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兰州市外国语高级中学2012-2013年度高二数学期末考试理科试题题


兰州市外国语高级中学 2012-2013 年度高二数学期末考试题 理科

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛 物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是 ( B 8
B. y ? 2

C. y ?

1 32

1 32

D. y ? ?2

2.“ ? ? k? ?

5 1 ? , k ? Z ”是“ sin 2? ? ”的 B 12 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 , 已知f ( x ) 在 x ? ?3 时取得极值, 则

a? ( D )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4、向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示, 那么水瓶的形状是( B ).

5、 已知 F1 , F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, F2 作椭圆的弦 AB ,若 ?AF1 B 过 a2 b2

的周长为 16,离心率为

3 ,则椭圆的方程为 ( D 2
x2 y2 ? ?1 16 3
C.



A.

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 16 12

D.

x2 y2 ? ?1 16 4

6.命题“ ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ”的否定是 A、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

( C )

B、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

C、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

7.设 F 和 F2 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三 a 2 b2
B

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

8、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值是 ( A )

A.

17 2

B.3

C.

5
y

D.

9 2

9.已知函数 y ? f ? x ? 的导函数的图象如图所示, 则 y ? f ? x ? 的图象可能是( D ) o y a O A 10.下列命题中正确的是 ( C b x O B ) y a b x O C y a

a

b x

y b b x O a D x

①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若 m>0,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题
2

④“若 x ? 3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 A.①②③④ B.②③④ C.①③④
'

1 2

D.①④

11.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集 为B (A)(-1,1) (B)(-1,+∞) (c)(-∞,-l) (D)(-∞,+∞)

12.若实数 a , b 满足 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ? (a, b) ? a 2 ? b2 ? a ? b, 那么
? (a , b ) ? 0是 a 与 b 互补的 C

A.必要而不充分条件 C.充要条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13. 曲线 y ? x3 ? x ? 1 y ? x 3 ? x ? 1 在点 (1,3) 处的切线方程 是 . 4x ? y ?1 ? 0

2 14. 设圆 C 与圆 x ? ? y ? 3? ? 1 外切, 与直线 y ? 0 相切. C 的圆心轨迹为 则 2



物线

15.已知 f ?(1) ? ?2, 则 lim f (1 ? 2? x) ? f (1) ? ? x ?0
?x

4

x? 0 ?ln x 16.已知函数 f ( x) ? ? ,D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 ??2 x ? 1 x ? 0
(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为_______2 三、解答题(共 70 分)解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (10 分)求 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的单调区间和极值. 解: y? ? ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? 5?? ? 3x 2 ? 12 x ? 9 (2 分) (2 分)

令 y? ? 0 ,即 3x2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 x ? 3或x ? 1 当 y? ? 0 时,即 3x2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 x ? 1或x ? 3 , 函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 单调递增; 当 y? ? 0 时,即 3x2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 , 函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 单调递减;

(2 分)

(2 分)

综上所述,函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的单调递增区间是 ? ??,1? 或?3, ??? ,单 调递减区间是 ?1,3? ;当 x ? 1 时取得极大值 ?1,当 x ? 3 时取得极 小值 ?5 。 (2 分) 18.(本题 12 分)已知双曲线 x 2 ?
y2 ? 1,过点 P(1,1) 能否作一条直线 l ,与双曲 2 线交于 A, B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

解析:设点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且线段 AB 的中点为 M ? x, y ? .并设经过点 P 的直 线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1), 即 y ? kx ? 1 ? k. 把 y ? kx ? 1 ? k. 代入双曲线的方程 x 2 ?
y2 ? 1,得 2

(2 ? k 2 ) x2 ? 2k (1 ? 2k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0(2 ? k 2 ? 0) .
x1 ? x2 k (1 ? k ) ? . 2 2 ? k2 k (1 ? 2k ) 由题意得 =1 解得 k ? 2 2 ? k2

( *)

所以 x ?

而当 k ? 2 时方程( *)无解,所以不能作一条直线 l 与双曲线交于 A, B 两点,且 点 P 是线段 AB 的中点. 19. (本题 12 分)已知函数 f (x) ? x 3 ? bx 2 ? ax ? d 的图象过点 P (0,2) , 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6x ? y ? 7 ? 0 . (1) 求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2) 求函数 y ? f ( x ) 的单调区间.

19.解: (1) 由 f ( x ) 的图象经过 P (0,2) ,知 d ? 2 , 所以 f (x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? 2,

f ?(x) ? 3x 2 ? 2bx ? c .即 f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
由在 M(?1, f (?1)) 处的切线方程是 6x ? y ? 7 ? 0 , 知

?3 ? 2b ? c ? 6 ?b ? ?3 ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,? ? ?? ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1 ?c ? ?3
故所求的解析式是 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (2) f ?(x) ? 3x 2 ? 6x ? 3. 令 3x 2 ? 6x ? 3 ? 0, 即 x 2 ? 2x ? 1 ? 0. 解得 x1 ? 1 ? 2, x 2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0. 故 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 在 (??,? 2 ) 内是增函 数, 在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数, 在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. 20. (本题 12 分)过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,通过点 B 平行 于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点 D,求证:三点 A、O、D 共线. 解析:以抛物线的对称轴为 x 轴,它的顶点为原点,建立建立直角坐标系,设抛 物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的斜率为 k (k ? 0) ,由题意直线 AB 的方程为
p p 2p y ? k(x ? ) , 把 y ? k(x ? ) 代 入 抛 物 线 的 方 程 得 y2 ? y ? p2 ? 0 , 设 点 2 2 k

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 y2 ? ?
或用向量法证明三点共线. 21、 (本小题满分 12 分)

? p p2 ? p2 ( y1 ? 0) , D ? ? , ? ,以下可利用斜率相等, y1 ? 2 y1 ?

设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ?R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 2ax ? 1. 解析:(1)由 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ?R 知 f ' ( x) ? ex ? 2, x ? R. 令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? ln 2 ,于是当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化如下表: x
(??,ln 2)
ln 2

(ln 2, ??)

f ' ( x)
f ( x)



0 极小 值

+ ↗

故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) ,
f ( x) 的极小值为 f (ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) 。

(2)设 g ( x) ? e

x

? x2 ? 2ax ?1, x ? R, 于是 g ' ( x) ? ex ? 2x ? 2a, x ? R.

由(1)知当 a ? ln 2 ? 1时, g ' ( x) 的最小值 g ' (ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) ? 0 于是对任意的 x 都有 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 是 R 上的增函数, 于是对任意 x ? (0, ??), 都有 g ( x) ? g (0). 而 g (0) ? 0, 从而对任意 x ? (0, ??), g ( x) ? 0 ,即 e x ? x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 , 故 e x ? x 2 ? 2ax ? 1。 22.已知椭圆 G:
x2 ? y 2 ? 1, 过点 (m,0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A、B 两 4

点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率.

(2)将 AB 表示为 m 的函数,并求出 AB 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ? a 2 ? b 2 ? 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ?
c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 . 当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),
3 3 ), (1,? ), 2 2

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3 64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3,

所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.


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