种磨出来的学生,即便能获得一时的高分,也往往没有学习后劲难以活学活 用。 应该:数量适当,有针对性,应用性,层次性,最后要总结方法 5.对某定理的探究和形成过程进行设计,说出数学思想方法和理念 线面平行的判定定理是:若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这 条直线与这个平面平行. 线面平行的定义是:若直线与平面没有公共点,则称此直线与该平面平行. 证明: 设直线 a‖直线 b,a 不在平面 α 内,b 在平面 α 内.用反证法证明 a‖α . 假设直线 a 与平面 α 不平行,则由于 a 不在平面 α 内,有 a 与 α 相交,设 a∩α =A. 则点 A 不在直线 b 上,否则 a∩b=A 与 a‖b 矛盾. 过点 A 在平面 α 内作直线 c‖b,由 a‖b 得 a‖c. 而 A∈a,且 A∈c,即 a∩c=A,这与 a‖c 相矛盾. 于是假设错误,故原命题正确. 问题引入 根据问题教学法的教育理念,通过问题 1: “直线与平面有哪几种位置关系?” 既帮助学生回顾所学知识,又为本节课做好铺垫。又通过问题 2: “如何判定直 线和平面的平行呢?”提出本节课的教学任务,学生想到定义:直线与平面无 公共点。 由于直线无限延伸, 平面无限延展, 如何判定无公共点, 却非常困难。 2、创设情境 为了更好的完成本节课的教学目标,突出重点,创设了 3 个情境。前 2 个情境,从生活中的实例门扇、书的封面边缘与所在桌面的位置关系开始,首 先让学生感受到线面关系存在于实际生活中,为了进一步激发学生学习新知识 的积极性,创设了情境 3 ,让学生自己去猜想满足什么条件下直线与平面平 行? 3、探究结论 (1)动手实践 让学生根据情境动手操作,亲身体验,不仅培养学生的动手能力,也激发了学 生学习的主动性和求知欲,促进学生空间想象能力、动手能力等多方面素质的 整体发展。 (2)直观感知

学生经过动手实践,再加上教师的适当引导和点拨,相信学生能够直观感知直 线与平面平行,并且猜想直线与平面平行的条件,鼓励学生大胆猜想。 (3)操作确认 借助多媒体课件,进行动态演示,让学生操作确认。 (4)归纳结论 经历了直观感知和操作确认,让学生自己总结直线与平面平行的判定定理。至 此,本节内容的重点得以突破 在教学实践中,我们常常碰到这样的困惑,明明是老师已经讲过的东西,学生 为什么还是不会?要辩证的看待这个问,对问题的存在做出一分为二的分析, 才能得以真正解决。 第一、教师本身的问题 学生“能听懂课,不会解题”的原因主要反应在老师的备、教、辅、考各个环 节。老师讲课时,采取灌的方式,往往是老师主动地讲,学生被动地听,老师 把所有的步骤、思路都讲出来了,这样束缚了学生的思维,其实学生根本不知 道为什么要这样想、为什么会想到这方面去,学生所谓的“听懂”只是老师具 体的解法,而不是抽象的解法,学生没有主动地参与教与学活动,当然谈不上 运用知识解题了。在提倡高效课堂的今天,那就要求老师废除满堂灌,精讲多 练,把课堂的还给学生。 (二) 、学生方面的问题
学生方面的原因主要反映在预习、听课、复习各个环节,一是学习的主动性、计划性不强, 所学知识一知半解。二是缺少学习方法,没有勤学好问、预习和复习的良好习惯。三是对 解题的目的不明确,缺乏学习的兴趣。


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